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馬爾科夫 劉鈍 蘇淳 (中國科學院自然科學史研究所)(中國科技大學) 馬爾科夫， A． A．(Мa(chǎn)pKOB，AHдpeй AHдpeeBич)1856年6月14日生于俄國梁贊市；1922年7月20日卒于彼得格勒．數(shù)學． 馬爾科夫的父親原先是梁贊省林業(yè)廳的一個低級官員，后來在官場遭到傾軋，只好帶領全家遷居彼得堡.(彼得堡(пeTepбypr)，1914-1924年改稱彼得格勒(пeTpoгpaд)，)他自己在一個有錢的寡婦家里擔任管家．大約在此同時，馬爾科夫腿部患了骨結(jié)核，直到10歲左右方經(jīng)手術治療好轉(zhuǎn)，但是仍然留有一點后遺癥，這段痛苦的經(jīng)歷對他的早年意志是一個很好的磨煉． 中學時代，馬爾科夫喜歡閱讀Н．Г．車爾尼雪夫斯基(ЧepHь- IшeBCKий)、Н．?。挪_留波夫(ДoбpoлюбOB)等進步作家的作品，因此屢屢遭到東正教會控制的學校領導的警告．有一次由于他在祈禱儀式上心不在焉，被學監(jiān)斥責為無神論者和無政府主義者，只是考慮到他在數(shù)學方面的才華和父親再三賠禮道歉之后，校方才保留了他的學籍． 馬爾科夫在中學時就開始自學微積分，有一次他獨立地發(fā)現(xiàn)了一種常系數(shù)線性常微分方程的解法，因此寫信給俄國當時最有資望的數(shù)學家В．Я．布尼亞科夫斯基(БyHOBCKий)，信被轉(zhuǎn)到彼得堡大學數(shù)學系的?。茽柦?KopKиH)和Е．Н．佐洛塔廖夫(ЗoлoTap B)手里，從此馬爾科夫與彼得堡大學的數(shù)學家建立了聯(lián)系． 1874年，馬爾科夫考入彼得堡大學數(shù)學系．1878年畢業(yè)并留校工作，他的畢業(yè)論文“以連分數(shù)解微分方程”(Oб иHTeгpиpoBa- Hии ДиффepeHциaлHьIX ypaBHeHий пpи пoMo-щи HeпpepьIBHьIX дpoбeй，1878)獲得當年系里頒發(fā)的金質(zhì)獎．1880年，馬爾科夫完成了“關于雙正定二次型”(O биHap- HьIX KBaдpaTичHbIX фOPMax пoлoжиTeлbHoгo oпpeдeлиTeHия，1880)的碩士論文；從這一年起，他正式給學生開課．1883年，馬爾科夫與М．И．瓦里瓦契耶瓦婭(BaльBaT-ъeBaя)結(jié)為伉儷，新娘的母親正是他父親當年的女雇主．1884年，馬爾科夫以“關于代數(shù)連分數(shù)的某些應用”(O HeKoTopьIX пpи-лoжeHия aлгeбpaичecKиX HeпpepьIBHьIX дp- oбeй，為題通過了博士論文的答辯． 1886年，經(jīng)П．Л．切比雪夫(ЧeбьIшeB)提名，馬爾科夫獲得彼得堡科學院聯(lián)絡成員資格，1890年成為候補院士，1896年升為正院士．他積極地參加了科學院數(shù)理學部的學術和組織活動． 馬爾科夫從1880年開始，先是擔任助教和講師，1886年成為副教授，1893年成為正教授，1905年退休并獲榮譽教授稱號．二十五年來，他在彼得堡大學先后講授過微積分、數(shù)論、函數(shù)論、矩論、計算方法、微分方程、概率論等課程，培養(yǎng)了大批出色的數(shù)學人才．1917年9月，因為彼得格勒已無正常的工作秩序，馬爾科夫自愿來到梁贊省薩蘭斯克城，無償?shù)貫楫數(shù)刂袑W擔任數(shù)學教師．