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柯西 北京工業(yè)大學(xué) 沈永歡 柯西，A．L．(Cauchy，Augustin－Louis)1789年8月21日生于法國(guó)巴黎； 1857年5月22日卒于法國(guó)斯科．?dāng)?shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、力學(xué)． 柯西之父路易-弗朗索瓦(Cauchy，Louis－Francois)，1760年生于魯昂，年輕時(shí)學(xué)習(xí)出色，1777年獲巴黎大學(xué)頒發(fā)的會(huì)考榮譽(yù)獎(jiǎng)，畢業(yè)后任諾曼第最高法院律師，后任魯昂總督C．蒂魯(Thi-roux)的秘書．1785年蒂魯出任巴黎警察總監(jiān)，弗朗索瓦成為他的首席幕僚．1794年蒂魯被處決，弗朗索瓦舉家遷居阿爾居埃避風(fēng)．1799年霧月十八政變中，他積極支持拿破侖，于次年被新設(shè)的上議院選為負(fù)責(zé)起草會(huì)議紀(jì)要和執(zhí)掌印璽的秘書，并安家于盧森堡宮． 弗朗索瓦親自對(duì)長(zhǎng)子柯西進(jìn)行啟蒙教育，教孩子語法、詩歌、歷史、拉丁文和古希臘文．弗朗索瓦與P．S．拉普拉斯(Laplace)過從甚密，與J．L．拉格朗日(Lagrange)也交往頗多，所以柯西在童年時(shí)就接觸到兩位大數(shù)學(xué)家． 柯西從小喜愛數(shù)學(xué)，當(dāng)一個(gè)念頭閃過腦海時(shí)，他常會(huì)中斷其他事情，在本上算數(shù)畫圖．這引起拉格朗日的注意．據(jù)說在1801年的一天，拉格朗日在弗朗索瓦辦公室當(dāng)著一些上議員的面說：“瞧這孩子！我們這些可憐的幾何學(xué)家都會(huì)被他取而代之．” 但他也告誡弗朗索瓦，在柯西完成基本教育之前不要讓他攻讀數(shù)學(xué)著作． 1802年秋，柯西就讀于先賢祠中心學(xué)校，主要學(xué)習(xí)古代語言．在校兩年中，成績(jī)優(yōu)異，多次獲獎(jiǎng)．但他決心成為一名工程師．經(jīng)過一年準(zhǔn)備后，于1805年秋考入綜合工科學(xué)校；1807年10月又以第一名的成績(jī)?yōu)榈缆窐蛄汗こ虒W(xué)校錄取，并在1809年該校會(huì)考中獲道橋和木橋大獎(jiǎng)． 1810年初，柯西被派往瑟堡，任監(jiān)督拿破侖港工程的工程師助理。在他的行囊中，裝有拉格朗日的《解析函數(shù)論》 (Traité desfonctions analytiques)和拉普拉斯的《天體力學(xué)》(Mécanique cé-leste)。年底，他被授予二級(jí)道橋工程師職務(wù)，其工作受到上級(jí)嘉獎(jiǎng)，然而他把絕大部分業(yè)余時(shí)間用于鉆研數(shù)學(xué)．在拉格朗日建議下，他研究了多面體，于1811年2月向法蘭西研究院遞交第一篇論文(文獻(xiàn)[1]，(2)1，pp． 7—18)，證明了包括非凸情形在內(nèi)，只存在9種正多面體．1812年1月，又向巴黎科學(xué)院遞交第二篇論文(文獻(xiàn)[1]，(2)1，pp．26—35)，證明具有剛性面的凸多面體必是剛性的．A．M．勒讓德(Legendre)對(duì)兩文極為欣賞．兩個(gè)月后，柯西成為愛好科學(xué)協(xié)會(huì)通訊會(huì)員． 1812年底，由于健康狀況下降，柯西返回巴黎，不久向科學(xué)院遞交了關(guān)于對(duì)稱函數(shù)的論文．就在這時(shí)，他確定了自己的生活道路：終生獻(xiàn)給“真理的探索”即從事科學(xué)研究．1813年3月，他被任命為烏爾克運(yùn)河工程師．1814—1815年拿破侖一世的慘敗中斷了運(yùn)河工程，使他有時(shí)間潛心研究．他在1814年向法蘭西研究院遞交的論文中，有關(guān)于誤差論的研究和標(biāo)志他建立復(fù)變函數(shù)論起點(diǎn)的關(guān)于定積分的研究．1815年底，他以關(guān)于無限深流體表面波浪傳播的論文獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)． 1815年7月，路易十八重返巴黎．11月，政府禁止L．普安索(Poinsot)在綜合工科學(xué)校授課；12月初，宣布由柯西以替補(bǔ)教授名義接任普安索，講授數(shù)學(xué)分析． 1816年3月，王室發(fā)布了重組法蘭西研究院和巴黎科學(xué)院的敕令，清洗了一批院士，L．卡諾(Carnot)和G．蒙日(Monge)也在其中；同時(shí)柯西被國(guó)王任命為力學(xué)部院士．9月被任命為綜合工科學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)正式教授，為一年級(jí)新生講授數(shù)學(xué)分析． 柯西在綜合工科學(xué)校的教學(xué)內(nèi)容，集中體現(xiàn)在他寫的《分析教程第一編·代數(shù)分析》(1821)、《微積分概要》(1823)、《微積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用教程》(1826)和《微分學(xué)教程》(1829)中．這些論著首次成功地為微積分奠定了比較嚴(yán)格的基礎(chǔ)．1823年，他出任巴黎理學(xué)院力學(xué)副教授，代替S．D．泊松(Poisson)講授力學(xué)；1824年底出任法蘭西學(xué)院代理教授，代替J．B．比奧(Biot)講授數(shù)學(xué)物理．這些教學(xué)工作都持續(xù)到1830年． 柯西同時(shí)積極參加科學(xué)活動(dòng)，經(jīng)常出席科學(xué)院每周一召開的公開會(huì)議，在純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)的各種委員會(huì)中起重要作用．他在波旁王朝復(fù)辟時(shí)期寫了大約100篇論文或注記．1826年起，他獨(dú)自編輯出版定期刊物《數(shù)學(xué)演習(xí)》(Exercices de mathématiques)，專門發(fā)表自己的論著． 1830年7月革命再次推翻了波旁王朝，奧爾良公爵路易-菲力浦(Louis－Philippe)即位．一直激烈反對(duì)自由派的柯西，把此事看作國(guó)家的災(zāi)難．綜合工科學(xué)校學(xué)生在起義中離開校園，率領(lǐng)民眾戰(zhàn)斗，對(duì)柯西刺激很大．內(nèi)閣通過了公職人員必須宣誓效忠新國(guó)王的法令，而保王黨人(柯西也在其中)認(rèn)為宣誓就是背叛．起義中發(fā)生的一些暴烈行為，使柯西憤慨．所有這些因素，促使柯西下定決心離開法國(guó)． 柯西先去瑞士的弗里堡，試圖籌建瑞士科學(xué)院，但未成功．1831年夏遷居都靈，10月在拉格朗日組建的都靈科學(xué)院露面．次年初撒丁國(guó)王特為柯西在都靈大學(xué)重設(shè)高級(jí)物理即相當(dāng)于數(shù)學(xué)物理的教席．在都靈期間，柯西主要從事教學(xué)工作． 1833年7月，柯西前往布拉格，擔(dān)任查理十世(路易十八之弟)之孫博爾多公爵(Le duc de Bordeaux)的宮廷教師，每天講授數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)．他盡心盡力，甚至重新編寫了算術(shù)與幾何教本．但王子對(duì)數(shù)學(xué)缺乏興趣，與柯西關(guān)系不甚融洽．1838年10月，公爵年屆18，教育告一段落，柯西在家人和朋友勸說下重返巴黎．