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劉維爾 華東師范大學 李旭輝 遼寧師范大學 邵明湖 劉維爾，J．(Liouville，Joseph)1809年3月24日生于法國加來海峽省圣奧梅爾；1882年9月8日卒于巴黎．數(shù)學． 劉維爾的父親克勞德-約瑟夫·劉維爾(Claud－Joseph Liou-ville)是一位陸軍上尉，母親名叫泰雷茲·巴朗(Thérése Bal－land)．劉維爾是他們的次子，幼時先后就學于科梅西和土爾．1825年他來到巴黎綜合工科學校學習，A．M．安培(Ampère)擔任分析與力學課的老師，兩人曾共同探討電動力學問題．他于1827年11月轉入橋梁與公路學校，1831年獲學士學位． 畢業(yè)后不久，他辭去了在伊澤爾省的工程師職務，期望得到一份教職，以便專心從事學術工作．1831年11月，他被綜合工科學校教育委員會選為L．馬蒂厄(Mathieu)的分析與力學課助教，由此開始了自己近50年的科學研究生涯． 1833—1838年間，劉維爾曾在成立不久的中央高等工藝制造學校講授數(shù)學和力學，但內容均為初級的．為使自己的教學工作保持在大學水平上，他在1836年攻取了博士學位，論文題為“關于函數(shù)或其一部分的正弦與余弦級數(shù)展開式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探討了傅里葉級數(shù)及其在各種力學、物理學間題中的應用，于同年在巴黎成書出版． 為適應法國數(shù)學研究的需要，劉維爾在1836年1月創(chuàng)辦《純粹與應用數(shù)學雜志》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)．該雜志刊登純粹、應用數(shù)學領域所有分支的論文，記錄了19世紀中期的40年里數(shù)學活動的一部分重要內容，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liou－ville′s Journal)． 劉維爾不僅與當時一些重要的數(shù)學家保持著密切聯(lián)系并定期發(fā)表他們的成果，而且熱心地對年輕學者進行指導，為他們發(fā)表著作提供機會．最值得一提的當屬他編輯發(fā)表E．伽羅瓦(Galois)的文章．1832年5月，伽羅瓦在決斗中被殺，劉維爾整理了他的部分遺稿并刊登在1846年的《純粹與應用數(shù)學雜志》上，他在代牧方面的獨創(chuàng)性工作才得以為世人所知． 1838年，劉維爾接替馬蒂厄成為綜合工科學校的分析與力學課教席，一直工作到1851年他轉入法蘭西學院任數(shù)學教席為止．1839年6月和1840年，他又先后被推舉為巴黎科學院天文學部委員和標準計量局成員，定期參與這兩方面的活動． 劉維爾的學術活動在法國革命期間稍有中斷．1848年4月23日，他入選立憲會議，是默爾特行政區(qū)的代表之一，次年5月競選議員失敗，他的政治活動遂告結束． 1851年來到法蘭西學院后，劉維爾的教學工作相當自由，有更多的時間展開自己的研究工作，廣泛與他人探討．他在此職位上一直工作到1879年．不過從1874年他退出《純粹與應用數(shù)學雜志》的編輯工作后，便不再發(fā)表著作，也很少參與法國學術界的活動了． 劉維爾一生勤于學術工作，生活淡泊寧靜，每年都要回到家鄉(xiāng)土爾的舊居休假．他在1830年與表親瑪麗-路易絲·巴朗(Marie－Louise Balland)結婚，生有三女一子． 劉維爾的主要學術成就如下． 1．函數(shù)論 劉維爾認真研究了G．W．萊布尼茨(Leibniz)、約翰·伯努利(Johann Bernoulli)和L．歐拉(Euler)的著作．他在早期工作中盡可能地擴展微分和積分的概念，尤其是建立任意階導數(shù)的理論．他繪出如下公式： 這里μ為復數(shù)時亦成立．在證明了任意函數(shù)f(x)均可展為指數(shù)級數(shù) 之后，他定義f的μ階導數(shù)如下： 應用這個定義，劉維爾處理了初等函數(shù)的指數(shù)級數(shù)展開式及其任意階導數(shù)．例如，他給出 其導數(shù)為 盡管這些定義與方法并不具普遍的適用性，函數(shù)的展開式也未必總是收斂，但這是走向泛函分析的早期努力之一，表明了劉維爾處理當時分析學的精湛技巧． 1832年12月7日和1873年2月4日，劉維爾先后向巴黎科學院提交兩篇論文，對代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)進行了分類，以此整理N．H．