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劉徽 中國科學院自然科學史研究所 郭書春 劉徽 中國山東人．公元3世紀．數(shù)學． 劉徽生平不詳．自述“徽幼習《九章》，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源．探賾之暇，遂悟其意．是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注”．《晉書》、《隋書》之《律歷志》稱“魏陳留王景元四年(公元263年)劉徽注《九章》”．《九章算術(shù)注》原十卷．他自撰自注的第十卷“重差”自南北朝后期以《海島算經(jīng)》為名單行．前九卷仍與《九章算術(shù)》合為一體行世．唐初李淳風奉敕編纂《算經(jīng)十書》，《九章算術(shù)》和《海島算經(jīng)》列為其中兩部．《九章算術(shù)注》之圖及《海島算經(jīng)》之自注和圖今已不傳． 《九章算術(shù)》——劉徽繼承的數(shù)學遺產(chǎn) 劉徽從事數(shù)學研究時，繼承了一分以《九章算術(shù)》為主體的堪稱豐厚而又有嚴重缺陷的數(shù)學遺產(chǎn)，其基本情況是： 世界上最方便最先進的十進位置值制記數(shù)法和計算工具算籌在中國首創(chuàng)并已使用至少千年．算籌的截面已由圓變方，長度已由西漢的13厘米左右縮短為8—9厘米． 《九章算術(shù)》于公元前一世紀成書，至此時已300余年．光和大司農(nóng)斛、權(quán)(179年)“依黃鐘律歷、《九章算術(shù)》”制造，說明它至晚在東漢已成為官方認定的經(jīng)典著作．《九章算術(shù)》包括方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中國古算的基本框架；提出了上百個公式、解法，有完整的分數(shù)四則運算法則，比例和比例分配算法，若干面積、體積公式，開平方、開立方程序，盈不足算法，方程術(shù)即線性方程組解法，正負數(shù)加減法則，解勾股形公式和簡單的測望問題算法，其中許多成就在世界上處于領(lǐng)先地位，形成了中國古算以計算為中心的特點；含有246個應用題，體現(xiàn)了中國古算密切聯(lián)系實際的風格；在編排上，《九章算術(shù)》或者先提出術(shù)文，后列出幾個例題，或者先列出一個或幾個例題，后提出術(shù)文，確立了中國古算以術(shù)文(公式、解法)挈領(lǐng)應用問題的基本形式．公元元年前后，盛極一時的古希臘數(shù)學走向衰微，《九章算術(shù)》成書標志著世界數(shù)學研究重心從地中海沿岸轉(zhuǎn)到了中國，開創(chuàng)了東方以算法為中心的數(shù)學占據(jù)世界數(shù)學舞臺主導地位千余年的局面． 然而，《九章算術(shù)》也有不容忽視的缺點：對所有概念沒有定義；對所有術(shù)文沒作任何推導、證明；各章的編排或者按應用，或者按方法，或者兩者混雜，不盡合理．東漢以后許多學者如馬續(xù)、張衡、鄭玄、劉洪、徐岳、闞澤等都研究過《九章算術(shù)》，這些研究無疑成為劉徽“采其所見”的資料，然好象仍停留在以某種方式驗證的階段，對《九章算術(shù)》的許多關(guān)鍵性公式、解法并未嚴格證明，對其中某些不精確或失誤處，并未指出，理論建樹不大．其具體情況在論述劉徽的貢獻時要提到． 面對這樣的數(shù)學遺產(chǎn)，劉徽的業(yè)績不言而喻主要體現(xiàn)在數(shù)學證明和數(shù)學理論上． 率——計算的綱紀 《九章算術(shù)》上百個公式、解法，每個都是一種算法，除個別失誤外，都具有完全確定性、普適性和有效性等現(xiàn)代計算理論對算法的要求．劉徽《九章算術(shù)注》的主要篇幅是通過“析理以辭、解體用圖”對其算法的正確性進行證明，對諸算法間的內(nèi)部聯(lián)系及其應用進行論述． 為了用計算解決一個問題，關(guān)鍵是要根據(jù)問題的條件找到一種量作標準，進而找到諸量之間的關(guān)系．中國古代數(shù)學概念“率”承擔了這個職責．“率”的本意是規(guī)格、標準、法度．《孟子·盡心上》：“羿不為拙射變其彀率．”《墨子·備城門》：“城下樓卒，率一步一人，二十步二十人，城大小以此率之．”反映了“率”逐步轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學概念的過程．《九章算術(shù)》的許多術(shù)文和問題題設(shè)應用了率，提出了“今有術(shù)”和勾股數(shù)通解公式等重要成就，然有的應用卻偏離了約定俗成的內(nèi)涵．劉徽則大大發(fā)展了率的思想，從而把《九章算術(shù)》的算法提高到系統(tǒng)理論的高度． 劉徽關(guān)于“率”的定義是：“凡數(shù)相與者謂之率．”“相與”即相關(guān)，這里是一種線性相關(guān)．“數(shù)”實際上是一組量．現(xiàn)今的比率是最直觀且應用最廣泛的一種率關(guān)系，但是，率的涵義卻比比率要深刻、廣泛得多．由率的定義，劉徽得出率的重要性質(zhì)：“凡所得率知，細則俱細，粗則俱粗，兩數(shù)相抱而已．”即一組成率的數(shù)，在投入運算時，其中一個縮小或擴大某倍數(shù)，則其余的數(shù)必須同時縮小或擴大同一倍數(shù)．