查理十世授予他男爵封號(hào)，柯西對(duì)此十分看重． 宮廷教學(xué)使柯西研究進(jìn)度放慢，他在布拉格以《數(shù)學(xué)新演習(xí)》(Nouveaux exercices de mathématiques)為題繼續(xù)出版他的《演習(xí)》，撰寫了關(guān)于光和微分方程的一些論文，以石印形式在小范圍內(nèi)流傳．回巴黎后，他首先去科學(xué)院，發(fā)表了關(guān)于光的研究成果． F．J．阿拉戈(Arago)于1836年創(chuàng)辦了《巴黎科學(xué)院通報(bào)》，(Comptes rendu Acad． Sci．Paris)，使院士們能迅速發(fā)表成果．柯西充分利用這個(gè)有利條件，幾乎每周在《通報(bào)》上發(fā)表一篇論文或注記。不到20年，他在《通報(bào)》上發(fā)表了589篇文章．他的多產(chǎn)使科學(xué)院不得不限制其他人送交論文的篇幅不得超過4頁．可是柯西還不滿足，1839年9月起又以《分析與數(shù)學(xué)物理演習(xí)》(Exer－cices d'analyse et de physique mathématique)為題繼續(xù)出版他的《演習(xí)》． 1839年7月，M．普魯內(nèi)(Prony)的去世使天文事務(wù)所(與法蘭西研究院齊名，事實(shí)上的天文科學(xué)院)出現(xiàn)一個(gè)空缺．柯西于11月當(dāng)選，但由于他拒絕向路易-菲力浦宣誓效忠而未獲任命書． 回巴黎后，柯西同耶穌會(huì)士一起，參與創(chuàng)建天主教學(xué)院，熱衷于宣傳天主教．這使他與一些同事關(guān)系尷尬． 1843年5月，柯西競(jìng)選由于S．F．拉克魯瓦(Lacroix)逝世而空缺的法蘭西學(xué)院數(shù)學(xué)教席，但得票極少，敗于G．利布里(Libri)．年底在天文事務(wù)所新的幾何學(xué)部委員選舉中，他又?jǐn)∮谒膶?duì)手普安索．這兩次失利對(duì)他是沉重的打擊．他開始離群索居，但仍勤奮工作． 1848年2月革命后，宣誓不再成為任命的障礙．1849年3月，柯西被委任為巴黎理學(xué)院數(shù)學(xué)天文學(xué)教授． 1850年6月，利布里被缺席判處10年徒刑，法蘭西學(xué)院又出現(xiàn)空缺教席．柯西再次競(jìng)選，敗于J．劉維爾(Liouville)． 1851年12月政變后，新政權(quán)要求公職人員宣誓效忠．柯西仍不妥協(xié)，致使他在理學(xué)院的教學(xué)工作停止一年多．1853年，拿破侖三世同意柯西可以例外，使他得以重登理學(xué)院講壇，直至去世． 1848年后，他的發(fā)表節(jié)奏放慢，1853年停止出版《演習(xí)》；但繼續(xù)審讀論文，并從事宗教活動(dòng)． 1857年5月12日，柯西患重感冒，21日病情突然惡化，次日與世長(zhǎng)辭，享年68歲． 除巴黎科學(xué)院外，柯西還是18個(gè)科學(xué)院或著名學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員，其中有英國(guó)皇家學(xué)會(huì)、柏林科學(xué)院、彼得堡科學(xué)院、愛丁堡皇家學(xué)會(huì)、斯德哥爾摩科學(xué)院、哥本哈根皇家科學(xué)學(xué)會(huì)、格丁根皇家科學(xué)學(xué)會(huì)、波士頓科學(xué)院等． 數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的開拓者 分析嚴(yán)格化的需要 18世紀(jì)的分析學(xué)家致力于創(chuàng)造強(qiáng)有力的方法并把它們付諸應(yīng)用，分析中的一些基本概念，則缺乏恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一的定義．由于沒有公認(rèn)的級(jí)數(shù)收斂概念，導(dǎo)致了許多所謂“悖論”，其實(shí)只是由于概念含混而出現(xiàn)的錯(cuò)誤．?dāng)?shù)學(xué)家逐漸認(rèn)識(shí)到，分析基本原理的嚴(yán)格檢驗(yàn)，不能依賴于物理或幾何，只能依靠它自身．當(dāng)時(shí)的法國(guó)——?dú)W洲數(shù)學(xué)中心的數(shù)學(xué)家們集中在幾個(gè)大學(xué)教書．教學(xué)和寫作教材特別要求澄清基本概念，闡明基本原理． 已有一些數(shù)學(xué)家對(duì)當(dāng)時(shí)分析的狀況不滿．C．F．高斯(Gauss)批評(píng)J．L．達(dá)朗貝爾(d'Alembert)關(guān)于代數(shù)基本定理的證明不夠嚴(yán)格，還說數(shù)學(xué)家們“未能正確處置無窮級(jí)數(shù)”．N．H．阿貝爾(Abel)說得更加明確：“人們?cè)诮裉斓姆治鲋袩o可爭(zhēng)辯地發(fā)現(xiàn)了多得驚人的含混之處……．最糟糕的是它還沒有得到嚴(yán)格處理．高等分析中只有少數(shù)命題得到完全嚴(yán)格的證明．人們到處發(fā)現(xiàn)從特殊到一般的令人遺憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．) 正是柯西，懷著嚴(yán)格化的明確目標(biāo)，在前述4個(gè)教材中為數(shù)學(xué)分析建立了一個(gè)基本嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐暾w系．在《分析教程》前言中，他說：“至于方法，我力圖賦予……幾何學(xué)中存在的嚴(yán)格性，決不求助于從代數(shù)一般性導(dǎo)出的推理，這種推理……只能認(rèn)為是一種推斷，有時(shí)還適用于提示真理，但與數(shù)學(xué)科學(xué)的令人嘆服的嚴(yán)謹(jǐn)性很不相符．”他說他通過分析公式成立的條件和規(guī)定所用記號(hào)的意義，“消除了所有不確定性”，并說：“我的主要目標(biāo)是使嚴(yán)謹(jǐn)性(這是我在《分析教程》中為自己制定的準(zhǔn)繩)與基于無窮小的直接考慮所得到的簡(jiǎn)單性和諧一致．” 極限與無窮小 柯西規(guī)定：“當(dāng)一個(gè)變量相繼取的值無限接近于一個(gè)固定值，最終與此固定值之差要多小就有多小時(shí)，該值就稱為所有其他值的極限．”“當(dāng)同一變量相繼取的數(shù)值無限減小以至降到低于任何給定的數(shù)，這個(gè)變量就成為人們所稱的無窮小或無窮小量．這類變量以零為其極限，”“當(dāng)同一變量相繼取的數(shù)值越來越增加以至升到高于每個(gè)給定的數(shù)，如果它是正變量，則稱它以正無窮為其極限，記作∞；如果是負(fù)變量，則稱它以負(fù)無窮為其極限，記作-∞．”［2］從字面上看，柯西的定義與在此以前達(dá)朗貝爾、拉克魯瓦所給的定義差別不大，但實(shí)際上有巨大改進(jìn)． 個(gè)數(shù)”開始，寫出一系列不等式來最終完成證明．在討論復(fù)雜表示式的極限時(shí)，他用了ε-δ論證法的雛型．由于有明確的把極限轉(zhuǎn)述為不等式的想法，他就能從定義出發(fā)證明關(guān)于極限的一些較難命題． 其次，他首次放棄了過去定義中常有的“一個(gè)變量決不會(huì)超過它的極限”這類不必要的提法，也不提過去定義中常涉及的一個(gè)變量是否“達(dá)到”它的極限，而把重點(diǎn)放在變量具有極限時(shí)的性態(tài)． 最后，他以極限為基礎(chǔ)定義無窮小和微積分學(xué)中的基本概念，建立了級(jí)數(shù)收斂性的一般理論． 