十月革命后的1918年秋，馬爾科夫重返彼得格勒，并為彼得格勒大學開設概率論講座． 1921年秋，馬爾科夫的健康開始惡化，只得離開母校．在生命的最后一年里，他還在抓緊時間對匯集了生平心血的《概率演算》(Иcч-иcлeHиe BepoяTHOCTeй，CПБ，1900，изд．，2-e-1908，3-e-1912，4-e-1924)一書進行修改． 在馬爾科夫從事科學活動的時代，一個以彼得堡大學為中心的俄羅斯數(shù)學學派正在逐步形成，切比雪夫是這一學派當之無愧的領袖，科爾金、佐洛塔廖夫、Ю．Ь．索霍茨基(CoxoцKий)、K．A．波瑟(Пocce)、?。钛牌罩Z夫(ЛяпyHOB)和馬爾科夫本人都是這一學派的重要成員．正是在這些人的共同努力下，俄國數(shù)學開始擺脫落后局面，并在數(shù)論、函數(shù)論、概率論等分支里出現(xiàn)了具有世界意義的成果． 馬爾科夫的碩士論文是關于代數(shù)數(shù)論中雙正定二次型的極值問題的，他推進和完善了科爾金和佐洛塔廖夫不久前得到的結(jié)果，并建立了二次型表示論與丟番圖分析之間的聯(lián)系．在這項工作中，馬爾科夫已表現(xiàn)出了善于聯(lián)系經(jīng)典問題、充分利用初等工具、追求解的精確性和實用性以及不畏繁復計算的典型的“彼得堡風格”．由切比雪夫所開拓的這種獨特風格正是使俄羅斯數(shù)學走向世界并引起法、德等傳統(tǒng)數(shù)學大國刮目相看的主要原因．的確，在切比雪夫眾多的弟子們之中，沒有人比馬爾科夫更加“彼得堡化”了，多年以后有人向他請教數(shù)學的定義，他不無驕傲地說：“數(shù)學，那就是C．F．高斯(Gauss)、切比雪夫、李雅普諾夫、斯捷克洛夫和我所從事的事業(yè)．” 1901年以后，馬爾科夫又一再回到二次型這一課題上來，并得到關于三元、四元二次型的較好結(jié)果．他也曾致力于理想素因子的分解研究， 理想素因子的當時最好結(jié)果，并算出了A≤70的所有數(shù)據(jù)． 切比雪夫曾將力學中矩的概念應用于證明概率論中的極限定理，他以連分數(shù)形式給出了某些極值不等式，但是沒有提供證明．1884年，馬爾科夫在“某些切比雪夫積分的證明”(Démonstrationde certaines inégalités de M．Tchebycheff， 1884)一文中給出了證明，又在同年通過的博士論文的第三部分給出了切比雪夫問題的完整解答．這一研究導致了馬爾科夫關于矩論的一系列論文，后來他在概率論的研究中對切比雪夫的矩問題作了許多深入的拓廣．這些拓廣的一個重要方面的內(nèi)容是：若前n+1個矩為已知的非負函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上滿足不等式0 ≤ f(x)≤ L(L為一給定常數(shù))，又設g 能的f(x)的最大值和最小值，并分別確定使其達到極值的兩個具體的函數(shù)f1(x)和f2(x)．這里已經(jīng)出現(xiàn)了泛函的雛形，馬爾科夫在假定了g(x)前n+1階導數(shù)存在且它本身在(a，b)上不變號的條件下解決了這個問題，這使他得以建立起一種相當簡單而又帶有修正項的新的求積公式．他的這些工作，最初見于1896年發(fā)表的“連分數(shù)的一些新應用”(HoBьIeпpилoжeHияHeпpepьIBHьIXдpoбeй，1896)一文，而后又在1897年的一系列論文中作了進一步的闡述，其中最為重要的一篇是“關于矩的L問題”(L-пpoблeMa MOMeHTOB，1897)． 馬爾科夫的這一系列工作幾乎是與荷蘭數(shù)學家Th．