根據(jù)率的這一性質(zhì)，劉徽提出了乘、約、齊同三種等量變換．它們最初都是從分數(shù)運算中抽象出來的．事實上，分數(shù)的分子和分母可以看成率關(guān)系．劉徽關(guān)于“率”的定義就是在“經(jīng)分術(shù)”(即分數(shù)除法)注中提出來的．那么，關(guān)于分數(shù)運算的三種等量變換自然推廣到率的運算中．成率關(guān)系的一組量如有等數(shù)即公因子)，則可用此等數(shù)約所有的量(稱為“ 約”)，而不改變率關(guān)系，這就是“約以聚之”．相反，成率關(guān)系的所有數(shù)可以同乘某一數(shù)，亦不改變率關(guān)系，這就是“乘以散之”．利用這兩種等量變換可以把成率關(guān)系的任意一組數(shù)(在現(xiàn)今實數(shù)范圍內(nèi))化成沒有公因子的一組數(shù)，而不改變率關(guān)系，從而提出了“相與率”的概念：“等除法、實，相與率也．”兩個量的相與率實際上是今天互素的兩個數(shù)．在運算時，劉徽一般使用相與率．幾個分數(shù)只有化成同一分數(shù)單位才能進行加減，從而產(chǎn)生了齊同術(shù)：“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同．同者，相與通同共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數(shù)也”．而對比較復雜的問題，常常有相關(guān)的分別成率關(guān)系的兩組或幾組量，要通過齊同化成同一率關(guān)系，這就是“齊同以通之”．齊同原理成為率的一種重要運算．劉徽說： 乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？ 顯然，劉徽把率看成運算的綱紀． “今有術(shù)”在《九章算術(shù)》算法中起著基礎(chǔ)性作用． 今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一． 法．它傳到印度和西方后被稱為三率法．劉徽認為： 誠能分詭數(shù)之紛雜，通彼此之否塞，因物成率，審辨名分，平其偏頗，齊其參差，則終無不歸于此術(shù)也． 這里前三句是說設(shè)法找出各種率關(guān)系，而“平其偏頗，齊其參差”就是齊同術(shù)．對復雜的計算問題，一般說來必須通過齊同才能使用今有術(shù)或其他運算．劉徽說：“齊同之術(shù)要矣．錯綜度數(shù)，動之斯諧．其猶佩 解結(jié)，無往而不理焉”．下面簡要介紹劉徽關(guān)于率及齊同的應用． 算術(shù)問題中的應用．“諸率悉通”．若甲、乙之率為a、b，乙、丙之率為c、d，b≠c，欲從甲求丙．《九章算術(shù)》兩次應用今有術(shù)，先從甲求乙，再從乙求丙，劉徽稱之為“重今有術(shù)”．劉徽認為，還可以應用齊同原理，先同兩率關(guān)系中乙的率，化為bc，然后使甲、丙的率與之相齊，分別化為ac、bd，三率悉通，直接用今有術(shù)由甲求丙．劉徽指出：“凡率錯互不通者，皆積齊同用之．放此，雖四、五轉(zhuǎn)不異也．”顯然，劉徽的方法比《九章算術(shù)》簡便． “齊同有二術(shù)，可隨率宜也．”同一問題，常有不同的途徑實現(xiàn)齊同，可以靈活運用．劉徽認為《九章算術(shù)》卷六第20—26問盡管對象不同，其數(shù)學方法都與鳧雁問同類．鳧雁問是： 今有鳧起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？ 術(shù)曰：并日數(shù)為法，日數(shù)相乘為實，實如法得一日．劉徽提出兩種齊同方式：一是“齊其至，同其日”，“并齊以除同，即得相逢日．”此問63日鳧9至，雁7至，故相逢日為63/(9+7)．二是定距離為1，求出鳧雁一日所行，“齊而同之”， 途同歸，都證明了《九章算術(shù)》術(shù)文的正確性． 盈不足術(shù)中“齊其假令，同其盈 ”．盈不足術(shù)是中國古算的傳統(tǒng)問題，在《九章算術(shù)》中單列一章，占有重要地位．即使一般算術(shù)問題，通過兩次假設(shè)，均可化為盈不足問題求解(在非線性情況下只可得近似解)，因此傳入歐洲后稱之為雙設(shè)法．《九章算術(shù)》給出了盈不足問題的一般解法： 置所出率，盈不足各居其下．令維乘所出率，并，以為實．并盈不足為法．實如法而一． 劉徽認為“盈 維乘兩設(shè)者，欲為齊同之意”，即“齊其假令，同其盈 ．”， 即不足．若假令a1，盈b1，假令a2，不足b2，同其盈 為b1b2，使假令與之相齊，則分別為a1b2和a2b1，那么b1+b2次假令，共出a1b2+a2b1而不盈不 ，所以每次假令為(a1b2+a2b1)/(b1+b2)即為不盈不 之正數(shù)． 代數(shù)問題中的應用．方程術(shù)即線性方程組解法是《九章算術(shù)》最值得稱道的成就．劉徽把率及其齊同原理拓展到方程術(shù)中．首先，他借助率提出了方程的定義： 群物總雜，各列有數(shù)，總言其實．令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程． “令每行為率”大體相當于現(xiàn)今行向量的概念．用率定義方程，因此對方程各行施行“乘以散之，約以聚之．齊同以通之”．