函數(shù)及其連續(xù)性 柯西以接近于現(xiàn)代的方式定義單元函數(shù)：“當(dāng)一些變量以這樣的方式相聯(lián)系，即當(dāng)其中之一給定時(shí)，能推知所有其他變量的值，則通常就認(rèn)為這些變量由前一變量表示，此變量取名為自變量，而其余由自變量表示的變量，就是通常所說的該自變量的一些函數(shù)．” 他以類似方式定義多元函數(shù)，并區(qū)別了顯函數(shù)和隱函數(shù)，用他建立的微分方程解的存在性定理在較強(qiáng)條件下證明了隱函數(shù)的局部存在性． 柯西給出了連續(xù)的嚴(yán)格定義：“函數(shù)f(x)是處于兩個(gè)指定界限之間的變量x的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)這兩個(gè)界限之間的每個(gè)值x，差f(x+a)-f(x)的數(shù)值隨著a無限減?。畵Q言之，……變量的無窮小增量總導(dǎo)致函數(shù)本身的無窮小增量．” 在一個(gè)附錄中，他給出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值性質(zhì)的嚴(yán)格證明，其中用到了“區(qū)間套”思想． 在柯西之前，B．波爾查諾(Bolzano)于1817年給出連續(xù)的定義，并利用上確界證明了介值定理．但他的工作在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)未引起人們的注意．有人認(rèn)為柯西讀到了波爾查諾的著作，采用了他的思想，但故意不加聲明．這種看法缺乏佐證材料． 微分學(xué) 柯西按照前人方式用差商的極限定義導(dǎo)數(shù)，但在定義中多了一句：“當(dāng)這個(gè)極限存在時(shí)，……用加撇符號(hào)y′或f′(x)表示．” 這表明他已用嶄新的方式考慮問題．他把導(dǎo)數(shù)定義轉(zhuǎn)述為不等式，由此證明有關(guān)的各種定理．例如他給出了用不等式陳述的微分中值定理，首次給出了ε-δ式(所用符號(hào)也是ε，δ)的證明，由此推出拉格朗日中值定理．他還得到了“柯西中值定理” 柯西關(guān)于微分的一種定義也富有獨(dú)創(chuàng)性．他稱f(x)的微分是“當(dāng)變量α無限趨于零而量h保持不變時(shí)方程 的左端所收斂的極限”． 柯西以割線的極限位置定義切線，用中值定理證明極值點(diǎn)處切線的水平性．他證明了f′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0時(shí)用f(n)(x0)的符號(hào)判斷極大、極小的命題．他由自己的中值定理推導(dǎo)出洛必達(dá)法則．這樣，他就為微分學(xué)的應(yīng)用奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)． 積分學(xué) 18世紀(jì)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家摒棄G．W．萊布尼茨(Leibniz)關(guān)于積分是無窮小量的無窮和的說法，只把積分看作微分之逆．柯西則不同，他假定函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，X]上連續(xù)，用分點(diǎn)x1，x2，…，xn-1把該區(qū)間劃分為n個(gè)不必相同的部分，作和 S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1) +…+(X-xn-1)f(xn-1)， 并證明(實(shí)際上隱含地用了“一致連續(xù)性”)“當(dāng)各個(gè)部分長(zhǎng)度變得非常小而數(shù)n非常大時(shí)，分法對(duì)S的值只產(chǎn)生微乎其微的影響”，因而當(dāng)各個(gè)部分長(zhǎng)度無限減小時(shí) S具有極限，它“只依賴于f(x)的形式和變量x的端值x0，X0．這個(gè)極限就是我們所說的定積分．” 這樣，他既給出了連續(xù)函數(shù)定積分的定義，又證明了它的存在性．他還指出這種定義對(duì)于不能把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的一般情形也適用．他給出了現(xiàn)在通用的廣義積分的定義． 柯西簡(jiǎn)潔而嚴(yán)格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓-萊布尼茨公式．他利用定積分嚴(yán)格證明了帶余項(xiàng)的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式． 柯西的定義是從僅把積分看作微分逆運(yùn)算走向現(xiàn)代積分理論的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，他堅(jiān)持先證明存在性則是從依賴直覺到嚴(yán)格分析的轉(zhuǎn)折點(diǎn)． 級(jí)數(shù)論 柯西是第一個(gè)認(rèn)識(shí)到無窮級(jí)數(shù)論并非多項(xiàng)式理論的平凡推廣而應(yīng)當(dāng)以極限為基礎(chǔ)建立其完整理論的數(shù)學(xué)家．他以部分和有極限定義級(jí)數(shù)收斂并以此極限定義收斂級(jí)數(shù)之和．18世紀(jì)中許多數(shù)學(xué)家都隱約地使用過這種定義，柯西則明確地陳述這一定義，并以此為基礎(chǔ)比較嚴(yán)格地建立了完整的級(jí)數(shù)論．他給出所謂“柯西準(zhǔn)則”，證明了必要性，并以理所當(dāng)然的口氣斷定充分性．對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，他嚴(yán)格證明了比率判別法和他創(chuàng)造的根式判別法；指出∑un與∑2nu2n同時(shí)收斂或發(fā)散，由此推出一些 ukun-k)對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，他引進(jìn)了絕對(duì)收斂概念，指出絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必收 對(duì)于冪級(jí)數(shù)，柯西得到了收斂半徑公式 [后來J．阿達(dá)瑪(Hadam 一個(gè)函數(shù)可為它的泰勒級(jí)數(shù)代替只當(dāng)后者收斂且其和等于所給函數(shù)(文獻(xiàn)［1］，(2)2，pp．276—282)． 影響 在柯西手里，微積分構(gòu)成了由定義、定理及其證明和有關(guān)的各種應(yīng)用組成的邏輯上緊密聯(lián)系的體系．他的分析教程成為嚴(yán)格分析誕生的起點(diǎn)．無怪乎阿貝爾在1826年說，柯西的書應(yīng)當(dāng)為“每一個(gè)在數(shù)學(xué)研究中熱愛嚴(yán)謹(jǐn)性的分析學(xué)家研讀”．柯西的級(jí)數(shù)論對(duì)拉普拉斯的觸動(dòng)是眾所周知的：后者讀了柯西的論文后，趕快逐一檢查他在《天體力學(xué)》中所用的級(jí)數(shù)．柯西對(duì)P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)都有直接影響． 缺陷 柯西沒有系統(tǒng)使用ε-δ方法，通常更多依賴“充分接近”、“要多小就有多小”這類比較模糊的語言，未能區(qū)別逐點(diǎn)收斂與一致收斂(但晚年時(shí)已有所覺察)、逐點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)，有時(shí)不能恰當(dāng)處理累次極限，因而出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤的斷言及“證明”．