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龐特里亞金 張奠宙 (華東師范大學(xué)) 龐特里亞金，Л．(Понтрягин,Лев Семёнович)1908年9月3日生于俄國莫斯科；1988年5月3日卒于莫斯科，數(shù)學(xué)． 龐特里亞金生于莫斯科的一個低級職員家庭．父親曾是會計，后來當(dāng)兵．母親是一位裁縫．十月革命以后，他在一所普通的十年制中學(xué)讀書．13歲那年，因一次汽爐的意外爆炸而雙目失明．母親幫助他樹立起堅強的人生信念．起初曾想將來從事音樂和歷史，但都沒有產(chǎn)生強烈的興趣．到了八、九年級，卻被數(shù)學(xué)迷住了．1925年中學(xué)畢業(yè)時的唯一志愿，就是報考莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)物理系，由于成績優(yōu)秀和教父的幫忙，幾乎未經(jīng)考試就被保送入學(xué)，而且有獎學(xué)金． 龐特里亞金憑聽覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．每次聽完課后，立刻集中復(fù)習(xí)并加以熟記．從二年級起，除聽必修課之外，還參加П．C亞歷山德羅夫(Алексндров)的拓?fù)鋵W(xué)的授課和討論班．當(dāng)年末就獲得拓?fù)鋵W(xué)的研究成果．1928年，德國女?dāng)?shù)學(xué)家E．諾特(Noether)來訪，使龐特里亞金受益很多．1929年大學(xué)畢業(yè)后，在亞歷山德羅夫主持的討論研究班里又讀了兩年．他運用同調(diào)維數(shù)理論，構(gòu)造了兩個二維緊集，其拓?fù)浞e維數(shù)是三．這給亞歷山德羅夫留下極為深刻的印象．當(dāng)時的蘇聯(lián)尚沒有學(xué)位制度．到了1934年，龐特里亞金成為蘇聯(lián)首批博士之一．同年他被任命為莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)教授．也是在1934年，蘇聯(lián)科學(xué)院從列寧格勒遷來莫斯科，應(yīng)所長И．М．維諾格拉多夫(Виноградов)的邀請，龐特里亞金于1935年到莫斯科的斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所工作，同時兼任莫斯科大學(xué)教授． 龐特里亞金曾在1950年和1960年兩次結(jié)婚，第二位妻子是A．依格娜切也芙娜(Игначтъевна)醫(yī)生． 1939年，龐特里亞金當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院的通訊院士，1958年轉(zhuǎn)為院士．同年他第一次出國訪問，參加在愛丁堡舉行的國際數(shù)學(xué)家大會，應(yīng)邀作大會報告，題目是“最優(yōu)過程的數(shù)學(xué)理論”．1970年，在尼斯舉行國際數(shù)學(xué)家大會前夕，需要有一名蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家參加國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟(IMU)的執(zhí)行委員會．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家全國委員會主席維納格拉多夫和蘇聯(lián)科學(xué)院院長М．B．凱爾迪什(Келдыш)推薦龐特里亞金去參加，他于是代表蘇聯(lián)擔(dān)任國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟(1970—1974)的副主席．1969年，他去美國斯坦福大學(xué)訪問．次年，再次在國際數(shù)學(xué)家大會上作報告，題目有關(guān)微分對策。 龐特里亞金在數(shù)學(xué)上的最大貢獻是拓?fù)鋵W(xué)和最優(yōu)控制理論． 從1927年到1952年，他在拓?fù)鋵W(xué)方面發(fā)表了60多篇論文．早期的一項工作是前已提到的維數(shù)論．當(dāng)時人們猜想：拓?fù)浞e的維數(shù)是其各個因子的維數(shù)之和．龐特里亞金舉出反例，運用同調(diào)維數(shù)論構(gòu)造出兩個二維的緊集，其拓?fù)浞e的維數(shù)是三．與此相關(guān)的是推廣J．W．亞歷山大(Alexander)的拓?fù)鋵ε级ɡ?，建立起所謂龐特里亞金對偶(1934)．