同時，他提出：“舉率以相減，不害余數(shù)之課也．”即方程的整行與其他行相減，不影響方程的解．劉徽把它當作不必加以證明的真理，成為方程消元的理論基礎(chǔ)． 《九章算術(shù)》采用直除消元法，即以一行某項系數(shù)乘另一行，然后以該行多次相減那一行，直至該項系數(shù)為0．劉徽指出：方程的直除消元法符合齊同原理．他說：“先令右行上禾乘中行，為齊同之意．為齊同者謂中行直減右行也．從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義然矣．”這里“同”是使兩行欲消元的系數(shù)相同(通過直除作到)，“齊”是使一行中其余各項系數(shù)及常數(shù)項與該項系數(shù)相齊(通過 乘實現(xiàn))．齊同既達到了消元的目的，又保證了“舉率以相減”，故其變換不影響方程的解．在深刻理解方程消元符合齊同原理的基礎(chǔ)上，劉徽創(chuàng)造了互乘相消法以代替《九章算術(shù)》的直除法．他在“牛羊直金”問注說：“假令為同齊，頭位為牛，當相乘，右行定：更置十、羊四、直金二十兩；左行：牛十、羊二十五、直金四十兩．”牛數(shù)相同，可以一次相減消去．劉徽說：“以小推大，雖四、五行不異也．”劉徽通過互乘，同時作到齊同，比直除法簡便得多． 劉徽還創(chuàng)造了“方程新術(shù)”．他通過諸行相減求出諸元的兩兩相當之率，施行齊同，對易其數(shù)，得出諸元的相與之率，然后用衰分術(shù)或直接用今有術(shù)求解． 上述這些原理和方法在負系數(shù)方程中同樣適用．劉徽說：“赤黑相雜足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之數(shù)，差實雖分足以應同異之率．然則其正無入負之，負無入正之，其率不妄也．”此處“赤黑”即正負數(shù)．《九章算術(shù)》在方程直除消元過程中提出了正負術(shù)： 正負術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之．其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之． 這是世界數(shù)學史上第一次引入正負數(shù)概念及其加減法則．前四句講正負數(shù)減法，設(shè)a≥0，b＞0 ，即(＋a)-(±b)=a b，(-a)-( b)=-(a b)；后四句講正負數(shù)加法，同樣，設(shè)a≥0，b＞0，即(＋a)＋( b)=a b，(-a)+(±b)=-(a b)．劉徽解釋了這些法則的正確性，并且認為用正負數(shù)足可以列出任何一個方程，而通過正負數(shù)的加減運算(實際上把率和齊同原理推廣到負系數(shù)方程中)足可以對任何一個方程消元． 五家共井問六個未知數(shù)，方程只有五行．《九章算術(shù)》由于沒有方程的定義，實際上把它的一組最小正整數(shù)解作為定解，而不知有無數(shù)組解．劉徽指出，《九章算術(shù)》的解是“舉率以言之”，實際上承認它是不定問題，這是中國古算中第一次明確提出不定方程問題． 幾何問題中的應用．劉徽把率廣泛應用于面積、體積和勾股等幾何問題的計算中．劉徽指出《九章算術(shù)》圓面積公式中周、徑為“至然之數(shù)”，求出了周徑相與之率即π的近似值；塹堵中“陽馬居二，鱉 居一，不易之率也”．這兩個重要問題，下面要專門分析．這里介紹一下率在勾股、測望問題中的應用． 《九章算術(shù)》以率的形式表示出勾股形三邊的關(guān)系： 此處(c＋a)∶b=m∶n，m，n實際上互素．這是世界數(shù)學史上第一次提出完整的勾股數(shù)組通解公式．不過，《九章》的術(shù)文未離開具體數(shù)字，劉徽則用出入相補原理對其一般形式作了證明． 相似勾股形中勾股弦“相與之勢不失本率”，是劉徽概括出的一個重要原理．《九章算術(shù)》利用勾股數(shù)組通解公式解勾股形，即基于這一原理．劉徽還用這一原理援引今有術(shù)、衰分術(shù)解決勾股容方、容圓及測望問題．我們試舉二例． 《九章算術(shù)》勾股容圓問已知勾a、股b，問勾中容圓徑d，其公 個公式： 又畫中弦以觀除會，則勾、股之面中央各有小勾股弦．勾之小股、股之小勾皆小方之面，皆圓徑之半，其數(shù)故可衰．以勾、股、弦為列衰，副并為法，以勾乘未并者，各自為實，實如法而一，得勾面之小股可知也．以股乘列衰為實，則得股面之小勾可知． 在這里劉徽過圓心作平行于弦的直線，稱為中弦，分別與垂直于勾、股的半徑及勾、股形成與原勾股形相似的小勾股形，且其周長分別等于勾、股．設(shè)勾上小勾股形邊長為a1，b1，c1，則a1∶b1∶c1=a∶b∶c，且a1＋b1＋c1=a．由衰分術(shù)b1=ab/(a＋b+c)，d=2b1=2ab/(a＋b＋c)．同樣，由股上小勾股形亦可求出此公式． 《九章算術(shù)》“出南北門求邑方”問是： 今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木．出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？ 術(shù)曰：以出北門步數(shù)乘西行步數(shù)，倍之，為實．并出南、北門步數(shù)為從法，開方除之，即邑方． 如圖3，設(shè)出北門BC為a，出南門DC＇為k，西行C＇A＇為b＇，邑方為x，則《九章算術(shù)》術(shù)文給出了二次方程： x2+(a+k)x=2ab＇． 