例如：連續(xù)函數(shù)項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)具有連續(xù)和并可逐項(xiàng)積分；多元函數(shù)對(duì)每個(gè)自變量分別連續(xù)則整體連續(xù)；函數(shù)f(x，y)在過點(diǎn)(x0、y0)的每條直線上取到極大值則它在該點(diǎn)取到極大值． 柯西在證明一些定理時(shí)，實(shí)際上用了實(shí)數(shù)系的完備性，例如有界單調(diào)數(shù)列必收斂，但就像在談到收斂準(zhǔn)則充分性時(shí)那樣，他認(rèn)為這些都是不言自明的，未能意識(shí)到建立實(shí)數(shù)理論的必要性． 總之，柯西在分析的嚴(yán)格化方面做出了卓越貢獻(xiàn)，但尚未完成分析的算術(shù)化． 復(fù)變函數(shù)論的奠基人 19世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論逐漸成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支，柯西為此作了奠基性的工作． 復(fù)函數(shù)與復(fù)冪級(jí)數(shù) 《分析教程》中有一半以上篇幅討論復(fù)數(shù)與初等復(fù)函數(shù)，這表明柯西早就把建立復(fù)變函數(shù)論作為分析的一項(xiàng)重要工程．他以形式方法引進(jìn)復(fù)數(shù)(“虛表示式”)，定義其基本運(yùn)算，得到這些運(yùn)算的性質(zhì)．他比照實(shí)的情形定義復(fù)無窮小與復(fù)函數(shù)的連續(xù)性． 柯西利用實(shí)級(jí)數(shù)定義復(fù)值級(jí)數(shù)的收斂性并證明了一些收斂判別 “按虛表示式z的模小于或大于R而收斂或發(fā)散”．他把1/R刻畫為“當(dāng)n無限增加時(shí)an的數(shù)值的n次根所收 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，并討論了對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的多值性．他利用函數(shù)方程求出了復(fù)二項(xiàng)級(jí)數(shù)之和． 在很長(zhǎng)時(shí)間中，柯西堅(jiān)持對(duì)復(fù)數(shù)的形式看法．1847年，他提出用同余等價(jià)觀念看待復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)的運(yùn)算解釋為模i2＋1的運(yùn)算，而把i看作“一個(gè)實(shí)在但不定的量”(文獻(xiàn)[1]，(1)10)．到了晚年，他采納了復(fù)數(shù)的幾何表示(文獻(xiàn)[1]，(1)11)． 復(fù)積分 柯西寫于1814年的關(guān)于定積分的論文(發(fā)表于 1827年)是他創(chuàng)立復(fù)變函數(shù)論的第一步．他在文中批評(píng)歐拉、拉普拉斯、泊松和勒讓德都用了“基于實(shí)過渡到虛的歸納法，……這類方法，即使在使用時(shí)十分謹(jǐn)慎，多方限制，仍然使證明顯得欠缺”．他宣布自己的目標(biāo)是“用直接的嚴(yán)格的分析方法建立從實(shí)到虛的移植”．文中給出了所謂柯西-黎曼方程(實(shí)際上達(dá)朗貝爾于1752年，歐拉于1776年即已寫出這個(gè)方程組；柯西于1841年得到了這個(gè)方程組的極坐標(biāo)形式)；討論了改變二重積分的次序問題，提出了被積函數(shù)有無窮型間斷點(diǎn)時(shí)主值積分的觀念并計(jì)算了許多廣義積分． 柯西寫于1825年的關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的論文，是一篇力作．奇怪的是他本人似乎沒有充分看出此文的價(jià)值，生前一直未發(fā)表．文 當(dāng)x保持介于界限a與c之間，y保持介于界限b與d之間時(shí)為有限且連續(xù)，……我們能容易地證明上述積分的值即虛表示式 A＋iB不依賴于函 的“柯西積分定理”．柯西本人用變分方法證明了這條定理，證明中曲線連續(xù)變形的思想，可以說是“同倫”觀念的萌芽．文中還討論了被積函數(shù)出現(xiàn)一階與m階極點(diǎn)時(shí)廣義積分的計(jì)算． 應(yīng)當(dāng)指出，高斯于1811年致F．W．貝塞爾(Bessel)的一封信中已表述了積分定理，稱它為“一條非常美妙的定理”，說他“將在適當(dāng)時(shí)候給出它的一個(gè)不難的證明”，但他一直沒有發(fā)表． 柯西于1831年得到關(guān)于圓的積分公式 由此證明復(fù)函數(shù)可局部展開為冪級(jí)數(shù)，并在實(shí)際上指明了后者的收斂半徑是原點(diǎn)到所給函數(shù)最近極點(diǎn)之間的距離(文獻(xiàn)［1］，(2)12， pp． 60—61)．他還得到了所得冪級(jí)數(shù)通項(xiàng)和余項(xiàng)的估計(jì)式，后來發(fā)展為他獨(dú)創(chuàng)的“強(qiáng)函數(shù)法”． 殘數(shù)演算 術(shù)語“殘數(shù)”首次出現(xiàn)于柯西在1826年寫的一篇論文中(文獻(xiàn)[1]，(2)15)．他認(rèn)為殘數(shù)演算已成為“一種類似于微積分的新型計(jì)算方法”，可以應(yīng)用于大量問題，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函數(shù)，適合于確定定積分值的各種公式，大批級(jí)數(shù)尤其是周期級(jí)數(shù)的求和．具有有限或無限小差分和常系數(shù)、末項(xiàng)帶或不帶變量的線性方程的積分，拉格朗日級(jí)數(shù)或其他類似級(jí)數(shù)，代數(shù)或超越方程的解，等等．” 他給出了m階極點(diǎn)x1處的殘數(shù)公式 他先后得到關(guān)于矩形、圓和一般平面區(qū)域的殘數(shù)定理 ∫f(z)dz=2πiEf(z)， 其中E表示“提取殘數(shù)”即求f(z)在區(qū)域內(nèi)所有極點(diǎn)處殘數(shù)之和．他還詳細(xì)討論了極點(diǎn)位于矩形邊界時(shí)如何適當(dāng)修正系數(shù)2πi(文獻(xiàn)[1]，(2)6，pp．124—145)． 1843年，柯西向科學(xué)院遞交了很多短論，表明殘數(shù)演算可用于橢圓函數(shù)論．次年劉維爾發(fā)表了有界雙周期函數(shù)恒等于一常數(shù)的定理后，柯西立即指出它可以從殘數(shù)理論推出并可推廣到一般情形．1855年，他證明了 其中Z(z)是在區(qū)域S中只有孤立極點(diǎn)的函數(shù)，積分沿S的邊界，N，P分別為Z(z)在S中零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)(文獻(xiàn)[1]，(1)12，pp．285—292)．他對(duì)殘數(shù)演算的興趣終生不減，去世前三月還發(fā)表題為《殘數(shù)新理論》(Théorie nouvelle des residues，見文獻(xiàn)［1］，(1)12)的論文．殘數(shù)演算很快引起了同時(shí)代數(shù)學(xué)家的注意，越出了法國(guó)國(guó)界．1834與1837年在意大利和英國(guó)分別出現(xiàn)了有關(guān)的綜述．M．P．H．