J．斯蒂爾吉斯(Stieltjes)的工作同時而獨立地進行的，但是后者更關心積分形式的意義，而不是其估值的結(jié)果，從而導致了一類應用廣泛的積分的出現(xiàn)，為實變函數(shù)論的發(fā)展奠定了基礎．斯蒂爾吉斯于去世前不久發(fā)表的綜述性論文中，解決了無窮區(qū)間(0，∞)上的矩問題，并且給出了所要尋找的函數(shù)的一切整數(shù)階矩的連分數(shù)表達式．作為回答與對這位學術知己的紀念，馬爾科夫于1895年發(fā)表了“關于某些連分數(shù)收斂性的兩個證明”(Deux démonstrationsde la convergence de certaines fractions continues， 1895)一文，文中給出了斯蒂爾吉斯連分數(shù)收斂的充分條件． 馬爾科夫?qū)嶋H問題具有濃厚興趣．1889年，他在“關于一個門捷列夫問題”(Oб OдHOM BOпpoce Д．И．MeHдeлeeBa，1889)一文中，解決了由彼得堡大學著名化學家д．И．門捷列夫(MeHдeлeeB)提出的一個問題，從數(shù)學上來說這一問題相當于找出定義在閉區(qū)間[a，b]上的n次多項式f(x)之導數(shù)f′(x)在某種條件下的最大值，它與切比雪夫所開創(chuàng)的對偏離零點的多項式的最大偏差的估計有關．三年之后，馬爾科夫的同父異母弟弟弗拉基米爾(Bлaди- Mиp)將這一問題推廣到求導數(shù)多項式的上確界的情況，可惜他這位頗具數(shù)學才華的弟弟26歲時便死于肺結(jié)核．馬爾科夫還研究過空間曲面的投影轉(zhuǎn)換、鐵路彎道的曲率等實際問題．在微分方程領域，他致力于G．拉梅(Lamé)方程和超幾何方程的研究，其成果包括確定了一個超幾何方程的兩個解的乘積可為整函數(shù)的條件，以及這類函數(shù)與拉梅函數(shù)的零點分布問題． 馬爾科夫?qū)?shù)學的最大貢獻是在概率論領域作出的．十九世紀后二十年，他主要是沿著切比雪夫開創(chuàng)的方向，致力于獨立隨機變量和古典極值理論的研究，從而改進和完善了大數(shù)定律和中心極限定理．二十世紀初，他的興趣轉(zhuǎn)移到相依隨機變量序列的研究上來，從而創(chuàng)立了以他命名的著名概率模型——馬爾科夫鏈． 概率論中的一個基本問題就是探索概率接近于1時的規(guī)律，特別是大量獨立或弱相依因素累積結(jié)果所發(fā)生的規(guī)律，大數(shù)定律就是表達有關這種規(guī)律的命題之一．1845年，切比雪夫第一次證明了伯努利形式的大數(shù)定律，次年又把結(jié)果拓廣到泊松形式之上．馬爾科夫不滿意切比雪夫證明中要求隨機變量的方差值一致有界這一條件，經(jīng)過努力他找到了兩個更合理的條件，極大地改進了切比雪夫的結(jié)果． 中心極限定理是概率論極限理論的又一重要內(nèi)容，它討論隨機變數(shù)和依分布收斂到正態(tài)分布的條件．在1884年馬爾科夫?qū)胤椒ㄋ婕暗降那斜妊┓虿坏仁浇o出了證明之后，切比雪夫于1887年得到了這一定理 夫提出的命題給出了精確的陳述與證明，文中所使用的改進后的矩方法后來被人稱為“切比雪夫-馬爾科夫矩方法”． 1900年前后，馬爾科夫的低班校友李雅普諾夫引入了特征函數(shù)來考察中心極限定理，從而避免了矩方法要求高階矩存在的苛刻條件，并為這一定理的進一步精確化準備了條件．