劉徽注的第一部分為： 此以折而西行為股，自木至邑南一十四步為勾，以出北門二十步為勾率，北門至西隅為股率，即半廣數(shù)．故以出北門乘折西行股，以股率乘勾之冪．然此冪居半，以西行，故又倍之，合東，盡之也． 劉徽根據(jù)勾股形ABC與A＇BC＇相似，BC∶BC＇=AC∶A＇C＇， 重差問題的公式亦可借助于勾股相與之勢不失本率的原理來證明． 總之，劉徽使用率證明了《九章算術(shù)》大部分算法、大多數(shù)題目，使率的應用空前廣泛、深入，提高到理論的高度． 出入相補原理 “出入相補”見之于劉徽為《九章算術(shù)》勾股術(shù)——“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也．”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界歷來有不同看法，圖4的兩種方法，分別將Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ移到Ⅰ＇、Ⅱ＇、Ⅲ＇，是比較常見的兩種推測．“出入相補”在卷一、卷五劉徽注中又稱作“以盈補虛”．它是中國古算中證明面積和體積問題的主要方法，應該說，在劉徽之前，甚至在《九章算術(shù)》成書時代，人們就已熟悉這種方法．劉徽則對它作了概括、發(fā)展．我們?nèi)砸陨衔奶岬降摹肮垂扇輬A”和“出南北門求邑方”兩問為例說明．對勾股容圓，劉徽注的出入相補方法是： 勾股相乘為圖本體，朱、青、黃冪各二，倍之則為各四．可用畫于小紙，分裁邪正之會，令顛倒相補，各以類合成修冪：圓徑為廣，并勾、股、弦為袤．故并勾、股、弦以為法． 這是將勾股形由圓垂直于勾、股、弦的半徑分成朱、青、黃三塊，將兩個勾股形合成一個長方形(其面積為ab)，則有朱、青、黃各二塊．再加倍，則各四塊．將朱、青各中分，則此四朱、青、黃拼成以圓徑為寬，勾、股、弦之和為長的長方形，其面積為2ab，顯然d=2ab/(a＋b＋c)． “出南北門求邑方”問劉徽注的第二部分是：“此術(shù)之冪，東西如邑方，南北自木盡邑南十四步之冪，各南北步為廣，邑方為袤，故連兩廣為從法，并以為隅外之冪也．”如圖6，畫出長方形BEA＇C＇，勾股形BEA＇和BC＇A＇面積相等，AGA＇和AFA＇面積相等，故長方形BEGC 等于2ab＇，它可以分解成x2和x(a+k)，即BC和DC＇之和為從法．這就證明了術(shù)文的正確性． 出入相補原理對解決平面直線圖形是行之有效的，劉徽用這種方法解決了大量問題．據(jù)信，重差問題亦用出入相補原理證明．《周髀算經(jīng)》中測望太陽的“日高術(shù)”奠定了重差問題的基礎(chǔ)．劉徽在介紹了日高術(shù)之后說，《九章算術(shù)》的測望問題“皆端旁互見，無有超邈若斯之類．”他說：“雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉？”因此，“輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于《勾股》之下”，即《九章算術(shù)注》第十卷，今之《海島算經(jīng)》．劉徽說：“凡望極高，測絕深，而兼知其遠者必用重差、勾股，則必以重差為率，故曰重差．”從測量技術(shù)上說，劉徽使用了重表、連索、累矩三種基本方法，有的要測望三次或四次．劉徽說：“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入．”而就數(shù)學內(nèi)容上說，望海島(同日高術(shù))、望松、望深谷代表了望高、知遠、測深三個基本結(jié)果，其余諸題皆可由這三個基本公式得出．由于劉徽自注已佚，他怎樣證明這些結(jié)果，學界未有定論．根據(jù)劉徽的數(shù)學水平，以率的原理和以出入相補原理來證明都是可信的，很可能同時采用這兩種，如上兩例然．此以立兩表測海島為例說明怎樣以出入相補原理證明．已知表高、表間，以及使人目、表末及島峰叁相直從兩表卻行的距離，兩卻行之差稱為相多，劉徽提出島高公式 島高=表間×表高/相多+表高， 前表去島公式 去島=表間×前表卻行/相多． 吳文俊認為證明方法如下： ∵ IK= IB， HJ= HB， 相減得 IK－ HJ= IC， 或 后表卻行×(島高－表高)－前表卻行×(島高－表高) =表間×表高， 島高=表間×表高/(后表卻行－前表卻行)+表高，此即島高公式，又從 HJ= HB得 前表去島×表高=前表卻行×(島高－表高)， 代入島高公式，即得前表去島公式． 立體問題中也可應用出入相補原理．棊驗法就是如此．劉徽說：“說算者乃立棊三品，以效廣深之積．”說明棊驗法是劉徽前的一種傳統(tǒng)方法．它是將所要討論的立體分解或拼合成三品棊，即長、寬、高均為一尺的立方、塹堵、陽馬(如圖8)，適當加倍(如果需要的話)，重新拼合成一個或幾個方體，從而推知其體積．顯然，這種方法只適用于可分解或拼合成三品棊的特殊多面體，而對一般尺寸的多面體則無能為力．劉徽指出了它的局限性．例如三個長、寬、高一尺的陽馬合成一個正方體，那么陽馬棊的體積為正方體的1/3，這種方法對長、寬、高不等的陽馬則無能為力．又如，上底寬1尺、長2尺，下底寬3尺、長4尺，高1尺的芻童可以分解成2個立方棊、6個塹堵棊、4個陽馬棊(圖9(1))．6個這樣的芻童共12個立方棊、36個塹堵棊，24個陽馬棊．