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李特爾伍德 李旭輝 (華東師范大學(xué)) 李特爾伍德，J．E．(Littlewood，John Edensor)1885年6月9日生于英國羅切斯特；1977年9月6日卒于劍橋．?dāng)?shù)學(xué)． 李特爾伍德是愛德華·桑頓·李特爾伍德(Edward Thorn-to n Littlewood)和西爾維婭·莫德(Sylvia Maud)的長子．E．T．李特爾伍德曾獲1882年數(shù)學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試一等及格者的第9名，后來受聘擔(dān)任南非維恩堡一所新建中學(xué)的校長，全家于1892年移居到那里． 李特爾伍德在依山傍海、氣候宜人的環(huán)境里度過了愉快的童年．他先在開普敦大學(xué)念書，1900年轉(zhuǎn)入英格蘭的圣保羅學(xué)校．該校采取大學(xué)式的教學(xué)體制，鼓勵學(xué)生們獨(dú)立思考、相互探討．三年中，李特爾伍德獲得了代數(shù)、幾何知識及自立能力和良好的判斷力．1902年12月，他通過劍橋大學(xué)三一學(xué)院的資格考試，次年10月正式入學(xué)． 前兩年，他先后學(xué)習(xí)了立體幾何、流體動力學(xué)、分析學(xué)和解析函數(shù)論等課程．G．H．哈代(Hardy)曾任他的分析學(xué)課的助教．后兩年他主修特殊函數(shù)、保形表示及微分幾何，還帶著濃厚的興趣參加了A．N．懷特海(Whitehead)關(guān)于幾何基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的講習(xí)班． 1907年10月，李特爾伍德從劍橋畢業(yè)，來到曼徹斯特大學(xué)任理查德遜(Richardson)講師．繁重而乏味的教學(xué)工作占去了他大部分的時間，促使他于1910年重返三一學(xué)院，接替懷特海的職務(wù)．在這里，他發(fā)現(xiàn)了許多感興趣的新問題，并有充足的時間進(jìn)行探索．1911年1月，他證明了級數(shù)論中阿貝爾定理的逆定理，感到這“標(biāo)志著我的判斷力和鑒賞力達(dá)到了相當(dāng)可靠的程度．我受教育的時期結(jié)束了．不久，我便開始了與哈代長達(dá)35年的合作．” 兩人早期的合作成果是極為豐富的，除涉及丟番圖逼近及其對函數(shù)論的應(yīng)用外，還系統(tǒng)處理了級數(shù)的可和性，對一些特殊的級數(shù)討論了陶伯(Tauber)型定理．這其中的大部分工作是1914—1918年李特爾伍德在皇家炮兵部隊服役時完成的．在此期間，李特爾伍德還發(fā)現(xiàn)了解決彈道計算問題的一些新方法． 1920年，哈代離開劍橋去了牛津，直到1931年才重新回到劍橋．這十年間，兩人始終保持著密切的聯(lián)系，圍繞整數(shù)分拆和傅里葉級數(shù)的收斂性與可和性發(fā)表了大量著作．李特爾伍德的獨(dú)立工作集中于復(fù)函理論，還指導(dǎo)了大批研究生．他在劍橋主要講授實(shí)與復(fù)分析理論，后來又參照懷特海和B．A．W．羅素(Russell)所建立的一般理論，在自己的演講中增加了集合論基礎(chǔ)的內(nèi)容，包括基數(shù)、序數(shù)、乘法公理和良序級數(shù)．這些都收入他在1926年出版的《實(shí)函數(shù)論》(The theory of real function)一書中． 1928年，李特爾伍德被推舉為首位羅斯·鮑爾(Rouse Ball)數(shù)學(xué)教授，這樣他就免去了教學(xué)工作，可以自由選擇課題進(jìn)行演講．這時，他已成為最有威望的分析學(xué)家之一．