洛朗(Laurent)于1865年出版了專著《殘數(shù)理論》(Théorie des residues)．俄國(guó)第一篇關(guān)于復(fù)變函數(shù)的論文是Ю．索霍茨基(Сохоцкий)1868年發(fā)表的關(guān)于殘數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)位論文． 復(fù)變函數(shù)論的建立 柯西對(duì)復(fù)變函數(shù)的研究也有不足．首先，對(duì)于這一理論的對(duì)象，他一直未能明確界定，實(shí)際上未能明確建立作為復(fù)可微性的解析性概念．其次，他沒有區(qū)分孤立奇點(diǎn)的不同類型，只注意了極點(diǎn)．最后，他沒有區(qū)別極點(diǎn)和分支點(diǎn)，未能認(rèn)識(shí)多值函數(shù)的本質(zhì)．在法國(guó)，洛朗、劉維爾、V．皮瑟(Puiseux)和C．埃爾米特(Her－mite)緊接著進(jìn)行了許多研究．C．A．布里奧(Briot)和J－C．布凱(Bouquet)于1859年出版了《雙周期函數(shù)論》(Théorie desfonctions doublement périodiques et，en particulier，des fonc－tions elliptiques)，闡明了柯西理論的對(duì)象，系統(tǒng)闡述了復(fù)變函數(shù)論，對(duì)于把柯西的觀念傳播到全歐洲起了決定性作用，標(biāo)志著單復(fù)變函數(shù)論正式形成． J．H．龐加萊(Poincaré)在談?wù)搹?fù)變函數(shù)論的四位奠基人——高斯、柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯時(shí)說：“柯西早于后兩位，并為他們指明了道路．” E．皮卡(Picard)在比較高斯與柯西對(duì)這一領(lǐng)域的貢獻(xiàn)時(shí)說：“人們不大可能認(rèn)為高斯沒有抓住高度重要的事物；然而，忠于他的‘少而精’的格言，他無疑一直在等待以使他的作品更加成熟，而柯西這時(shí)卻公布了自己的發(fā)現(xiàn)．因而應(yīng)當(dāng)把柯西看作這一開辟了遠(yuǎn)大前程的理論的真正奠基人．” 彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者 柯西之前的研究 18世紀(jì)，理性力學(xué)迅速發(fā)展，成為微積分學(xué)應(yīng)用的一個(gè)特殊領(lǐng)域． 1788年，拉格朗日的《分析力學(xué)》(Mécanique analytique)出版．書中不借助幾何圖形，只從虛位移原理出發(fā)推導(dǎo)出全部質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)．W．R．哈密頓(Hamilton)曾說這本書是“科學(xué)詩篇”．在 1811年的增訂第 2版中，拉格朗日通過把固體或流體看成無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，進(jìn)一步研究了連續(xù)固體和流體力學(xué)．在此之前，歐拉已建立了流體力學(xué)基本方程組．但在當(dāng)時(shí)，固體力學(xué)還局限于不可變形的物體． 19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們開始研究彈性面的平衡和運(yùn)動(dòng)．S．熱爾曼(Germain)和泊松于1815年各自獨(dú)立地得到了各向同性的可撓彈性表面的方程．稍后，C．L．M．H．納維爾(Navier)于1820年向科學(xué)院遞交了引人注目的論文，應(yīng)用拉格朗日和J．B．J．傅里葉(Fourier)的分析方法，研究有負(fù)載的彈性板在不忽略其厚度時(shí)的微小變形．但他把由伸縮引起的彈性力與由彎曲引起的力完全分開，假定前者總沿它所作用的截面的法向，而這在一般情況下是不成立的．他于1821年寫的論文，使用了分子模型，是彈性論中極富創(chuàng)造性的研究，但此文直到1827年才發(fā)表． 當(dāng)時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變概念尚未建立，其特性更未得到數(shù)量刻畫．由于未能把應(yīng)力表示為變形的函數(shù)，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程難于應(yīng)用到彈性體上?？挛饔?822—1830年間發(fā)表的一系列論文，使用連續(xù)物質(zhì)和應(yīng)力-應(yīng)變模型，成功地解決了這些問題． 應(yīng)力柯西把應(yīng)力規(guī)定為由外力和物體變形等因素引起的物體內(nèi)部單位面積截面上的內(nèi)力．他認(rèn)為，對(duì)物體內(nèi)任一閉曲面S，在研究S的外部對(duì)內(nèi)部的作用時(shí)，可以忽略物體各部分的相互體力，等價(jià)地用定義在S上的應(yīng)力場(chǎng)來代替．這可使計(jì)算大為簡(jiǎn)化，并為實(shí)驗(yàn)證實(shí)．由于歐拉已有類似想法，所以現(xiàn)代稱它為歐拉-柯西應(yīng)力原理． 對(duì)于物體中任一點(diǎn)P，柯西通過點(diǎn)P處三個(gè)分別平行于坐標(biāo)面的截面上的應(yīng)力來描述該點(diǎn)處任一截面上的應(yīng)力．分射以σ，σxy，σxz(σyx，σyy，σyz；σzx，σzy，σzz)表示點(diǎn)P處平行于yz(zx，xy)坐標(biāo)面的截面上的應(yīng)力的x，y，z分量，柯西得到點(diǎn)P處法向量方向余弦為vx，vy，vz的截面上應(yīng)力σvy的分量為 σvx=vxσxx＋vyσyx+vzσzx， σvy=vxσxy＋vyσyy＋vzσzy， σvz=vxσxz＋vyσyz＋vzσzz， 現(xiàn)稱為柯西斜面應(yīng)力公式．由于σxy=σyx，σyz=σzy，σxz=σzx，9個(gè)量σxx，…，σzz中只有6個(gè)是獨(dú)立的．用現(xiàn)代語言，這9個(gè)量構(gòu)成一個(gè)2階對(duì)稱張量——應(yīng)力張量．σvy沿截面法向的分量為 在點(diǎn)P取所有可能的截面，沿法向取長(zhǎng)度為σvn的向徑，則其端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二次曲面，現(xiàn)稱為柯西應(yīng)力二次曲面．在以此二次曲面三個(gè)互相垂直的軸為法向的截面上，應(yīng)力垂直于截面．這就是柯西引入的主應(yīng)力．以這3個(gè)軸作為坐標(biāo)軸，應(yīng)力矩陣成為對(duì)角矩陣．于是，求一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)歸結(jié)為求3個(gè)主應(yīng)力． 應(yīng)變與幾何方程 柯西把應(yīng)變規(guī)定為在外力作用下物體局部的相對(duì)變形．對(duì)于微小變形，他用類似于研究應(yīng)力的方法研究一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)，指出它可用6個(gè)分量εxx，εyy，εzz，εxy，εyz，εzx描繪，現(xiàn)稱為柯西應(yīng)變張量或小應(yīng)變張量．設(shè)ξ，η，ρ分別為x，y，z方向的位移分量，他用略去高階無窮小的方法得到反映應(yīng)變與位移之間關(guān)系的幾何方程 對(duì)于應(yīng)變，同樣可構(gòu)造應(yīng)變二次曲面，建立主應(yīng)變概念． 