它指出，n維球面流形Mn中閉集A的以緊群X為系數(shù)的r維同調(diào)群Hr(A，X)，與其補集B=Mn＼A的以離散群Y為系數(shù)的(n-r-1)維同調(diào)群是對偶的． 1933年，龐特里亞金繼續(xù)拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)的交叉課題，并力求得出盡善盡美的結(jié)果．他把緊拓?fù)淇臻g的同調(diào)群構(gòu)作成連續(xù)的交換緊拓?fù)淙海⑶沂惯@個群是離散交換群的特征標(biāo)，由此接近了交換拓?fù)淙旱奶卣鳂?biāo)理論．他證明了現(xiàn)被稱為龐特里亞金對偶定理的下述結(jié)果：局部緊可分交換群G及其特征標(biāo)群C(G)互為對偶，即C≌C(G)．這一結(jié)果以及有關(guān)連續(xù)代數(shù)運算對象的系統(tǒng)論述，都收在專著《連續(xù)群》之中．此書于1938年出版，次年即被譯成英文(1958年出版中譯本)．龐特里亞金也因此獲得1940年的國家獎金． 維數(shù)的同調(diào)理論研究的關(guān)鍵，是要找出按集合論定義的緊集維數(shù)的同倫等價性．為解決這一問題，必須把從n+k維的球到n維球的一切映射加以同倫分類．1936年的初夏，龐特里亞金解出了 k=1，2的情形．他發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n＞3時，n+1維球Sn+1到n維球Sn映射的同倫類只有兩類，而不同于先前H．霍普夫(Hopf)的結(jié)果：π3(S)=Z，這是令人驚奇的結(jié)論．在解決映射的同倫分類時，龐特里亞金還發(fā)明了標(biāo)架流形法，創(chuàng)立了光滑流形的特征類——龐特里亞金示性類，成為刻畫流形的微分結(jié)構(gòu)和復(fù)結(jié)構(gòu)的不變量．標(biāo)架流形法和這一示性類雖未能解決球面到球面的分類問題，反過來卻用同倫論方法開辟了微分拓?fù)涞男绿斓兀S多數(shù)學(xué)家給示性類找到了應(yīng)用．時至今日，龐特里亞金示性類和惠特尼(Whitney)示性類，特別是陳(省身)示性類等，都在刻畫一般向量叢(纖維叢，李群，齊性空間)結(jié)構(gòu)的不變量研究中具有特別重要的意義，可說已成為拓?fù)洹⒎治?、代?shù)、幾何的交會點及共同工具． 1934年，著名的法國數(shù)學(xué)家E．嘉當(dāng)(Cartan)訪問莫斯科時，提到求緊李群的貝蒂(Betti)數(shù)問題．龐特里亞金用摩爾斯理論獲得了解決，并在1935年的莫斯科國際拓?fù)鋵W(xué)會議上作了報告． 龐特里亞金的拓?fù)鋵W(xué)研究成果多半?yún)R集在《拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》和《光滑流形及其在同倫論上的應(yīng)用》兩部專著中(都有中譯本)． 在戰(zhàn)爭年代，龐特里亞金疏散到喀山，在那里完成了兩件事：研究初等超越函數(shù)的零值，以及帶不定度規(guī)的希爾伯特空間上對稱算子的譜分解．帶有限維負(fù)于空間的希爾伯特空間現(xiàn)被稱為龐特里亞金空間． 在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了令人羨慕的成就之后，龐特里亞金既有喜悅又有憂慮．他在自傳里曾寫道：“我所作的一切究竟為了什么？……什么時候可以把維數(shù)同調(diào)理論用于技術(shù)物理學(xué)，或一般地用于我們周圍物質(zhì)世界中？”同事們中間的輿論更加深了他的憂慮．1932年的一天，一位素不相識的年輕物理學(xué)家A．A．安德羅諾夫(Андронов)突然來到龐特里亞金的住所，說要和他談?wù)勓芯繎?yīng)用數(shù)學(xué)的問題。從此開始了他們間20年的友誼．龐特里亞金在回憶往事時說：“我認(rèn)為他最突出的一點，就是對于國家所發(fā)生的一切具有高度的責(zé)任感．與他的結(jié)識及對我的影響使我放棄了自己一直從事的抽象問題的研究工作，而致力于數(shù)學(xué)的應(yīng)用”由于安德羅諾夫的影響，龐特里亞金在第二次世界大戰(zhàn)之前作過微分方程方面的工作，曾隱約地提出后來的“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定”概念．也曾因計算哈密頓系統(tǒng)的動力學(xué)體系，鉆研過J．H．龐加萊(Poincare)和H．M．摩爾斯(Morse)的有關(guān)論著，但沒有什么重大成果．研究方向上的真正改變，是1952年之后的事情．