它們可以重新組合成一個長10尺(兩下底長加上底長)、寬3尺(下底寬)高1尺的長方體及一個長8尺(兩上底長加下底長)、寬1尺、高1尺的長方體(圖9(2)，(3))．因此，一個這樣的芻童的體積為此兩長方體體積之和的1/6．顯然，它對一般的芻童是不適用的． 劉徽通過以盈補虛即出入相補證明了塹的體積公式 h的長方體，從而證明了公式．(圖(10)) 劉徽還用出入相補證明開平方、開立方程序的正確性．如開A的立方，初商a1，則 減根方程 無窮小分割在數(shù)學證明中的應用 1．割圓術(shù)——圓面積公式的證明． 《九章算術(shù)》提出了正確的圓面積公式：“半周半徑相乘得積步”，即 其中S、L、r分別表示圓面積、周長和半徑．在劉徽之前，人們以圓內(nèi)接正6邊形周長代替L，以正12邊形的面積代替S，出入相補，拼成一個長為正6邊形周長、寬為r的矩形，驗證(1)式，這實際上取π=3，當然不是嚴格證明．劉徽指出，以周三徑一的論證“皆非也”，提出基于極限思想的割圓術(shù)嚴格證明了(1)式． 首先，劉徽從圓內(nèi)接正6邊形開始割圓，依次得到圓內(nèi)接正6·2n邊形(n=1，2，3，……)．他認為，割得愈細，即n愈大，圓內(nèi)接正多邊形與圓面積之差愈?。案钪指睿灾劣诓豢筛?，則與圓周合體而無所失矣．”即在不可割的狀態(tài)，正多邊形與圓周重合，其面積之差為0，換言之，若正6·2n邊形的面積為Sn，有 另一方面，圓內(nèi)接正多邊形每邊與圓周間有一余徑rn．若以每邊長ln乘余徑rn得lnrn，加到Sn上，顯然S6·2n＋6·2nlnrn＞S，亦即S6·2n＋2(Sn+1-Sn)＞S．但在正多邊形與圓合體的情況下，“則表無余徑．表 最后，將與圓合體的正多邊形分割成無數(shù)個以圓心為頂點以邊長為底的小等腰三角形．由于以每邊乘半徑等于每個小等腰三角形面積的兩倍，那么這無數(shù)個小等腰三角形面積之和應是半周與半徑的乘積，正如劉徽所說：“以一面乘半徑，解而裁之，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓冪．”即 這就完成了圓面積公式(1)的證明． 2．劉徽原理——錐體體積公式的證明劉徽極限思想最精彩的應用當推他關(guān)于陽馬和鱉 體積公式的證明．鱉 是有下寬無下長，有上長無上寬，即每面都是勾股形的四面體(圖13(1))，《九章算術(shù)》給出的體積公式是：“廣袤相乘，以高乘之，六而一．”即 其中a是下寬，b是上長，h是高．陽馬是一棱垂直于底面的四棱錐(圖13(2))，《九章算術(shù)》給出的體積公式是：“廣袤相乘，以高乘之，三而一．”即 a、b為底的寬、長，h是高．劉徽指出，在a≠b≠h的情況下，由于“鱉 殊形，陽馬異體”，用棊驗法“則難為之矣”，無法證明(2)、(3)式．他只好另辟蹊徑． 為此，劉徽首先提出一個重要原理： 邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉 ．陽馬居二，鱉 居一，不易之率也． 即對任一塹堵，將其分解為一陽馬與一鱉 ，則恒有 Vy∶Vb=2∶1． (4) (3)兩式是顯而易見的．這個原理可以稱為劉徽原理．劉徽用無窮小分割證明了它． 他將一個鱉 (紅色)與一個陽馬(黑色)拼成一個塹堵①(圖14(1))．再用三個互相垂直的平面平分塹堵的長、寬、高(圖14(2))，則陽馬被分解為一個小長方體(Ⅰ)、兩個小塹堵(Ⅱ、Ⅲ)和兩個小陽馬(Ⅳ、Ⅴ)(圖14(3))；鱉 被分解為兩個小塹堵(Ⅱ＇、Ⅲ＇)和兩個小鱉 (Ⅳ＇、Ⅴ＇)(圖14(4))．鱉 中兩小紅塹堵Ⅱ＇、Ⅲ＇與陽馬中兩小黑塹堵Ⅱ、Ⅲ拼成兩個小長方體Ⅱ－Ⅱ＇、Ⅲ－Ⅲ＇，與小黑長方體Ⅰ，共三個全等的小長方體，其中屬于陽馬與屬于鱉 的體積之比為2∶1．兩小紅鱉 Ⅳ＇、Ⅴ＇與兩小黑陽馬Ⅳ、Ⅴ恰是兩小塹堵Ⅳ－Ⅳ＇、Ⅴ－Ⅴ＇、它們又可合成第四個全等的小長方體Ⅳ－Ⅳ＇－Ⅴ－Ⅴ＇，陽馬與鱉 在其中體積之比仍未知．總之，在原塹堵的3/4中已證明(4)式成立，在1/4中仍未知，“是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一”．(圖14(5)) 劉徽指出：“余數(shù)具而可知者有一、二分之別，即一、二之為率定矣．”就是說，在余下的1/4中能證明可知部分陽馬與鱉 體積之比仍為2∶1，則就可以確定在整個塹堵中陽馬與鱉 體積之比為2∶1．為什么呢？由于所余1/4中，兩個小塹堵的結(jié)構(gòu)與原塹堵完全相似(圖14(6))，因此可以重復剛才的分割，同樣 (4)式尚末被證明．這個過程可以無限繼續(xù)下去，“半之彌少，其余彌細．至細曰微，微則無形．由是言之，安取余哉？”無限分割到最后，沒有證明(4)式成立的部分為0，換言之，在整個塹堵中證明了(4)式． 下面將看到，劉徽原理是劉徽體積理論的核心． 3．牟合方蓋和截面積原理． 在證明其他面積和體積，尤其是曲面面積和圓體體積時，劉徽以另一種方式使用了無窮小分割． 劉徽指出，《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”所蘊涵的球體積公式 是錯誤的，其中D是球直徑．他用兩個底徑等于球徑的圓柱正交，其公共部分稱作牟合方蓋(圖15)．他指出，球與外切牟合方蓋的體積之比為π∶4：“合蓋者，方率也；丸居其中，即圓率也．”劉徽雖然沒能求出牟合方蓋的體積，卻指出了徹底解決球體積的正確途徑．二百多年后，祖沖之父子求出了牟合方蓋的體積，從而求出了球體積的正確公式． 