阿貝爾(Abel)、P．S．拉普拉斯(Laplace)等人關于橢圓積分的表示和有理函數(shù)的理論，在此基礎上，他于1834年給出了初等函數(shù)的分類： 有限個復變量的代數(shù)函數(shù)為第0類初等函數(shù)；ez和logz為第1類初等函數(shù)；二者合稱為最多第1類初等函數(shù)．若已定義最多第n-1類初等函數(shù)，則它與最多第1類初等函數(shù)的復合稱最多第n類初等函數(shù)．是最多第n類而非最多第n-1類的初等函數(shù)稱第n類初等函數(shù)． 初等函數(shù)的積分在何條件下仍為初等函數(shù)，也是他著重討論的問題． 劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和C．雅可比(Jacobi)所建立的橢圓函數(shù)理論正處于蓬勃發(fā)展時期．1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數(shù)的周期個數(shù)不多于2，周期之比為非實數(shù))出發(fā)，建立雙周期橢圓函數(shù)的一套完整理論體系．這是對橢圓函數(shù)論的一個較大貢獻．圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數(shù)的實質性質，提出如下定理： 劉維爾第1定理 在一個周期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數(shù)是常數(shù)； 劉維爾第2定理 橢圓函數(shù)在任一周期平行四邊形內的極點處殘數(shù)之和為0； 劉維爾第3定理 n階橢圓函數(shù)在一個周期平行四邊形內取任一值n次； 劉維爾第4定理 在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等于一個周期． 后來，到巴黎訪問的兩位德國數(shù)學家C．W．博爾夏特(Bor－chardt)和F．約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數(shù)課程，也在C．A．布里奧(Briot)與J．－C．布凱(Bou－quet)所著《雙周期函數(shù)論》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到系統(tǒng)介紹．因此，盡管劉維爾的有關結論很少發(fā)表，仍能在法國內外迅速傳播并產(chǎn)生影響，雙周期函數(shù)的講義后來發(fā)表在1880年第88卷的德國《純粹與應用 2．微分方程與積分方程 19世紀，隨著各種曲線坐標系的引入和新的函數(shù)類如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德(Legendre)多項式等作為常微分方程的特征函數(shù)而興起，確定帶邊界條件的常微分方程的特征值與特征函數(shù)，便成為日益突出的重要問題．劉維爾和他的朋友、力學教授C．斯圖姆(Sturm)在30年代同時鉆研了這類問題． 他們考慮由變密度棒的熱傳導過程引出的二階常微分方程： (k(x)V＇(x))＇+(g(x)r-l(x))V(x)=0，x∈(a，b)， k(a)V＇(a)-hV(a)=0， k(b)V＇(b)+HV(b)=0， 其中k(x)，g(x)，l(x)是正值函數(shù)，h與H為非負常數(shù)，r為參數(shù)． 劉維爾采用逐次逼近法表達其解： …… 這樣，就得到了關于微分方程解的存在性的第一條定理，它發(fā)表在1838年3卷1期的《純粹與應用數(shù)學雜志》上．逐次逼近法成為求解常微分方程的一種典型方法，上述邊值問題則被稱為斯圖姆-劉維爾問題． 隨后，兩人著眼于更一般的二階微分方程 其中L，M，N是x的連續(xù)函數(shù)，λ是參數(shù)，它可以改寫成 他們證明了下列基本結果： (1)僅當λ取遞增到+∞的正數(shù)序列｛λn｝的任一值時，原問題才有解； dx=1加以規(guī)范化； VmVndx=0，m≠n 后來，在法蘭西學院的教學中，劉維爾又引入了伴隨邊值條件(adjoint boundary values)的概念，將斯圖姆-劉維爾理論尤其是斯圖姆關于特征函數(shù)的有關結論推廣到非自伴隨高階方程上劉維爾在擴展導數(shù)定義時，除了將被導函數(shù)先展開為指數(shù)級烽，還利用過拉痖拉斯積發(fā)展開式的方法： 在證明了 等幾個重要公式后，劉維爾展開了如何用其解決幾何、力學問題中產(chǎn)生的積分方程：把積分方程變成求導問題，最后得到的微分方程是可解的。 