多年來，馬爾科夫力圖在概率論中恢復矩方法的地位，最后他創(chuàng)造出了一種“截尾術”，即在適當?shù)膮^(qū)域截斷隨機變量使之有界，從而在不改變它們和的極限分布的前提下保證任意階矩的存在，他的這一成果發(fā)表在“關于李雅普諾夫院士情形的概率極限的定理”(TeopeMa Oпpeдeлe Bep- oяTHOCTи для CлyчaeB aKaдeMиKa A．M． ДяпyHoBa，1909)一文中．馬爾科夫的創(chuàng)造克服了特征函數(shù)方法過分依賴獨立性的弱點，開辟了通向非獨立隨機變量研究的道路，并為強極限理論的發(fā)展提供了有力的手段．他與李雅普諾夫關于方法論的競爭，極大地豐富了本世紀初概率論的內(nèi)容，對這門學科的現(xiàn)代化產(chǎn)生了深遠的影響． 出于擴大極限定理應用范圍的目的，馬爾科夫在本世紀初開始考慮相依隨機變量序列的規(guī)律，并從中選出了重要的一類加以研究．1906年，他在“大數(shù)定律關于相依變量的擴展”(PacпpocTpaHeHиe зaKo- HOB бoлbщиX чиCeлHA BeличиHbI，зaBиCяшиe дpyг OT дpyгa，1906)一文中，第一次提到如下一種試驗序列：若每次試驗能夠?qū)崿F(xiàn)且僅能夠?qū)崿F(xiàn)k件互不相容事件A1s，A2s，…，Aks(s表試驗號碼)中的一件，而在第s+1次試驗中實現(xiàn)事件Ais+1(i=1，2，…k)的條件概率只與第s次試驗中發(fā)生的事件有關，而與更早的試驗中發(fā)生的事件無關．這就是被后人稱為“馬爾科夫鏈”(嚴格說是“簡單馬爾科夫鏈”)的概率模型． 例如，一個受到在t1，t2，t3，…時刻發(fā)生的隨機推動的影響而沿著一條直線運動的質(zhì)點，在運動過程中位于具有整數(shù)坐標a，a+1，a+2，…b的點上；在a點和b點上有反射性的壁障．當質(zhì)點不在壁上時，每次推動使該質(zhì)點以概率p向右移動而以概率q=1-p向左移動；若質(zhì)點在壁上，則任何推動使它在兩壁之間移動一個單位．可以看出，該質(zhì)點在ti時刻以多大的概率在什么位置僅僅與它在ti－1時刻的位置有關，而與它在t1，t2，…，ti-2諸時刻的位置無關，這個質(zhì)點徘徊的例子就提供了一個馬爾科夫鏈的實例． 在這篇論文中，馬爾科夫證明了：在這種隨機變量序列中，如果變 些前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為統(tǒng)計物理中具有重要作用的遍歷理論的第一個被嚴格證明的結(jié)果． 馬爾科夫鏈的哲學意義可用蘇聯(lián)數(shù)學家 А．Я．辛欽(XиHч-иH)的一句話來概括，這就是承認客觀世界中有一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在所決定的程度，使得其關于過去的知識絲毫不影響這種決定性．馬爾科夫鏈的建立實際上是Ch．惠更斯(Huygens)無后效原理的概率推廣，同時也是對P．S．拉普拉斯(Laplace)決定論的否定．在后者的宇宙圖景中，任意系統(tǒng)在t＞t0時的狀態(tài)ξ可由其初始時刻t0和初始狀態(tài)ξ0唯一決定：ε=f(t0，ξ0，t)，這里f是一個微分方程．可是在馬爾科夫的概率模型中，代替初始條件t0和ξ0的是一個條件概率，即在時刻t0處于狀態(tài)ξi的條件下，于時刻t出現(xiàn)狀態(tài)ξj的概率p(t0，ξi；t，ξj)對于三個相鄰時刻t0＜t1＜t2之間的條件概率，存在著 這里n表示狀態(tài)的總數(shù)．這一公式與拉普拉斯的微分方程的不同就在于否定了系統(tǒng)中任一狀態(tài)ξ與其初始狀態(tài)ξ0之間的因果必然性． 