劉徽能指出《九章算術(shù)》球體積公式的錯誤并指出應使球與牟合方蓋比較，基于他對截面積原理的深刻認識．從《九章算術(shù)》商功章諸題的編排及劉徽注，可以看出，《九章算術(shù)》時代，人們通過比較有某種關(guān)系的兩個等高立體的最大的截面積(通常是底面積)來解決圓體體積，而沒有認識到必須任意等高處的截面積之比都等于最大截面積之比，方能作比較，從而錯誤地認為球與外切圓柱之比為π∶4．劉徽揚棄了《九章算術(shù)》的錯誤，認識到，必須兩立體任意等高處的截面積都成定比．我們從他說的“上連無成不方，故方錐與陽馬同實”(圖16)，清楚地看出了這一思想．成，訓層．就是說，等高同底的方錐與陽馬因為每一層都是相等的方形，所以其體積才相等．顯然，劉徽的這一思想與后來西方的卡瓦列利的不可分量原理十分接近．劉徽基于這種認識．提出了圓錐與外切方錐(圖17(1))，圓亭與外切方亭、球與牟合方蓋的體積之比均為π∶4，圓錐與等高的以圓錐底周為底邊長的方錐體積之比是25∶314(相當于1∶4π，圖17(2))．劉徽把中國古代關(guān)于截面積原理的認識提高到理性階段，為祖暅最后提出“緣冪勢既同，則積不容異”的祖暅原理(即卡瓦列利原理)作了準備． 劉徽還提出圓錐表面積與外切方錐表面積(底除外)之比為π∶4． 4．極限思想在近似計算中的應用． 首先是圓周率的計算．劉徽指出，(1)式中的周、徑“謂至然之數(shù)，非周三徑一之率也．”因而需要求這個數(shù)即π的精確值．他利用上述的割圓程序，割直徑為2尺的圓，由圓半徑r和圓內(nèi)接正6·2n邊形邊長ln，兩次運用勾股定理并開方，可以求出6·2n+1邊形邊長ln+1，劉徽依次求出l1，l2，l3，l4，算出正96(=6·24)邊形面積 積S的近似值，利用(1)式反求出圓周長：“以半徑一尺除圓冪，倍所得，六尺二寸八分，即周數(shù)．”接著“令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也．”此即π=157/50 積的近似值，利用同樣的程序求出π=3927/1250．并求出l8，算出S9，驗證了這個值．這是中國古代第一次提出求圓周率的正確方法，它奠定了中國圓周率計算長期在世界上領(lǐng)先的基礎(chǔ)．據(jù)信，祖沖之就是用劉徽的方法將圓周率的有效數(shù)字精確到8位． 劉徽指出《九章算術(shù)》弧田(弓形)術(shù)不精確．他由弧田的弦和矢，利用勾股定理，求出圓徑，利用割圓思想，將弧割為二等分，由勾股定理，求出小弧之弦、矢，再將小弧二等分，如此繼續(xù)下去(圖18)，“割之又割，使至極細．但舉弦矢相乘之數(shù)，則必近密率矣．”顯然，求這些三角形的面積之和，可以將弧田面積精確到人們所需要的程度． 另一個杰出的應用便是開方中提出求微數(shù)的思想．《九章算術(shù)》在開方不盡時，“以面命之”．這是以被開方數(shù)的方根定義一個數(shù)，相當于無理數(shù)．至于其近似值，劉徽之前有的表示成： 以面命之，加定法如前，求其微數(shù)．微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母．退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數(shù)，不足言之也．”在開立方中也有類似的方法．顯然，這種求十進分數(shù)的思想與現(xiàn)今求無理根的十進小數(shù)近似值完全相同．并且，這種方法也源于他的極限思想．劉徽求微數(shù)的意義十分重大．求圓周率每一步都要開方．劉徽說：“開方除之，下至秒忽．又一退法，求其微數(shù)．微數(shù)無名者以為分子，以十為分母．”倘無求微數(shù)，計算精確的圓周率是不可能的．求微數(shù)是保證中國圓周率計算長期領(lǐng)先的先決條件．同時，劉徽的微數(shù)開創(chuàng)了十進小數(shù)的先河，對中國在宋、金時代最先使用小數(shù)起了促進作用． 枝條雖分而同本干——劉徽的數(shù)學體系 劉徽通過為《九章算術(shù)》作注，把自己的數(shù)學知識分散開來，好象雜亂無章，前后失次，實際上并不是這樣．他說：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發(fā)其一端而已．”這個端是什么呢？劉徽在談到數(shù)學研究并不特別困難時說：“至于以法相傳，亦猶規(guī)矩度量可得而共．”規(guī)、矩分別是畫圓、畫方的工具，表示事物的空間形式，度量指度、量、衡，表示數(shù)量關(guān)系．劉徽的話說明他認為數(shù)學方法起源于空間形式和數(shù)量關(guān)系的統(tǒng)一，這正反映了中國古算的特色——幾何與算術(shù)、代數(shù)的統(tǒng)一． 由上文所列出的證明看出，其中的推理是演繹推理，因而其證明是演繹證明．劉徽證明的前提是若干公認的事實及已經(jīng)證明過的公式、解法，這在上文已經(jīng)述及．當然，還必須提出許多定義． 在中國，數(shù)學定義最初出現(xiàn)在先秦的《墨經(jīng)》中，可是，這種傳統(tǒng)沒有繼承下來．《九章算術(shù)》沒有任何定義，數(shù)學概念的含義靠約定俗成．劉徽繼承墨家的傳統(tǒng)，提出了若干定義．前面已經(jīng)談到率、方程的定義．