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韋達 遼寧師范大學 王青建 韋達，F(xiàn)．(Viète，F(xiàn)rancois)1540年生于法國普瓦圖地區(qū)［Poitou，今旺代省的豐特奈-勒孔特(Fontenay－le-Comte)］；1603年12月13日卒于巴黎．數(shù)學． 韋達的名字應譯為“維埃特”，因其著作均用拉丁文發(fā)表，故名字常用拉丁文拼法Vieta，譯音是韋達，沿用至今． 韋達的父親艾蒂安(E tienne)是豐特奈的律師．韋達早年在家鄉(xiāng)接受初等教育，后來到普瓦捷(Poitiers)大學學習法律，1560年獲法學學士學位，成了一名律師．1564年放棄這一職位，做了一段秘書和家庭教師工作．1573年10月受查理九世委派任雷恩(Rennes)布列塔尼(Brittany)地方法院律師．閑暇期間鉆研各種數(shù)學問題．1580年3月在巴黎成為法國行政法院審查官，后任皇室私人律師．1584年遭政敵陷害被放逐，5年后又被亨利三世召回宮中，充任最高法院律師．在法蘭西與西班牙的戰(zhàn)爭期間(1595—1598)，韋達為亨利四世破譯截獲的西班牙密碼信件，卓有成效．后來幾年輾轉于豐特奈和巴黎．1602年被亨利四世免職，次年去世． 韋達是法國16世紀最有影響的數(shù)學家．他在畢業(yè)以后(1564—1568)和從政在野期間(1584—1589)曾潛心探討數(shù)學，并一直將這一研究作為業(yè)余愛好．為了把研究成果及時發(fā)表，還自籌資金印刷和發(fā)行自己的著作．由于他的論著內(nèi)容深奧，言辭艱澀，故其理論當時并沒有產(chǎn)生很大影響．直到1646年，由荷蘭數(shù)學家F．van斯霍滕(Schooten)在萊頓出版了韋達全部著作的文集，才使他的理論漸漸流傳開來，得到后人的承認和贊賞． 平面三角學與球面三角學 《應用于三角形的數(shù)學定律》(Canon mathematicus seu ad triangula cum appedicibus，巴黎，1579)是韋達最早的數(shù)學專著之一，也是早期系統(tǒng)論述平面和球面三角學的著作之一．該書于1571年付印，共有4個部分，但最后只有前兩部分于1579年出版．書中的第一部分列出6種三角函數(shù)表，第一個表和第六個表以分和度為間隔，給出6條三角函數(shù)線精確到5位和10位小數(shù)的值，其他的表則列出與三角值有關的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關系的運算公式，其中有韋達自己發(fā)現(xiàn)或補充的公式，如正切定律 和差化積公式 等．他將這些公式匯于一個總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎．對斜三角形，韋達仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面三角形，則使用與平面三角形相仿的記號化為球面直角三角形，給出計算的完整公式及其記憶法則，如提出涉及鈍角的余弦定理 cosA=-cosBcosC＋sinBsinCcosa． 韋達在三角學方面不僅多有創(chuàng)見，而且運用靈活．1593年亨利四世為解答一個45次方程召見韋達．該方程是由比利時數(shù)學家A．van羅門(Roomen)提出的，即 45y-3795y3＋95634y5-…＋945y41-45y43＋y45=c． 羅門以此向全世界的數(shù)學家提出挑戰(zhàn)，征求解答．荷蘭駐法大使對亨利四世說，法國人不具備解決這一問題的能力．韋達來到后看出這個 角學知識，幾分鐘后就用鉛筆寫出了一個解．第二天他已找到了該方程的全部23個正根，而當時并不承認其負根，認為正弦值為負是難以理解的．兩年后韋達發(fā)表了“回答”(Responsum，1595)一文，解釋了他的方法．