馬爾科夫是第一個建立這樣一種服從無后效原理的數(shù)學模型的人，但是他本人并沒有提到這一模型在物理世界的應用．有趣的是，他曾用語言學方面的材料來驗證這一模型．在《概率演算》的第四版中，他以 A． C．普希金(ПyшKиH)的長詩《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律，驗證了只有兩種狀態(tài)的簡單馬爾科夫鏈在俄文字母隨機序列中的存在． 完成了關于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又在一系列論文中開始研究鏈的中心極限定理．1907年，他在《科學院通報》(ИзBT-ияX AkaдeMии HayK)上發(fā)表了“相依試驗的一種特殊情況”(ИccлeдoBaHиe зaMeчaTeлbHoгo cлyчaя зaB-иCиMьIX иcпьITaHий，1907)一文，文中證明了僅有0，1兩種狀態(tài)的齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理．1908年，他又在“一個鏈中變量和的概率計算極限定理的推廣”(PacпpocTpaHeHиe пpe-дeльHьIX TeopeM иcчилeHия BepoяTHoCTeйHa cy- Mmy BeличиH，CBязaHHbIX B цeпь，1908)一文中將結(jié)果推廣到具有有限狀態(tài)的任意齊次烏爾科夫鏈的情況，在這里轉(zhuǎn)移概率滿足一些特定條件．如同他的其他許多工作一樣，他在這一證明中使用了矩方法．1910年，馬爾科夫發(fā)表了“成連鎖試驗的普遍情況研究”(ИccлeдoBaHиe oбщeгo cлyч-aя иcпьITaHий．CBязaHHьIX B цeпь，1910)一文，文中證明了兩種狀態(tài)的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理，其中四個轉(zhuǎn)移概率位于一個固定的區(qū)間(c1，c2)內(nèi)． 馬爾科夫提出的概念后來被擴充到連續(xù)時間和任意位相空間，按照欣欽的建議被稱為馬爾科夫過程，它是現(xiàn)代概率論中的一個重要分支——隨機過程理論中的一部分．馬爾科夫過程的一般理論及其分類是蘇聯(lián)數(shù)學家?。聽柲缏宸?KoлMoгopoB)于1930年完成的．馬爾科夫所開創(chuàng)的這一研究引起了近代物理學、化學、遺傳學乃至經(jīng)濟學與社會學觀念上的革命，其真實性可由下述事實得到證明：那就是，在馬爾科夫從事他的研究之前或同時，一些關于馬爾科夫鏈甚至馬爾科夫過程的實例就由其他科學家提供了．例如，1889年英國遺傳學家F．高爾頓(Galton)對一個家族生存的調(diào)查就可歸為一種具有可數(shù)狀態(tài)的馬爾科夫鏈；另一個模型于1907年由荷蘭物理學家P．厄倫費斯特(Ehre-nfest)關于容器中分子擴散的實驗提供．1912年，法國數(shù)學家Н．龐加萊(Poincaré)在其《概率演算》第二版(Calcul des probabilités，2nd．ed．，1912)中提出的洗牌問題，涉及到一個定義在置換群上的鏈的各態(tài)歷經(jīng)性質(zhì)．法國數(shù)學家L．巴歇列埃(Bachelier)在1900—1901年的關于投機理論的研究中接觸到連續(xù)性的馬爾科夫過程．其后?。異垡蛩固?Einstein)和波蘭物理學家М．馮·斯莫盧霍夫斯基(Smoluchowski)在對布朗運動的研究中也接觸到這一課題．