這一方面是自己的思想早巳傾向應(yīng)用數(shù)學(xué)，另一方面是領(lǐng)導(dǎo)和朋友的建議，其中有數(shù)學(xué)研究所副所長凱爾迪什的勸告，而他的學(xué)生和合作伙伴E．Φ．米申科(Мишинко)的支持與幫助則起了關(guān)鍵的作用． 1952年秋夫，龐特里亞金和他的學(xué)生們開設(shè)了振動與控制理論討論班，開始研究安德羅諾夫的振動理論著作，從而知道了什么是電容、自感、感抗、電子管振蕩器等．討論班上還有一條嚴(yán)格的制度：每次學(xué)術(shù)報告都必須從講解某技術(shù)問題入手，再用微分方程加以描述．剛開始時這種作法并不為一些老數(shù)學(xué)家所理解，亞歷山德羅夫認(rèn)為這是對拓?fù)鋵W(xué)的背叛．柯爾莫哥洛夫也對米申科的電子振蕩器的研究評價不高．但他們?nèi)匀粓猿窒氯?，最初的研究工作涉及帶小參?shù)的高階微分方程，龐特里亞金和米申科一起取得了系統(tǒng)的成果，而這一次柯爾莫哥洛夫則給予了高度評價． 龐特里亞金在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的最大貢獻是研究微分對策，發(fā)展了最優(yōu)控制理論．特別是1956年提出的“極大性原理”，取得極高的學(xué)術(shù)聲譽．其主要內(nèi)容是： 非線性控制系統(tǒng)由方程x(t)=F(t，x(t)，u(t))描述，其中u(t)是控制向量，t=0，t=1時x(t)分別有初值x0，x1，用u(t)確定的泛函 來表示控制方式的優(yōu)劣，使J［u(t)］取最小的u(t)為最優(yōu)控制，相應(yīng)的x(t)為最優(yōu)軌線．若該系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為H( (t)，x(t)，u)，則u(t)，x(t)最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線的必要條件是存在絕對連續(xù)函數(shù) (t)=( 0(t)…， n(t))使得H( (t)，x(t)，u(t))達到最大值，而在終止時間t1，滿足 0(t1)=0，H( (t1)，x(t1)，U(t1))=0． 在極大性原理的基礎(chǔ)上，龐特里亞金和他的合作者發(fā)展了一系列方法，處理了許多實際問題．更重要的是這一原理有很多推廣，對偏微分方程和隨機過程理論的發(fā)展也有重大價值． 龐特里亞金和合作者們的專著《最優(yōu)過程的數(shù)學(xué)理論》于1961年出版，并很快就有了多國譯本，包括中譯本．他為莫斯科大學(xué)本科生所寫的教材《常微分方程》也受到廣泛歡迎，1961年由蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)-物理文獻出版社出版，并在1975年作為優(yōu)秀教科書獲得國家獎金． 1968年以后，龐特里亞金對數(shù)學(xué)出版物的質(zhì)量感到關(guān)切，他組織了一批數(shù)學(xué)家成立數(shù)學(xué)著作編輯與出版委員會，推動許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)書籍問世．他自己在1980年前后寫了四本高等數(shù)學(xué)的普及讀物，并擁有大量讀者．他對中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革也十分關(guān)心，時常提出直率的批評． 龐特里亞金出身社會下層，又雙目失明，卻傳奇般地成了一代數(shù)學(xué)名家．這里除了他個人的天才和勤奮之外，社會給予他很多很多．他從中學(xué)起就有獎學(xué)金，又被保送進入莫斯科大學(xué)．31歲時，成了蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士．1940年和1962年兩次獲國家獎金．1966年再獲學(xué)術(shù)性很高的羅巴切夫斯基獎．他曾三次被授予列寧勛章，1969年獲得社會主義勞動英雄金星獎?wù)拢谔K聯(lián)數(shù)學(xué)家中，龐特里亞金出國訪問的機會也是特別多的．因此，他對蘇維埃社會懷有深厚的感情．當(dāng)然，他也不可避免地為蘇聯(lián)各個時期的政治形勢所左右，例如，1936年曾在批判H．H．魯金(Луэин)的大會上作措辭嚴(yán)厲的發(fā)言．對他在勃列日涅夫時期的表現(xiàn)，也有批評． |
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