在30—40年代，他與哈代研究了序列重排、極大定理和不等式，同R．E．A．C．佩利(Paley)系統(tǒng)探討了傅里葉級數(shù)和冪級數(shù)．出于戰(zhàn)爭的需要，他還研究了無線電工程中所需的非線性微分方程的性質(zhì)．通過各種討論班，他為許多年輕數(shù)學(xué)人才指明了方向． 1950年，65歲的李特爾伍德到了法定退休年齡，成為退休教授．他自愿為學(xué)院進(jìn)行了4年有關(guān)非線性微分方程和函數(shù)論的演講．1957年，多年折磨他的神經(jīng)衰弱得以痊愈，這使他重振信心，在后來的10年中接受了來自美國的許多邀請．應(yīng)L．C．楊(Young)和A．濟(jì)格蒙德(Zygmund)的盛情之邀，他先后到過威斯康星大學(xué)的數(shù)學(xué)研究中心和芝加哥大學(xué)，他還三次去加利福尼亞大學(xué)伯克利分校任訪問教授． 晚年，他主持過許多報告會、講習(xí)班和討論，主題是微分方程和函數(shù)論．他的論著除涉及微分方程外，另有許多顯示了他對天體力學(xué)和概率分析的興趣． 每年從圣誕節(jié)到3月中旬，李特爾伍德都要去瑞士滑雪．年老后，他無法遠(yuǎn)足，但仍堅持每天在校園中散步．87歲時，他還能不知疲倦地長時間工作，為出版物撰寫文章，幫助數(shù)學(xué)家解決他們寄來的問題． 1975年6月9日，是李特爾伍德的90大壽，數(shù)學(xué)與應(yīng)用學(xué)院同倫敦數(shù)學(xué)會聯(lián)合舉辦了專題討論會，以示慶賀．1977年8月，他在睡眠時從床上落地，直到次日凌晨才蘇醒，被送入醫(yī)院護(hù)療．9月6日，李特爾伍德猝然與世長辭，享年92歲．他終生未婚． 李特爾伍德一生獲得過大量榮譽(yù)，其中主要有：皇家學(xué)會會員(1916年)；皇室獎?wù)?1929年)，德·摩根(De Morgen)獎?wù)?1938年)和西爾維斯特(Sylvester)獎?wù)?1943年)；巴黎科學(xué)院院士(1957年11月)；倫敦數(shù)學(xué)會會長(1941—1943年)． 1982年，由倫敦數(shù)學(xué)會編輯、牛津大學(xué)出版社出版了兩卷的《J．E．李特爾伍德文集》(Collected papers of J．E．Little-wood)，其中包括他的數(shù)學(xué)論文91篇，雜文8篇．他與哈代合作撰寫的100篇論文則已收錄于1966年出版的《G．H．哈代文集》(Collected papers of G．H．Hardy)中． 1．函數(shù)論 李特爾伍德在經(jīng)典復(fù)分析領(lǐng)域做了大量工作．1907年他最初涉獵數(shù)學(xué)時，函數(shù)論的中心問題是特殊函數(shù)(如Zeta函數(shù)和橢圓函數(shù))的性質(zhì)及其在數(shù)論等學(xué)科中的應(yīng)用；而另一方面，J．阿達(dá)瑪(Hadamard)、E．L．林德洛夫(Lindel f)等人又從函數(shù)論本身的需要出發(fā)，開始研究各類一般的函數(shù)．這門學(xué)科正從廣義的應(yīng)用學(xué)科轉(zhuǎn)向純粹數(shù)學(xué)．李特爾伍德早期的工作恰好處于這兩者的分界線上．在第一篇論文“關(guān)于零階整函數(shù)的漸近逼近”(Onthe asymptotic approximation to integral functions of zero or-der)中他設(shè)f(z)為整函數(shù)， 將m(r)和M(r)視為f的k階函數(shù)，其中k由 他證明，若k=0，則m(r)＞M(r)1-ε(r→∞) 這是當(dāng)時零階整函數(shù)問題的一個最新結(jié)果，使用比較初等的方法完成了林德洛夫的殘數(shù)分析法所不能解決的問題．