第一個用馬爾科夫過程來嚴格地描述布朗運動的工作是由美國數(shù)學家N·維納(Wiener)于1923年給出的． 馬爾科夫關于鏈的理論在本世紀得到一大批優(yōu)秀數(shù)學家的繼承與發(fā)展，他們當中有С．Н．伯恩斯坦(БepHшTeйH)、М．弗雷歇(Fréchet)、В．И．羅曼諾夫斯基(PoMaHoBcKий)、柯爾莫哥洛夫、W．費勒(Feller)、P．萊維(Lévy)、J．達布(Doob)等．近年來，中國數(shù)學工者作在與馬爾科夫過程論有關的眾多課題上也取得了令人矚目的成果． 馬爾科夫生活的時代，正當俄國民主啟蒙運動空前高漲和社會主義革命走向勝利的時代，他的思想和行為都體現(xiàn)了鮮明的時代特征．他曾就濫用概率論于“倫理科學”和用神學干預科學的傾向與布尼亞科夫斯基展開過論戰(zhàn)．在《概率演算》一書中，他針對后者對“某些哲學家以極不體面的方式，試圖把關于證據(jù)和傳說弱化的概率公式應用到宗教信仰上”的攻擊而寫道：“對不大可能的事件的敘述就仿佛對久遠年代以前發(fā)生的事件一樣，顯然應該予以極端的懷疑．”1912年2月12日，馬爾科夫致信東正教最高會議，信中寫道：“我最誠摯地請求革除我的教籍．我所寫的《概率演算》一書中的一些言論可以作為開除我的理由，因為這些言論已經(jīng)充分表明我對成為猶太教和基督教教義基礎的那些傳說所持的否定態(tài)度．”教會一面在報紙上對他組織圍攻，一面派人來勸說他改變初衷，但是馬爾科夫聲稱“只與來人談數(shù)學”，最后教會只好開除了他的教籍． 1902年 2月，科學院文學部聯(lián)席會議通過了接納М．高爾基(Гop-ьKий)為名譽院士的決議，但是很快引來了沙皇?。峁爬?H-иKoлaй Ⅱ)的粗暴干涉，受到壓力的科學院院務委員會只好又發(fā)布了一個取消高爾基當選資格的文告．馬爾科夫同В．Г．科羅連科(KopoлeHKO)、А．П．契訶夫(ЧeXOB)等人一道參加了抗議活動．4月6日，他向院務委員會遞交了抗議聲明．在公開宣讀這一聲明的要求被拒絕之后，他又于兩天后向院長遞交了辭去院士稱號的報告．直到1905年，他還不忘上書院務委員會，提請其撤銷1902年的錯誤文告． 1905年的民主革命失敗以后，馬爾科夫抵制了代表沙皇利益的第三屆國家杜馬的選舉．他在給科學院的聲明中說：“第三屆國家杜馬的建立完全違背了憲法，因而它根本不是一個代表人民意愿的議會，而只是一個非法的團體，因此我堅決請求院務委員會不要把我的名字列入選民的名單之中．”針對國民教育部1908年關于重申取消大學自治的通告，馬爾科夫給教育大臣寫信表示：“我最堅決地拒絕在彼得堡大學充當沙皇政府走卒的角色，但我將保留自己開設概率論講座的權(quán)力．” 1913年，沙皇政府為了轉(zhuǎn)移國內(nèi)日益高漲的革命情緒并準備帝國主義戰(zhàn)爭，決定以1613年全俄貴族會議選舉M．Φ羅曼諾夫(PoMaHoB)為沙皇這一歷史事件為標志舉行羅曼諾夫王朝建立三百周年的慶典．與此針鋒相對，馬爾科夫以雅格布·伯努利(Bernoulli Jakob)的《猜度術》(Ars Conjectandi，1713)的出版為標志，在科學界發(fā)起了慶祝大數(shù)定律發(fā)現(xiàn)二百周年的慶?；顒樱? 馬爾科夫去世后，他的遺體被安葬在彼得格勒的米特羅方耶夫斯基公墓．他的墓碑如同他的文章與講課風格一樣樸素無華．他在數(shù)學上的貢獻和他為了科學與民主而奮斗的一生是值得后人景仰的． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