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系 對(duì)于微小變形，柯西假定主應(yīng)力分別沿主應(yīng)變方向．起初他考慮各向同性情形，此時(shí)3個(gè)主應(yīng)力與主應(yīng)變成等比例，由此得到用ε線性表示σ或用σ線性表示ε的公式，其中有兩個(gè)常數(shù)．后來他進(jìn)而研究各向異性情形，此時(shí)用ε線性表示σ的公式中有34=81個(gè)分量即81個(gè)彈性常數(shù)．由對(duì)稱性，他推出其中只有36個(gè)是獨(dú)立的(文獻(xiàn)[1]，(2)9，pp． 342—372)．這些公式是胡克定律的推廣，現(xiàn)在通稱為廣義胡克定律． 彈性體運(yùn)動(dòng)和平衡方程 在1828年關(guān)于彈性體與非彈性體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)和平衡的論文中，對(duì)各向同性物體內(nèi)任何一點(diǎn)，柯西得到 度，他還寫出了非各向同性的彈性體的運(yùn)動(dòng)和平衡方程． 總之，柯西確定了應(yīng)力和應(yīng)力分量、應(yīng)變和應(yīng)變分量概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運(yùn)動(dòng)和平衡方程、各向同性及各向異性材料的廣義胡克規(guī)律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，成為19世紀(jì)繼拉普拉斯之后法國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)派最杰出的代表． 多產(chǎn)的科學(xué)家 柯西全集 柯西是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，發(fā)表論文800篇以上，其中純數(shù)學(xué)約占65％，幾乎涉及當(dāng)時(shí)所有數(shù)學(xué)分支；數(shù)學(xué)物理(力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué))約占35％．1882年起，巴黎科學(xué)院開始出版《柯西全集》，把他的論文按所登載的期刊分類，同一種期刊上的則按發(fā)表時(shí)間順序排列． 《全集》凡27卷，分兩個(gè)系列．第一系列共12卷，發(fā)行于1882—1911年，包括發(fā)表于巴黎科學(xué)院刊物上的論文．第二系列共15卷．第1，2兩卷是發(fā)表于其他科學(xué)期刊上的論文；第3，4，5卷是他寫的教材；第6至14卷是他個(gè)人出版的刊物——51期《數(shù)學(xué)演習(xí)》， 5期《分析概要》(Resumés analytiques)， 8期《數(shù)學(xué)新演習(xí)》和48期《分析和數(shù)學(xué)物理演習(xí)》．第15卷于1974年問世，主要包含他以小冊(cè)子或石印形式發(fā)表的著作． 《全集》中有8篇文章談及教育、犯罪和宗教信仰問題；其他非科學(xué)著作未收入《全集》．柯西1824年在綜合工科學(xué)校講授第二學(xué)年分析的講義已由C．吉蘭(Gilain)編輯出版．他的大部分手稿和信件存放于巴黎科學(xué)院檔案館． 在柯西生前和身后，不斷有人批評(píng)他發(fā)表過多；事實(shí)上他也確實(shí)發(fā)表了一些價(jià)值很小或內(nèi)容重復(fù)的文章，然而他的絕大多數(shù)論著都顯示了一位多才多藝的學(xué)者對(duì)科學(xué)的卓越貢獻(xiàn)．下面介紹他在前述三個(gè)領(lǐng)域外的主要工作． 常微分方程柯西在歷史上首次研究了常微分方程解的局部性態(tài)．給定微分方程y′=f(x，y)及初始條件y(x0)=y0，在f連續(xù)可微的假定下，他用類似于歐拉折線的方法構(gòu)造逼近解，利用微分中值定理估計(jì)逼近解之間差的上界，嚴(yán)格證明了在以x0為中心的一個(gè)小區(qū)間上逼近解收斂，其極限函數(shù)即為所提問題的解．他指出這個(gè)方法也適用于常微分方程組．柯西還給出了具有非唯一解的初值問題的例子，表明他已洞察到微分方程論的本質(zhì)． 柯西的另一貢獻(xiàn)是他所稱的“界限演算”即現(xiàn)在通稱的“強(qiáng)函數(shù)法”或“強(qiáng)級(jí)數(shù)法”．他指出，對(duì)以前所用的微分方程積分法，“只要人們不提供保證所得級(jí)數(shù)收斂且其和是滿足給定方程的函數(shù)的手段，就往往是虛幻的”．在研究f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的鄰域內(nèi)可展開為冪級(jí)數(shù)的微分方程y′=f(x，y)時(shí)，他用y′=F(x，y)與之比較，其中F滿足：如果 f(x，y)=∑ckj(x-x0)k(y-y0)j， F(x，y)=∑Ckj(x-x0)k(y-y0)j， 則對(duì)一切k，j有|ckj|≤Ckj．他證明，如果y′=F(x，y)在x0的鄰域內(nèi)有可展開為冪級(jí)數(shù)的解，則y′=f(x，y)在該鄰域內(nèi)也有可展開為冪級(jí)數(shù)的解；他并且給出了選取強(qiáng)函數(shù)的一般方法(文獻(xiàn)［1］，(1)2，6，7)． 得到 其中C是任一包圍F所有零點(diǎn)的圍道，φ是任一多項(xiàng)式(文獻(xiàn)[1]，(1)4，p．370)． n維向量，A是給定的n階矩陣)，他引進(jìn)S(s)=det(A-sI)(I是單位矩陣)，得到所給方程組在初始條件x(0)=α下的解(文獻(xiàn)［1］，(1)5，6)． 偏微分方程 柯西與J．F．普法夫(Pfaff)同時(shí)(1819年)發(fā)現(xiàn)了一階偏微分 PP．399—465)． 柯西把傅里葉變換應(yīng)用于他在研究流體力學(xué)、彈性論和光學(xué)中遇到的常系數(shù)線性偏微分方程．他在 1815年的論文中已正確寫出了傅里葉變換的反演公式(傅里葉于1807和1811年已得到這些公式，但直到1824至1826年才發(fā)表)．他還引進(jìn)了積分號(hào)下的收斂因子和奇異因子(相當(dāng)于δ函數(shù))．在大量使用傅里葉變換方面，柯西超過了泊松以至傅里葉本人． 1821年后，柯西考慮了寫成算子形式的線性偏微分方程 其中F是n＋1元多項(xiàng)式．他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于滿足F(w1，…，wn，s) 這類指數(shù)形式的解迭加，以便用傅里葉變換得到通解．對(duì)于波動(dòng)方程，這就是平面諧波的迭加．當(dāng)給定初始條件 時(shí)，他得到了寫為圍道積分形式的解(文獻(xiàn)［1］，(2)1，2)． 柯西于1842年考慮了一階線性偏微分方程組的初值問題： 線性的，wk在該鄰域內(nèi)也解析，則所給問題存在唯一解，并可展開為局部收斂的冪級(jí)數(shù)(文獻(xiàn)［1］，(1)6，pp．461—470)．后來C．B．科瓦列夫斯卡婭(Ковалевская)于1875年重新發(fā)現(xiàn)和證明了這個(gè)結(jié)果． 群論 E．伽羅瓦(Galois)使代數(shù)研究的性質(zhì)起了根本的變化，而柯西是伽羅瓦的先驅(qū)者之一．他在 1812年關(guān)于對(duì)稱函數(shù)的論文中證明，n元有理函數(shù)能取的不同值的數(shù)目，或者不大于2，或者不小于包含于n中的最大素?cái)?shù)p． 柯西與拉格朗日、P．