在提交倫敦數(shù)學(xué)會審議時，曾受到一些專家的懷疑，幸由哈代保薦才得以通過，發(fā)表在1907年的“倫敦數(shù)學(xué)會會議錄”(Proceedings of Lon-don Mathematical Society)第5卷上． 第二年，他接著證明存在一般常數(shù)C(k)(≥-2k)，使 m(r)＞M(r)c(k)-ε． 這一不等式吸引著后來的數(shù)學(xué)家做了大量改進(jìn)工作．同時，李特爾伍德開始將注意力集中于滿足特殊條件的各類整函數(shù)，尋找零點(diǎn)漸近公式與系數(shù)之間的關(guān)系，這為后來Zeta函數(shù)的研究奠定了基礎(chǔ)． 在1925年的“關(guān)于函數(shù)論中的不等式”(On inequalities inthe theory of functions)一文中，李特爾伍德首先推進(jìn)了從屬關(guān)系這一新概念．他證明，在所有于|z|＜1內(nèi)正則的函數(shù)f(z)=a0+a1z+…(a0給定，f(z)在給定區(qū)域D內(nèi)取值)中，在均值 意義下的極大函數(shù)就是將單位圓映到D的通用覆蓋面上的函數(shù)F(z)．他還就斯哥特基(Schottky)函數(shù)類討論了F(z)的性質(zhì)． 文中另一個重要結(jié)果是關(guān)于單葉函數(shù)系數(shù)絕對值的階，設(shè)上面定義的函數(shù)f(z)是單葉的，a0=0，a1=1，李特爾伍德把當(dāng)時的最佳估計 改進(jìn)為 這是對比勃巴赫(Bieberbach)猜想的一個重大貢獻(xiàn)． 次調(diào)和函數(shù)是F．里斯(Riesz)在1926年引入的一類具有普遍性的函數(shù)：u(z)=u(x，y)是次調(diào)和的，若它上半連續(xù)并對任意小的r滿足 李特爾伍德在1927年給出了等價的定義：若上式對定義域中的每個z0及某些任意小的r成立，則u亦為次調(diào)和的． 第二年，他又證明一個重要的定理：u(z)在|z|＜1內(nèi)次調(diào)和，則r→1時， 有限．對于u(z)=log|f(z)|的角極限問題，李特爾伍德亦給出一些有用的定理．這些有關(guān)次調(diào)和函數(shù)的結(jié)果后來由J．L．杜布(Doob)、R．L．惠登(Wheedon)等人從各個角度給予了推廣． 在1931年函數(shù)論授課講義的基礎(chǔ)上，李特爾伍德補(bǔ)充了次調(diào)和函數(shù)和從屬關(guān)系的內(nèi)容，于1944年2月寫成《函數(shù)論教程》(Le-ctures on the theory of functions)一書，由牛津大學(xué)出版社出版． 2．?dāng)?shù)論 李特爾伍德在數(shù)論方面的工作絕大多數(shù)是與哈代共同完成的，集中于1911—1930年的20年間． (1)丟番圖逼近 在1912年劍橋召開的第五次國際數(shù)學(xué)家大會上，哈代和李特爾伍德宣讀了有關(guān)丟番圖逼近的一系列新結(jié)果，此后又陸續(xù)寫出13篇論文．他們的突出貢獻(xiàn)在于對一些重要的特殊情形給予了精確 若這些系數(shù)增長的速度很快，則Sn(θ)／N以極慢的速度趨于0； 他們還把這種三角和的估計應(yīng)用于傅里葉級數(shù)的收斂、Zeta函數(shù)和直角三角形格點(diǎn)問題的誤差估計．例如，作為對伯恩斯坦(Bernstein) 的完善，他們證明存在常數(shù)C＞0，對所有的N和t，有 隨之可得，級數(shù) 李特爾伍德還曾提出過這樣一個問題：對所有實(shí)數(shù)對θ，φ，是否 映出連分?jǐn)?shù)方法尚未在聯(lián)立逼近問題中得到很好的推廣，被稱為“李特爾伍德的丟番圖逼近問題”． (2)Zeta函數(shù) 對于復(fù)變量的Zeta函數(shù) 一個重要的問題是其零點(diǎn)的分布問題．