韋達根據(jù)45=3·3·5，首先將一個角5等分，然后再將每一份3等分兩次，使之分別與五次方程和三次方程相對應，則上述問題可如下求解，先用3x-x3=C的根x求t：3t-t3=x；再根據(jù)方程5y-5y3＋y5=t sinnθ用sinθ表示的問題．后來，韋達又專門寫了一篇論文“截角術”(Ad angularium sectionum)，初步討論了正弦、余弦、正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應用到三角學中．他考慮含有倍角的方程，具體給出了將cosnx表示成cosx的函數(shù)(n≤11)，并給出一個確定系數(shù)的表．就其應用的方法來看，韋達已能給出當n等于任意正整數(shù)的倍角表達式了．“截角術”在他生前沒有發(fā)表，直到1615年才由安德森(Anderson)印刷所出版． 符號代數(shù)與方程理論 《分析方法入門》(In artem analyticem isagoge，圖爾，1591)是韋達最重要的代數(shù)著作，也是最早的符號代數(shù)專著，書中第1章引用了兩種希臘文獻：帕波斯(Pappus)的《數(shù)學文集》(Mathe-matical collection)第7篇和丟番圖(Diophantus)的《算術》(Arithmetica)，他將帕波斯提出的幾何定理與問題和丟番圖著作中的解題步驟結合起來，認為代數(shù)是一種由已知結果求條件的邏輯分析技巧，并自信希臘數(shù)學家已經(jīng)應用了這種分析術(arsanalytice)，他自己只不過將這種分析方法重新組織．韋達不贊成用algebra(代數(shù))這個詞，因為它是一個外來語，在歐洲語言中沒有意義，建議用analyse(分析)來代替它． 韋達不滿足于丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創(chuàng)立一般的符號代數(shù)．他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A(后來用過N)等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus表示x2，x3，并將這種代數(shù)稱為“類的運算”(logistice speciosa)，以此區(qū)別于用來確定數(shù)目的“數(shù)的運算”(logistice numerosa)．對這種“類”，他在第2章中借用了歐幾里得(Euclid)《幾何原本》中對量所作的規(guī)定，如：整體等于部分之和；相等的兩個量分別加上相等的兩個量結果仍相等；以及某些運算性質(zhì)，例如：若a∶b=c∶d則(a+c)∶(b+d)=a∶b=c∶d；若ac=b2(或ad=bc)則a∶b=b∶c(或a∶b=c∶d)等．從而使類的運算法則符合于通常數(shù)的四則運算法則．這樣，他的“分析方法”對數(shù)和幾何量在使用上就沒有差別了，韋達以此為根據(jù)展開了關于代數(shù)方程的討論． 書中第5章在列舉了方程的構成方法及類型后，給出了解方程的基本步驟．如將方程一邊的某一項移至另一邊；用方程中每一項都有的“類”除各項，降低方程的階；消去最高項的系數(shù)，將方程變成比例的形式等．第6章處理了一些涉及綜合法的問題，第7章討論了幾何量與數(shù)之間的關系，若事物本身能表示成長度、面積或體積，則在方程中能用一個數(shù)表示這個量．韋達拘泥于希臘人的齊性(homogeneity)原則，即認為一個數(shù)表示線段，二數(shù)之積表示面積，三數(shù)之積表示體積，它們之間是不能混合運算的．因此在韋達列舉的方程中，要求每一頂?shù)囊阎颗c未知量的乘積次數(shù)相等，稱之為均勻性或齊次性(homogeneous)，使整個方程表示同一種幾何意義(例如將三次方程y3+py+q=0記為x3＋A2x=B3等)．