魯菲尼(Ruffini)同為最早研究代換群的數(shù)學(xué)家．柯西定義了代換之積，引進(jìn)單位代換、逆代換、相似代換、代換的階以及共軛代換系等概念，證明P與Q相似當(dāng)且僅當(dāng)存在代換 R滿足Q=P-1RP；任一代換群的階可被群中任一代換的階整除；n個(gè)變量的代換構(gòu)成的任何群的階是n！的—個(gè)因子(此點(diǎn)其實(shí)已為拉格朗日證明)；當(dāng)n＞4時(shí)，n個(gè)變量的一切代換構(gòu)成的群Sn的子群H在Sn中的指數(shù)或者是2，或者至少是n；如果素?cái)?shù)p整除一有限群的階，則在群中存在p階元．刊載這些結(jié)果的論文發(fā)表于1845—1846年(文獻(xiàn)［1］，(1)9，10及文獻(xiàn)[13])，當(dāng)時(shí)即得到廣泛傳播，對(duì)群論的發(fā)展有相當(dāng)大的影響． 行列式 萊布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都研究過行列式．在19世紀(jì)，很大程度上是柯西使它得到持續(xù)發(fā)展．事實(shí)上，détermi－nant(行列式)這個(gè)術(shù)語就是他引入的．與現(xiàn)在通常的做法不同，柯西于1812年從n個(gè)元或數(shù)a1，…，an出發(fā)，作所有不同元之差的積a1a2…an(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1)…(an-a2)…(an-an-1)；對(duì)于這個(gè)積中各項(xiàng)所 把這樣改寫后得到的表示式定義為一個(gè)行列式，記作S(±a1·1a2·2…an·n)．然后他把所得式中n2個(gè)量排成正方形表 a1·1 a1·2… a1·n a2·1 a2·2…a2·n …… an·1an·2…an·n 稱這n2個(gè)量構(gòu)成一個(gè)“n階對(duì)稱系”，并用循環(huán)代換給出確定各項(xiàng)符號(hào)的法則．他引進(jìn)共軛元、主元等概念，導(dǎo)出行列式的許多性質(zhì)．他還把行列式用于幾何與物理問題，例如求平行六面體體積．在與波有關(guān)的問 列式． 數(shù)論 柯西在數(shù)論中也得出不少結(jié)果或給出一些已有結(jié)論的新證明．1813年，他給出P．de費(fèi)馬(Fermat)關(guān)于每個(gè)正整數(shù)是m個(gè)m角數(shù)之和這一論斷的第一個(gè)證明；他還得到，除4個(gè)數(shù)外，所有其余的m角數(shù)均可取0或1(文獻(xiàn)［1］，(2)6，pp．320—353)．1840年，他證明若p是形如 4l＋ 3的素?cái)?shù)， A是p的二次剩余， B是p的二次 其中 B為伯努利數(shù)(文獻(xiàn)[1]，(1)3，p．172)．他還得到，如果 余的數(shù)目，則 其中 a，b大于0小于n且(a/n)=1，(b/n)=-1．對(duì)n=4l＋1也有類似公式．他由此得到，對(duì)n=4l＋3， 其中h(-n)是真本原類的個(gè)數(shù)．該式稱為柯西類數(shù)公式(文獻(xiàn)[1]，(1)3，p．388)． 解析幾何 柯西有效地應(yīng)用了直線和平面的法式方程，給出了空間直線方程的參數(shù)形式 他研究了二次曲面的分類，完整地討論了徑面和中心問題，完善了歐拉、蒙日和J．N．P．阿歇特(Hachette)的有關(guān)工作．他在本質(zhì)上給出了現(xiàn)在教科書上通用的由標(biāo)準(zhǔn)型二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)來分類的結(jié)果．他還研究了單葉雙曲面的母線(文獻(xiàn)［1］，(2)5，8)． 微分幾何 歐拉給出了空間曲線的弧微分公式，柯西進(jìn)一步用弧長(zhǎng)作為參數(shù)，使x，y，z的作用對(duì)稱化．他定義了位于密切平面上的主法線，指出其 于1847年，J．A．塞雷(Serret)于1850年獨(dú)立于柯西給出了通稱的弗雷內(nèi)-塞雷公式． 柯西證明曲面上通過某點(diǎn)的所有曲線在該點(diǎn)的切線位于同一平面上，此即切平面．設(shè)曲面方程為u(x，y，z)=0，他寫出點(diǎn)(x，y，z)處的切平面方程為 誤差論 拉普拉斯研究了如何使n個(gè)觀察數(shù)據(jù)(xk，yk)(k=1，2，…，n)擬合于直線 y=ax+b．柯西在拉普拉斯建議下用類似方法研究了三維數(shù)據(jù)擬合 z=ax＋by＋c的問題(文獻(xiàn)［1］，(2)1，2)，他提出使一組觀察數(shù)據(jù)擬合于多項(xiàng)式 u=ax＋by＋cz＋…，其中項(xiàng)數(shù)依賴于擬合的優(yōu)度，在計(jì)算過程中確定．他假定誤差εk=uk-axk-byk-czk-…具有概率密度f，并采用了一些不大可靠的假設(shè)，結(jié)果得出一個(gè)著名的概率密度：若f滿足他所作的假設(shè)，則它具有傅里葉變換φ(ξ)=eαξN，α，N為常數(shù)．當(dāng)N=1時(shí)，就得到通稱的柯西概率密度 (文獻(xiàn)[1]，(1)2，pp．5—17)． 數(shù)值分析 象許多同時(shí)代數(shù)學(xué)家一樣，柯西也熱衷于數(shù)值逼近．他計(jì)算e到小數(shù)點(diǎn)后7位，并估計(jì)了取e的級(jí)數(shù)展開前n項(xiàng)時(shí)所產(chǎn)生的誤差．他描述了解方程的迭代方法，并在具體例子中給出誤差估計(jì)．對(duì)于微分方程和差分方程，他也給出了許多近似解的誤差估計(jì)．他首次表述了牛頓求方程根的方法在何種條件下收斂，并借助現(xiàn)稱的柯西-施瓦茲不等式推廣到復(fù)函數(shù)情形，給出了數(shù)值例子．他把拉格朗日插值公式推廣到有理函數(shù)，并得到了與高斯、埃爾米特所得結(jié)果類似的三角插值公式(文獻(xiàn)［1］，(1)5，(2)3)． 光學(xué) 柯西在兩個(gè)方面改進(jìn)了A．J．菲涅爾(Fresnel)的理論．第一，他從以太-分子作用的更一般的理論出發(fā)，預(yù)言了3條偏振光線的傳播，而菲涅爾認(rèn)為只有2條．第二，柯西指出菲涅爾關(guān)于光線中以太分子的振動(dòng)垂直于偏振平面的看法不對(duì)，認(rèn)為偏振平面平行于光線和以太振動(dòng)的方向． 柯西還對(duì)光的反射和折射提出了自己的看法，并相當(dāng)成功地解釋了雙折射．他還試圖在分子基礎(chǔ)上解釋光速對(duì)波長(zhǎng)的依賴問題．(文獻(xiàn)[1]，(1)2，4，5；(2)2．) 天體力學(xué) 柯西證明了天文學(xué)中出現(xiàn)的一些級(jí)數(shù)的收斂性并做了詳細(xì)的計(jì)算，特別對(duì)開普勒方程的解和攝動(dòng)函數(shù)的展開進(jìn)行了細(xì)致的討論，其中有現(xiàn)在天文學(xué)教材上仍提到的柯西系數(shù)．柯西關(guān)心U．J．J．勒威耶(Le Verrier)的工作，后者于1845年對(duì)智神星平均運(yùn)動(dòng)中的大不等式做了冗長(zhǎng)的計(jì)算，柯西隨即用簡(jiǎn)單得多的方法加以檢驗(yàn)．他使用的工具是偏近點(diǎn)角到平近點(diǎn)角的過渡公式以及所謂“柯西混合法”，即在計(jì)算攝動(dòng)函數(shù)的負(fù)冪時(shí)把數(shù)值積分與有理積分結(jié)合起來，并按平近點(diǎn)角展開攝動(dòng)函數(shù)，對(duì)某項(xiàng)后的各項(xiàng)進(jìn)行漸近估計(jì)．(文獻(xiàn)［1］，(1)5．) 