B．黎曼(Riemann)曾猜想 同研究Zeta函數(shù)． 1921年，兩人給出了ζ(s)的漸近估計式．設(shè)ζ(s)=φ(s)ζ(1-s)，s=σ+it，|t|=2πxy，則對|σ|≤h，x＞k，y＞k(h，k為正常數(shù))一致地有 由此得到均值估計式 李特爾伍德證明，當(dāng)s的虛部很大時，±log|ζ(s)|與argζ(s)在s點(diǎn)的取值亦很大，不論在0＜σ＜1內(nèi)還是在半平面σ≥1上．例如他找到正常數(shù)b，使 而若黎曼猜想成立，則有 記N(T)為矩形區(qū)域0＜σ＜1，0＜t≤T內(nèi)ζ(s)的零點(diǎn) 曼猜想成立的前提下，把余項(xiàng)改進(jìn)為O(logT／log log T)，它意味著各個零點(diǎn)之間的距離總不會超過c／log log T，這是迄今為止最佳的結(jié)果． Zeta函數(shù)還與素數(shù)分布問題密切相關(guān)．早在本世紀(jì)初，李特爾伍德便獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)，若素數(shù)的分布充分正則，那么黎曼猜想成立；反之，黎曼猜想隱含著素數(shù)的均勻分布． 1914年，他給出素數(shù)定理的余項(xiàng)估計．記π(x)為不超過x的素 了 李特爾伍德則證明不論黎曼猜想正確與否，都有 成立．這是一項(xiàng)比較領(lǐng)先的結(jié)果． 盡管經(jīng)驗(yàn)表明有不等式π(x)＜Lix成立，李特爾伍德卻說明差分π(x)-Lix無窮次地改變符號：對某些任意大的x，π(x)＞Lix+ (Schmidt)等人的結(jié)果相比，達(dá)到了更高的精確程度． (3)堆壘數(shù)論 1920到1928年，哈代和李特爾伍德發(fā)表了題為“整數(shù)分拆的一些問題”(Some problems of Partitio Nume-rorum)的5篇系列文章，對華林(Waring)問題進(jìn)行了深入探討．他們所得到的全部結(jié)論均以廣義黎曼猜想(用狄利克雷L函數(shù)代替Zeta函數(shù))為前提，使用的是著名的圓法．對于給定的自然數(shù)k，要求自然數(shù)S(k)，使S≥S 突破，后經(jīng)H．外爾(Weyl)和華羅庚等人給予了重大發(fā)展． 由此出發(fā)，哈代和李特爾伍德還給出了哥德巴赫(Goldbach)問題和孿生素數(shù)問題的一些漸近表示式． 3．實(shí)分析 (1)李特爾伍德-佩利理論 李特爾伍德與佩利以“關(guān)于傅里葉級數(shù)和冪級數(shù)的定理”為題，合寫過3篇文章，首創(chuàng)了Lp(p＞1)空間中傅里葉級數(shù)特征性質(zhì)的理論．它主要包括以下兩個方面： ?、俸瘮?shù)g(θ)、g＊(θ)及其應(yīng)用．設(shè)F(z)=F(ρeiθ)是單位圓內(nèi)的解析函數(shù)，李特爾伍德和佩利引入兩個重要的函數(shù) 它們對于三角級數(shù)和冪級數(shù)的研究有著重要作用．主要結(jié)果是：若r＞1，則存在僅與r有關(guān)的常數(shù)Ar，Br，使得 成立． ②三角級數(shù)的二進(jìn)分塊．設(shè)實(shí)值函數(shù)f(x)∈Lp(0，2π)， 由上面(＊)式可以得到結(jié)論：存在常數(shù)Ap(p＞1)，使 這個不等式是研究Lp空間中傅里葉級數(shù)的基本工具，其作用相當(dāng)于刻畫L2(0，2π)空間特征性質(zhì)的帕塞瓦爾(Parseval)等式，對低維空間的情形特別有效，50年代時由E．