最后一章即第8章中韋達討論了各種可能出現(xiàn)的方程的表示方法，共有29條規(guī)則．其中給出了方程的定義：一個方程是一個未知量與一個確定量的比較． 在數(shù)學中，代數(shù)與算術的區(qū)別在于代數(shù)引入了未知量，用字母等符號表示未知量的值進行運算．韋達之前，已有不少數(shù)學家用字母代替特定的數(shù)，但并不常用，韋達是第一個使之系統(tǒng)化的人．雖然他選用的符號并不優(yōu)良(相等、相乘等概念在運算中仍用文詞表示)，沒有沿用下來，現(xiàn)在用a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量的習慣用法是R．笛卡兒(Descartes)繼韋達之后提出的，可是當韋達提出類的運算與數(shù)的運算的區(qū)別時，就已規(guī)定了代數(shù)與算術的分界．這樣，代數(shù)就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數(shù)學史上的重要進步，它為代數(shù)學的發(fā)展開辟了道路，因此韋達被西方稱為“代數(shù)學之父”． 1593年，韋達又出版了另一部代數(shù)學專著——《分析五篇》(Zeteticorum libri quinque，亦稱《發(fā)現(xiàn)五篇》， 5卷，約1591年完成)，用具體實例將類運算與丟番圖的《算術》相比較，并試圖將后者在幾何形式下的代數(shù)恒等式重新推導出來，如a3＋3a2b+3ab2+b3=(a＋b)3 cubo”］等，還包含有二次和三次不定方程的解，其中有34個問題引自丟番圖的《算術》(包括13個有同樣數(shù)值的問題)，而解題方法卻是韋達的分析術． 《論方程的識別與訂正》(De aequationum recognitione etemendatione，1615)是韋達逝世后由他的朋友 A．安德森(Ander－son)在巴黎出版的，但早在1591年業(yè)已完成．其中得到一系列有關方程變換的公式，給出了G．卡爾達諾(Cardano)三次方程和L．費拉里(Ferrari)四次方程解法改進后的求解公式．例如，對方程x3＋3B2x=2Z3，韋達設y2＋yx=B2(B2可理解為一個矩形的面積，該矩形的小邊為y，大邊與小邊的差額為x)，則有(B2-y2)/y=x，代入原方程，得 (B6-3B4y2＋3B2y4-y6)/y3＋(3B4-3B2y2)/y=2Z3． 將所有項都乘 y3，并適當合并，得y6+2Z3y3=B6，這個方程有一個二次 Z6=D3就得到(B2-D2)/D為所求的x．在處理四次方程時，韋達同樣使用其化簡原理，首先消去含x3的項，化為方程x4+a2x2＋b3x=c4，然后將含有x2和x的項移到方程的右邊，并在方程兩邊同時加上x2y2+y4/4，則方程變?yōu)? 然后選擇適當?shù)膟，使方程右邊變成完全平方數(shù)，代換y值，求出兩邊的平方根，于是得到關于x的兩個二次方程，再解之．他還推出了一般二次方程的求根公式，類似于現(xiàn)在的結果． 在該書第8章，韋達給出卡爾達諾三次方程不可約情形的三角解法：若x3-3a2x=a2b，其中a＞b/2，則利用三角恒等式(2cosα)3-3(2cosα)=2cos3α，令x=2acosα，由b=2acos3α確定3α，可得出方程的三個根 韋達只給出一個根，其方法為后人沿用． 《論方程的識別與訂正》的另一成就是記載了著名的韋達定理，即方程的根與系數(shù)的關系式．韋達給出4個定理，論述了在二次方程中如果第二項的系數(shù)是兩數(shù)和的相反數(shù)，第三項的系數(shù)是這兩數(shù)的乘積，那么這兩個數(shù)就是這個方程的根．此外，韋達在最后一章中試圖將多項式分解成一次因子，如從二次到五次方程中分解出x-xk，但沒有成功，只是在進行過程中較早得到代數(shù)方程(x)=0的形式． 