又如正負數(shù)：“兩算得失相反，要令正負以名之．”這個定義表明，兩個相反的數(shù)，一個為正，則另一個必為負，不再是以盈為正，以欠為負的素樸描述，具有高度抽象性．根據(jù)這個定義，方程中各行系數(shù)，可以根據(jù)消元的方便而定：“可得使頭位常相與異名．”面積：“凡廣從相乘謂之冪．”根據(jù)這個定義，可以計算曲面的面積，甚至看來與面積無關(guān)的兩數(shù)相乘問題，都可化為面積問題而解決．關(guān)于體積，劉徽沒寫出定義，但是，徧察《九章算術(shù)注》，劉徽只對《九章算術(shù)》53個問題的術(shù)文沒寫注，其中有52個問題(分別在卷二、三、八)，或者已注過總術(shù)，或已注過同類術(shù)文，劉徽主張簡約，當然不必再注．那么，此外劉徽沒作注的只有商功章方堡(方柱體)的體積公式．這不是疏忽，應該說，劉徽把它看成不能證明的事實，因此可以理解為定義． 劉徽著力探討《九章算術(shù)》各公式、解法直至數(shù)學各部分之間的關(guān)系，以使數(shù)學成為“約而能周、通而不黷”的體系．不言而喻，劉徽的體系是與《九章算術(shù)》不同的．以體積問題為例．《九章算術(shù)》直至劉徽前，以棊驗法為主要方法，只能證明特殊尺寸的多面體體積，而對《九章算術(shù)》大部分一般性體積公式無能為力，其正確性是歸納的結(jié)果．劉徽的體系則不然，他認為鱉臑(四面體)和陽馬體積的證明是關(guān)鍵，在用無窮小分割完成其證明之后指出：“不有鱉臑，無以知陽馬之數(shù)，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也．”他又著力證明了幾種不同的 芻甍、芻童、羨除等多面體分割成有限個長方體、塹堵、陽馬及鱉臑，然后求其和以證明其體積公式．劉徽注清楚地表明，他的多面體理論是從長方體出發(fā)，以四面體體積公式的證明為核心，以演繹推理為主要方法的理論體系．又如，《九章算術(shù)》粟米、衰分和均輸三章都是關(guān)于比例和比例分配的問題，內(nèi)容交錯、重復．劉徽用率統(tǒng)一了這三章的方法，不僅把比例、比例分配歸結(jié)為今有術(shù)，而且將分數(shù)、追及、行程、程功、利息、均輸?shù)纫话闼阈g(shù)問題都化為今有問題，指出：今有術(shù)，“此都術(shù)也．”劉徽又推而廣之，將率應用于面積、體積、解勾股形、盈不足、方程等問題，使率成為計算問題的綱紀． 總之，把劉徽分散到九章、上百條術(shù)文、246個題目中的數(shù)學知識根據(jù)他形諸文字者進行梳理，就會看到，數(shù)學在劉徽頭腦中形成了一個獨具特色的體系．它從規(guī)矩度量的統(tǒng)一出發(fā)，引出面積、體積、率、正負數(shù)等的定義，運用齊同原理、出入相補原理、無窮小分割方法，以演繹邏輯為主要推理方法，以計算為中心，以率為綱紀，其中沒有任何循環(huán)推理．它“約而能周，通而不黷”，全面、簡潔地反映了到公元三世紀為止的中國人民的數(shù)學知識．劉徽《九章算術(shù)注》不僅有概念、有命題，而且有聯(lián)結(jié)這些概念和命題的邏輯推理．它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了自己的理論體系，完成了由感性向理性，由惑然性向必然性的升華． 時代的產(chǎn)物 學者的風度 何以在公元3世紀又何以是劉徽完成這樣杰出的《九章算術(shù)注》？這需要分析當時的時代背景和劉徽的品格． 中國封建社會經(jīng)過兩漢大發(fā)展，到魏晉時期發(fā)生了大變革，經(jīng)濟關(guān)系的基本特征是莊園農(nóng)奴制，門閥士族占據(jù)政治舞臺的中心，中國封建社會進入一個新的階段．與此相適應，繁瑣的兩漢經(jīng)學和讖諱迷信被冷落；儒學衰微，代之而起的是以研究三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為中心的辯難之風，思想界出現(xiàn)了春秋戰(zhàn)國百家爭鳴之后所未有過的解放與活躍局面．“析理”，探索思維規(guī)律，互相辯難，追求理勝，成為思想界的風氣．漢末及三國時的社會動亂固然不利于數(shù)學的發(fā)展，然生產(chǎn)關(guān)系的變革及其帶來的政治上的變革給數(shù)學的發(fā)展以新的機制．儒學影響的削弱，思想上的解放，使知識分子較能按自己的特長和社會的需要發(fā)揮才智，而少受追求功名利祿及代圣賢立言的精神枷鎖的束縛，這就打開了數(shù)學研究中發(fā)揮創(chuàng)造性的大門．以嚴謹為其特點的數(shù)學幾百年來積累了大量公式、解法需要證明其正確性，而以“析理”為要件的辯難之風的興起促進了這個過程的完成．劉徽注《九章算術(shù)》的宗旨“析理以辭，解體用圖”無疑是辯難之風中“析理”在數(shù)學中的反映．劉徽主張“要約”，“舉一反三”，反對以多為貴、遠引繁言，主張觸類而長，都與嵇康、王弼、何晏等思想家的主張一致，他們的許多用語、甚至句法也都相近．因此，劉徽深受辯難之風的影響而析數(shù)學之理，是不言而喻的．同時，我們由此斷定劉徽為嵇康、王弼的同代人而稍小一點，那么當生在公元3世紀20年代后期，或其后，他注《九章算術(shù)》時年僅30歲左右．隨著儒學的衰微，不僅名家、道家重新抬頭；即使秦漢以來視為異端的墨家也受到人們的重視，玄學家們經(jīng)?？?