復(fù)雜的人 從柯西卷帙浩大的論著和多方面豐碩的成果，人們不難想象他一生怎樣孜孜不倦地勤奮工作．但是，如果不了解柯西的另一些側(cè)面，對(duì)他的認(rèn)識(shí)就會(huì)是不完整的． 忠誠的保王黨人 柯西屬于波旁有產(chǎn)階層，畢生忠于波旁王室．他于1808年加入圣會(huì)，該會(huì)成立于1801年，發(fā)展很快，逐漸由初創(chuàng)時(shí)的宗教團(tuán)體演變?yōu)榫哂袕?qiáng)烈保王黨色彩的政治團(tuán)體，在波旁王朝復(fù)辟時(shí)代舉足輕重，能左右政局． 如前所說，1830年革命后，柯西離開法國(guó)．他在1835年對(duì)此事作了如下解釋：“人們非常清楚地知道是什么事件使我正式放棄我在法國(guó)擁有的三個(gè)席位，只有何種莊嚴(yán)的召喚才能使我放棄撒丁國(guó)王屈尊授予我的數(shù)學(xué)物理教席．無庸置疑，我確信我能為路易十六近裔……的進(jìn)展做出貢獻(xiàn)．”(文獻(xiàn)［1］，(2)10，pp．189—190．)這里的“事件”當(dāng)然指波旁王朝再次傾覆，而“莊嚴(yán)的召喚”當(dāng)指查理十世聘請(qǐng)他擔(dān)任其孫的宮廷教師．1852年5月，柯西為拒絕宣誓效忠拿破侖三世致信巴黎理學(xué)院院長(zhǎng)，聲明他繼續(xù)忠于波旁王室． 具有諷刺意味的是，正是推翻了波旁王朝的法國(guó)大革命，為科學(xué)進(jìn)步、也為柯西天才的發(fā)揮創(chuàng)造了十分有利的條件．革命后科學(xué)家和工程師享有的崇高榮譽(yù)，綜合工科學(xué)校的建立，以及許多科學(xué)機(jī)構(gòu)的積極活動(dòng)，都是對(duì)年輕有為者從事科學(xué)工作的巨大吸引和鼓舞．另一方面，柯西在科學(xué)中的卓越貢獻(xiàn)，也是對(duì)社會(huì)革命的促進(jìn)．情形多少有點(diǎn)像巴爾扎克：他也是保王黨人，但《人間喜劇》(La comédie humaine)描繪的卻正是貴族階級(jí)只配落得破產(chǎn)的命運(yùn)． 熱心的天主教徒 柯西的父親從小對(duì)柯西進(jìn)行宗教教育，因而柯西童年時(shí)即已熟讀《圣經(jīng)》．1816年后，柯西積極參加圣會(huì)的慈善活動(dòng)，訪問醫(yī)院和監(jiān)獄，宣傳教義．1824年，他參與籌組天主教協(xié)會(huì)，為5名理事之一．他多次在科學(xué)院會(huì)議上頌揚(yáng)宗教，司湯達(dá)爾(Stendhal)稱他為“法蘭西研究院中穿短袍的耶穌會(huì)士”．1839年，柯西參與創(chuàng)建天主教學(xué)院，1842年任該院秘書，熱心于院里的教學(xué)．1850年曾在《宗教之友》(L′Ami de La Religion)上發(fā)表兩封長(zhǎng)信，對(duì)反耶穌會(huì)的人進(jìn)行攻擊． 柯西的天主教宗教活動(dòng)與保王黨政治態(tài)度是緊密相聯(lián)的．正如他自己所說：“天主教事務(wù)由正統(tǒng)派獨(dú)攬”，這里“正統(tǒng)派”就是擁戴波旁王室的政治派別． 落落寡合的學(xué)者 盡管柯西彬彬有禮，但與科學(xué)院中的同事關(guān)系冷淡．19世紀(jì)20年代的一篇文章這樣評(píng)論柯西：“他的呆板苛刻以及對(duì)剛踏上科學(xué)道路的年輕人的冷漠，使他成為最不可愛的科學(xué)家之一．” 科學(xué)界對(duì)復(fù)辟的王朝于1816年清洗卡諾和蒙日很反感，因?yàn)閮扇硕际鞘苋俗鹁吹目茖W(xué)家．柯西卻毫不猶豫地接受了國(guó)王令他接任院士的任命．以柯西的才華和貢獻(xiàn)而不通過選舉成為院士，實(shí)在不是什么光榮． 柯西在科學(xué)院會(huì)議上宣揚(yáng)宗教，加之他性格孤僻，很不欣賞具有自由派色彩的科學(xué)家如普安索和阿拉戈，就使他在會(huì)議中常處于孤立狀態(tài)．正如有人回憶的：“他的天主教狂熱和多疑的性格，使他在這樣的集會(huì)上與周圍的人很不協(xié)調(diào)，顯得怪誕．” 作為教師和導(dǎo)師的柯西 雖然柯西寫下了偉大的分析教本，但似乎算不上一位出色的教師，在綜合工科學(xué)校講授分析時(shí)，由于內(nèi)容過于抽象，曾多次受到校方和學(xué)生的批評(píng)．在都靈大學(xué)講課時(shí)，開始報(bào)名聽課的人很多，而其講課情形，據(jù)L．F．梅納勃?jiǎng)?Menabrea)回憶說：“非?；靵y，突然從一個(gè)想法跳到另一個(gè)公式，也弄不清是怎么轉(zhuǎn)過去的．他的講授是一片烏云，但有時(shí)被天才的光輝照亮；對(duì)于青年學(xué)子，他令人厭倦．” J．貝特朗(Bertrand)曾這樣回憶柯西在巴黎理學(xué)院的講課：“應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，他的第一堂課使聽眾(他們都是優(yōu)秀學(xué)生)的期望落空，他們不是陶醉而是驚訝于他涉及的有點(diǎn)混亂的各式各樣的主題．” 不過，他在講課時(shí)所表現(xiàn)出的天才仍使不少人受益，包括后來成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的埃爾米特、皮瑟、布里奧、布凱和C．梅雷(Méray)． 當(dāng)時(shí)巴黎是歐洲數(shù)學(xué)中心，年輕學(xué)子從各地趕來，在巴黎理學(xué)院和法蘭西學(xué)院聽課，拜會(huì)久負(fù)盛名的科學(xué)泰斗．同時(shí)，法國(guó)本土也不斷產(chǎn)生年輕的天才．所有這些人都需要得到鼓勵(lì)和指導(dǎo)．柯西本人起步時(shí)也得到過拉格朗日、拉普拉斯和泊松的幫助，但他對(duì)后起之秀卻不甚熱心，有時(shí)甚至冷漠無情．在對(duì)待J．V．龐斯列(Poncelet)、阿貝爾和伽羅瓦的態(tài)度上，柯西為人的欠缺至為明顯． 龐斯列關(guān)于射影幾何的研究招致柯西嚴(yán)厲的批評(píng)，說它缺乏嚴(yán)格性．許多年后，龐斯列在回憶柯西于1820年6月的一天打發(fā)他走時(shí)，仍然充滿怨氣和辛酸，說從柯西那里“沒有得到任何指點(diǎn)，任何科學(xué)評(píng)價(jià)，也不可能獲得理解”．是不是由于龐斯列參加了1812年的遠(yuǎn)征并在俄國(guó)被俘而導(dǎo)致作為保王黨人的柯西的反感，就不得而知了． 阿貝爾寫道，對(duì)于柯西，“沒法同他打交道，盡管他是當(dāng)今最懂得應(yīng)當(dāng)如何搞數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家．”“我已完成了一篇關(guān)于一類超越函數(shù)的大文章，……我把它給了柯西，但他幾乎沒有瞟一眼．” 這就是那篇在橢圓函數(shù)論中具有劃時(shí)代意義的論文．傅里葉于1826年10月30日把此文送交勒讓德和柯西，并讓后者寫審定結(jié)論．柯西把稿子扔在一邊，只是當(dāng)雅可比注意到此文并通過勒讓德征詢其下落時(shí)，柯西才于1829年6月29日把該文連同他寫的一篇頗有保留的評(píng)論提交科學(xué)院，而這時(shí)阿貝爾已去世．此文直到1841年才發(fā)表． 1829年5月，伽羅瓦把他關(guān)于代數(shù)方程解的兩篇論文呈遞科學(xué)院．6月1日的科學(xué)院會(huì)議決定讓柯西進(jìn)行審查，但他沒有作出任何結(jié)論，他把這兩份手稿丟失了！這兩份珍貴的手稿迄今仍未找到． |
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