韋達還探討了代數(shù)方程數(shù)值解的問題，1591年已有綱要，1600年以《冪的數(shù)值解法》(De numerosa potestatum)為題出版．其中給出的求方程的近似根與求一般根的方法一致，其過程與I．牛頓(Newton)近似方法相仿，由估值開始，經(jīng)過逐次迭代求得結果．該方法到1680年前后才被普遍使用． 幾何學的貢獻 1593年韋達在《分析五篇》中曾說明怎樣用直尺和圓規(guī)作出413 導致某些二次方程的幾何問題的解．同年他的《幾何補篇》(Su-pplementum geometriae)在圖爾出版了，其中給出尺規(guī)作圖問題所涉及的一些代數(shù)方程知識，從直線的截距公設開始，用已給兩線段的比例中項及圓弧和截距間的關系式，較早地將倍立方和三等分角問題轉化為解三次方程的問題，并給出兩個用三角方法解三次方程的命題．后來他又得到用給定線段求解倍立方作圖問題的解答(發(fā)表于1646年)．《幾何補篇》中還有6個命題研究了圓內(nèi)接正七邊形的作圖法，指出這種作圖亦可導致三次方程，即x3=ax+a．韋達在同年出版的《各種數(shù)學解答》(Variorum de rebusmathematicis responsorum)的前半部分又重述了倍立方體、三等分角及圓內(nèi)接正七邊形問題，并以對偶形式討論了割圓曲線、平面和球面三角形、阿基米德螺線等問題，給出無窮幾何級數(shù)的求和公式等結果．此外，在第18章中韋達最早明確給出有關圓周率π值的無窮運算式 即π的第一個解析表達式．這是在考慮單位圓內(nèi)正多邊形時發(fā)現(xiàn)圓面積為 而得到的．他還利用圓內(nèi)接正393216邊形得到π的精確到10位小數(shù)的近似值，被認為是當時西方最好的圓周率值．韋達強調(diào)10進分數(shù)(小數(shù))優(yōu)于歐洲羅馬時代流傳下來的60進分數(shù)，而且創(chuàng)造了一套10進分數(shù)表示法，促進了記數(shù)法的改革． 1600年，韋達又發(fā)表一部關于阿波羅尼奧斯(Apollomus)幾何作圖相切問題的專著．該問題原意是：任給三個圓形(可以是點、直線或圓)，求作一個圓過給定的點并切于給定的直線或圓．因為求作一圓與已給的三個圓相切為最難，后人常以此代稱為阿波羅尼奧斯相切問題．阿波羅尼奧斯的原著已失傳，解法也無從知曉．韋達在此試圖收集已散失的論文，并親自解了這道相切題．他通過單獨處理該題10種特殊情形的每一種，嚴格陳述了求解方法，給出應用兩個圓相似中心的歐幾里得解法，得到同時代數(shù)學家的贊賞．他還在附錄中列舉解法的幾何構造及其注釋，為后人對這一問題的研究提供了幫助．當韋達解決了比利時數(shù)學家羅門提出的45次方程后，作為禮尚往來，他把阿波羅尼奧斯問題回敬給羅門，后來還幫助羅門化簡了這一問題的求解方法．韋達用代數(shù)方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發(fā)展成為解析幾何學． 韋達崇尚古代學者的功績，認為自己的工作只是用新的方法、技巧或新的形式恢復古人的工作，如使用字母、方程求解等，而對一些概念上的革新持冷漠態(tài)度．他在研讀卡爾達諾有關三次方程的著作時借鑒了其中的解法，卻對卡爾達諾解出的負根置之不理，而且在自己的論著中自始至終不承認負根．另外，韋達對哥白尼的天文學理論抱有成見，在格列高利十三世(Pope Gregory XIII)的歷法改革中堅持錯誤觀點，與其他科學家進行了長期爭論．但韋達在數(shù)學上的巨大成就引導了一大批后繼數(shù)學家．他在《分析方法入門》的結尾寫下這樣一句座右銘“沒有不能解決的問題”(Nullum non problema solvere)，這不僅對代數(shù)學家是一種鼓舞，而且對所有從事數(shù)學工作的人來說都是一種極大的鞭策． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