、墨并稱；此時，埋沒200余年的王充《論衡》也傳播開來．劉徽的無窮小分割思想中“不可割”的觀點與墨家“不可”一脈相承，“微則無形”的觀點源于《莊子》“至精無形”，劉徽的推理方式受到王充影響，等等，當然也是時代的產(chǎn)物． 北宋大觀三年(1109)劉徽被封為淄鄉(xiāng)男，據(jù)同時受封者多依其里貫來看，劉徽當是淄鄉(xiāng)人．據(jù)《漢書》的資料，淄鄉(xiāng)在今山東境內(nèi)，可能在鄒平縣境．今山東地區(qū)，古是齊魯之邦，是儒學的發(fā)祥地，稷下學宮招徠全國著名的學者，成為百家爭鳴的中心之一．經(jīng)兩漢到魏晉，學術(shù)空氣十分濃厚，2、3世紀更出現(xiàn)了若干著名思想家，如徐干、仲長統(tǒng)、鄭玄、王弼，曹魏時期，齊魯?shù)貐^(qū)是正始之音辯難之風的中心之一，劉徽注中不僅明確引用《墨子》、《考工記》、《左氏傳》的話，而且對《周易》、《論語》、《管子》、《莊子》等先秦典籍的話，順手拈來，天衣無縫，說明他諳熟諸子百家言，是和他生活在齊魯?shù)貐^(qū)，受到良好的文化教養(yǎng)并置身于辯難之風之中分不開的．另一方面，公元2、3世紀，齊魯?shù)貐^(qū)數(shù)學比較發(fā)達，出現(xiàn)了劉洪、鄭玄、徐岳、高堂隆、王粲等數(shù)學家，這就給劉徽少年時師承賢哲，成年后“采其所見”，深入研究準備了豐富的資料．在這樣的客觀條件下，使劉徽有可能改變數(shù)學偏重實踐經(jīng)驗、忽視理論研究的傳統(tǒng)，向既重視實踐，又重視理論研究的方向轉(zhuǎn)化． 而劉徽本人具有一個科學家的素養(yǎng)，則是他成功的內(nèi)在因素．首先，他繼承了《九章算術(shù)》開創(chuàng)的數(shù)學聯(lián)系實際的傳統(tǒng)．劉徽不管是證明《九章算術(shù)》的公式、解法，還是談及數(shù)學起源的哲理問題，都是實事求是，沒有神秘的成分．他說：“不有明據(jù)，辯之斯難．”全部《九章算術(shù)注》，其推理、證明都有可靠的論據(jù)和前提．他針對廣為流傳的“隸首造數(shù)”的說法，指出“其詳未之聞也”．他在充分肯定了數(shù)學的作用之后說：“至于以法相傳，亦猶規(guī)矩度量可得而共，非特難為也．”從根本上否定了圣人創(chuàng)造數(shù)學的看法．他批評張衡數(shù)學研究中欲協(xié)其陰陽奇偶而不顧數(shù)學上疏密的錯誤，指出“雖有文辭，斯亂道破義，病也．”與數(shù)字神秘主義劃清了界限．劉徽博覽群書，善于汲取歷代思想家的思想資料用于自己的數(shù)學創(chuàng)造．但是他不迷信古人．《九章算術(shù)》在東漢已是經(jīng)典著作，劉徽為之作注，對之自然十分推崇．然而劉徽并不盲從．他在全面論證了《九章算術(shù)》的公式、解法的同時，指出了它的若干錯誤及不精確處．如批評宛田術(shù)和開立圓術(shù)的錯誤．指出它有關(guān)圓或圓體的問題或術(shù)文“以周三徑一為率，皆非也．”批評前人“世傳此法，莫肯精覈，學者踵古，習其謬失．”同樣，劉徽相信自己設(shè)計的牟合方蓋是解決球體積的正確途徑，然“判合總結(jié)，方圓相緾，濃纖詭互，不可等正”，未能求出其體積．然而他決不不懂裝懂，故弄玄虛以欺世人，坦率地表示“欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者”，既表現(xiàn)了他“知之為知之，不知為不知”的實事求是作風，又反映了他寄希望于后學，相信后人能超過自己的坦蕩胸懷．劉徽認為，用數(shù)學方法解決實際問題，應在認識數(shù)學精理的基礎(chǔ)上盡量使用靈活的方法，所謂“設(shè)動無方”，而不應“專于一端”．他以《莊子》中“庖丁解?！钡脑⒀宰鞅扔?，說“數(shù)，猶刃也．易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤．”因此，他對一個問題常常提出幾種不同的解法，對一種解法，常常提出不同的理解途徑，大大豐富了《九章算術(shù)》的內(nèi)容． 當然，我們在表彰這位數(shù)學巨匠的功績時，我們也不能不指出他的某些不足．劉徽在數(shù)學上無疑是位創(chuàng)造者、革新者．就他的數(shù)學水平，完全可以寫出一部水平更高的自成體系的著作來，然而他未能突破給經(jīng)典著作作注的慣例，把自己的真知灼見分散到《九章算術(shù)》中，這對后人理解《九章算術(shù)》當然大有裨益．但作注的形式卻限制了他的數(shù)學創(chuàng)造、數(shù)學方法的展開，也限制了他的思想對后世的影響．比如就極限思想而言，從現(xiàn)存中國古算著作看，在李善蘭及西方微積分學傳入中國之前，再沒有人超過甚至沒有達到劉徽的水平．劉徽說：“一者，數(shù)之母，”即把任何數(shù)都看成可以用1的積累表示出來，在有理數(shù)的范圍內(nèi)這無疑是正確的．同時，這種思想對求圓周率的近似值，求無理根的近似值而不必考慮哲學上的困難，無疑也是有貢獻的．然而，這同時也關(guān)上了通向無理數(shù)的大門，使無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)失之交臂． |
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