M．斯坦(Stein)推廣到高維空間． (2)哈代-李特爾伍德極大函數(shù) 30年代，哈代和李特爾伍德在研究傅里葉級數(shù)時，引進(jìn)了極大函數(shù)算子．設(shè)f(x)為Rn中的局部可積函數(shù)，稱 為f的極大函數(shù)，其中B(x，r)代表以x為中心、r為半徑的球，|B(x，r)|為球的體積．他們證明，(Mf)(x)是幾乎處處有限的，只要f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞；且有 A是與p，n有關(guān)的常數(shù)． 由極大函數(shù)的定義可知，(Mf)(x)≥|f(x)|幾乎處處成立；另一方面，只要f∈Lp(Rn)(p＞1)，仍有(Mf)(x)∈Lp(Rn)．基于這種性質(zhì)，用(Mf)(x)便能有效地控制那些在Lp上有界的算子，最后可以通過函數(shù)本身的大小達(dá)到估計算子的目的．極大函數(shù)的研究對分析數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用，并逐漸應(yīng)用到了其他的數(shù)學(xué)分支中． (3)不等式 20年代后期，李特爾伍德從冪級數(shù)的均值和有界雙線性形式兩個方向研究了不等式，幾年后又與A．C．奧佛德(Offord)和哈代分別就上述兩方面繼續(xù)進(jìn)行了探討，對三角多項(xiàng)式與巴拿赫(Banach)空間理論產(chǎn)生了影響． 1934年，他與哈代、G．波利亞(Pólya)合作出版《不等式》(Inequalities)一書，這是不等式方面的第一部專著． 李特爾伍德與哈代之間幾十年的合作是默契而成果豐碩的，他們合寫的文章占李特爾伍德全部著作的1／2，在哈代的著作中也占了1／3的比例．通常，李特爾伍德將文章的基本框架搭好，使用那些哈代熟悉的符號進(jìn)行表述，然后由哈代補(bǔ)充完善成為一篇形式優(yōu)美、內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)充實(shí)的論文．哈代對李特爾伍德給予了高度的評價，認(rèn)為他是自己所遇到的最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，能解決相當(dāng)高深復(fù)雜的問題，沒有別的人能像他那樣把洞察力、技巧和學(xué)識巧妙地結(jié)合在一起并運(yùn)用自如． 李特爾伍德有一套指導(dǎo)學(xué)生的獨(dú)特方法．他的手頭總是有二三十道題目，學(xué)生們可以任意選擇并嘗試解決，行不通的話可以另外再選．而實(shí)際上，這些問題都是李特爾伍德所崇敬的數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)考慮過但未能解決的，用這種辦法可以有效地培養(yǎng)學(xué)生們的毅力和創(chuàng)造力．“拿道難題來試試，或許你無法攻克它，但卻有可能獲得別的東西．”這是李特爾伍德常對學(xué)生們講的． 根據(jù)自己多年的實(shí)踐，李特爾伍德把數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性活動歸納為四個階段：準(zhǔn)備、醞釀、明確和驗(yàn)證．準(zhǔn)備階段需要強(qiáng)烈的好奇心，要提取本質(zhì)問題并清晰地反映到意識中，運(yùn)用所有相關(guān)的知識，聯(lián)系可能類似的事物；醞釀是在等待答案的過程中潛意識所進(jìn)行的活動；明確階段，創(chuàng)造性的思想進(jìn)入意識中，可能在幾分之一秒內(nèi)發(fā)生． |
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