程，被D希爾伯特(Hilbert)稱為第一類積分方程 在斯圖姆-劉維爾理論中涉及的則是另一種不同類型的方程，即希爾伯特第二類積分方程。它有如下形式： 通過解積分方程得到微分方程的解，這是斯圖姆-劉維爾理論最有意義的一點．而微分方程與積分方程之間的內在聯(lián)系通過劉維爾的上述努力也愈加清晰了． 1845年底，劉維爾在《純粹與應用數(shù)學雜志》上發(fā)表短篇注記“一類函數(shù)的一種一般性質”(Sur une propriété génerale d′uneclasse de fonctions)，研究了特征值方程 ∫Dl(x)T(x，x′)λ(x′)dx′=mλ(x)， 其中l(wèi)為定義于Rn子集D上的實值函數(shù)，T為D×D上的對稱多項式．注記中證明了兩條定理： (1)λ1，λ2是對應于互異特征值m1，m2的特征函數(shù)(即原方程的解)，則成立正交關系： ∫Dl(x)λ1(x)λ2(x)dx=0． (2)若l恒正，則所有特征值均為實數(shù)． 進一步，劉維爾還指出了利用正交關系將任意函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的可能性．雖然這些結論不如后來希爾伯特、E．施密特(Schmidt)等人的結果那樣深刻，卻表明了劉維爾最早意識到這類積分方程的重要性，并在積分方程理論研究工作由特殊走向一般的過程中邁出了第一步． 3．數(shù)論 劉維爾對數(shù)論問題產(chǎn)生興趣是由費馬大定理開始的．1840年，他將費馬問題作了轉化，證明方程un＋vn=wn的不可解性意味著x2n-y2n=2xn的不可解性． 在劉維爾之前，代數(shù)數(shù)與超越數(shù)的區(qū)別已經(jīng)非常清楚了，但超越數(shù)的存在性問題遲遲沒有結果，e，e2，π及π2等無理數(shù)究竟是否為超越數(shù)也一直吸引著數(shù)學家們的注意力．1840年，劉維爾證明了e不是任何二次或四次多項式方程的根，接著又試圖采取J．L．拉格朗日(Lagrange)的方法，用連分數(shù)逼近多項式的根，來證明e的超越性．這一嘗試未能奏效，然而他從中意識到，若不可約有理數(shù)p/q是n次代數(shù)無理數(shù)x的近似值，則存在正數(shù)C，使得 自然數(shù)K均有解p/q，則x是超越數(shù)．劉維爾于1844年證明了形如 數(shù)”．至此，超越數(shù)的存在性問題得到了解決． 從1856年開始，劉維爾放棄了在其他方面幾乎所有的數(shù)學研究，而把精力投入到數(shù)論領域．10年間，他在《純粹與應用數(shù)學雜志》上發(fā)表了18篇系列注記和近200篇短篇注記，前者未加證明地給出了許多一般公式，為解析數(shù)論的形成奠定了基礎，后者則個別地討論了素數(shù)性質和整數(shù)表示為二次型的方法等特殊問題． 4．其他 1836年，劉維爾與斯圖姆共同給出了關于代數(shù)方程虛根數(shù)目的柯西定理的證明；次年，他又用不同于阿貝爾的方法，解決了二元代數(shù)方程組的消元問題．這些都被J．A．塞雷(Serret)收入了他編寫的《高等代數(shù)教程》(Cours d’Algèbre superieure)第4版(1877)，得以在法國的學校中廣泛傳播． 為了發(fā)表伽羅瓦的著作，劉維爾從1843到1846年對其手稿進行了徹底的研究．在他為伽羅瓦的著作發(fā)表所寫的導言中，對伽羅瓦的工作給予了高度評價．他還邀請包括塞雷在內的一些朋友，參加關于伽羅瓦工作的系列演講．因此可以說，劉維爾間接地推動了近世代數(shù)學和群論的發(fā)展． 在幾何學方面，劉維爾于1841年和1844年用消去理論證明并推廣了M．沙勒(Chasles)建立的曲線和曲面的度量性質，還發(fā)現(xiàn)一種新方法，以確定任意橢圓曲面的測地線，這是雅可比在研究雙曲超越數(shù)時引出的問題．1850年他負責出版了G．蒙日(Monge)的著作《分析在幾何中的應用》(Application de l′anal－yse àla géométrie)第5版，在書末附上了C． F．高斯(Gauss)的名著“關于曲面的一般研究”(Disquisitiones generales circa su－perficies curvas)和他本人寫的7篇注記．這些注記涉及曲線及其相對曲率和測地曲率、測地線方程、總曲率概念等． 劉維爾還有少量文章涉及熱理論、電學、天體力學和理論力學等問題． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
