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維諾格拉多夫 張明堯 (中國科學技術大學) 維諾格拉多夫，1891年9月14日生于俄國西部普斯科夫省大盧基縣的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．數(shù)學． 維諾格拉多夫的父親是米洛留勃村墓地教堂的一名牧師，母親是一名教師．維諾格拉多夫從小就表現(xiàn)出繪畫的才能．當時牧師的孩子通常是進教會學校讀書，而他的父母卻一反慣例，于1903年送他到大盧基城的一所主要是講授自然科學、現(xiàn)代語言及繪畫的實科中學去就讀．1910年他中學畢業(yè)后，進入首都彼得堡(1914—1924年間改稱彼得格勒；后又更名為列寧格勒)的彼得堡大學的物理數(shù)學系學習，1914年畢業(yè)．在該系著名學者Я．B．烏斯賓斯基等人的影響下，維諾格拉多夫對數(shù)論產生了濃厚的興趣．1915年，由于他關于二次剩余及非剩余分布問題所獲得的研究成果，經B．A．斯捷克洛夫推薦，授予他一項獎學金，此后他成功地通過了碩士學位．1918—1920年，維諾格拉多夫先后在國立彼爾姆大學及蘇聯(lián)東歐部分的莫洛托夫大學任教，先任副教授，后擔任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工學院教授及彼得格勒大學副教授．在彼得格勒工學院他開設高等數(shù)學課，在彼得格勒大學他開設數(shù)論課，這門課就成了他后來所著《數(shù)論基礎》一書的基礎．1925年他升任列寧格勒大學教授，并擔任該校數(shù)論及概率教研室主任． 1929年1月他當選為蘇聯(lián)科學院院士，這標志著他開始進入國家級的科學活動組織者及管理人才的行列中．他與C．И．瓦維洛夫共同制訂了對科學院物理-數(shù)學研究所進行重大改組的計劃．1930—1932年他出任人口統(tǒng)計研究所所長，1930—1934年任物理-數(shù)學研究所數(shù)學部主任．1934年，物理-數(shù)學研究所分為兩個所：列別捷夫物理研究所與斯捷克洛夫數(shù)學研究所．維諾格拉多夫被任命為斯捷克洛夫數(shù)學研究所第一任所長，直到去世前，他一直擔任這一職務．其間，蘇聯(lián)科學院從列寧格勒遷往莫斯科，斯捷克洛夫數(shù)學研究所即建在瓦維洛夫大街上．1950年起，他任《蘇聯(lián)科學院通報》數(shù)學組主編，1958年起任全蘇數(shù)學家委員會主席．他始終對數(shù)學教育有極大的興趣，直到去世前一直任全蘇中學數(shù)學改革委員會主席． 維諾格拉多夫中等身材，體格異常健壯．即便到90高齡，他也從不坐電梯去辦公室，且步履十分矯?。c人談話常用俄語，但能說一口相當熟練的英語．他一生中只有很少幾次出國參加活動．其中有兩次出訪聯(lián)合王國，一次是1946年參加英國皇家協(xié)會主辦的牛頓紀念活動，另一次是參加1958年的愛丁堡國際數(shù)學家大會．維諾格拉多夫十分好客，待人誠摯體貼．1971年借祝維諾格拉多夫80壽辰之機，在莫斯科舉行了一次學術討論會．維諾格拉多夫自費主辦了一次宴會，邀請與會的國內外數(shù)學家參加，他親筆填寫了每份請?zhí)?，對每位客人都給予了熱情的款待． 維諾格拉多夫一生中被20多個外國科學院及科學協(xié)會等機構授予院士、名譽院士、會員、名譽會員等稱號．1939年被授予倫敦數(shù)學會名譽會員稱號，1942年當選為英國皇家學會外籍會員．他一生還多次榮獲蘇聯(lián)政府及蘇聯(lián)科學院等頒發(fā)的勛章及榮譽稱號．其中計有： 社會主義勞動英雄(2次)，列寧勛章(5次)，錘子與鐮刀勛章(2次)，十月革命勛章，斯大林獎金(現(xiàn)改稱國家獎金)，列寧獎金，羅蒙諾索夫金質獎章，其中羅蒙諾索夫金質獎章是蘇聯(lián)科學院的最高獎． 波利亞-維諾格拉多夫不等式 設m≥1為給定的整數(shù)，a，b為兩個整數(shù)．若a—b可被m整除，則記m|(a—b)，稱m為模，并稱a與b對模m同余，記為a≡b(mod m)．對固定的模m，同余關系是一個等價關系．把對模m同余的所有整數(shù)歸為一類，稱為模m的一個剩余類，則全體整數(shù)恰可分成m個不同的剩余類．從每一類中取一代表元組成的集合稱為模m的一個完全剩余系．對剩余類可以很自然地定義類的加、減、乘法，它們與整數(shù)的加、減、乘法有完全類似的性質． 設m=p≥3為素數(shù)，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一個n≥1次整系數(shù)多項式．若x0滿足同余方程 f(x)≡0(modp)， (1) 易見一切滿足t≡x0(modp)的t皆滿足(1)，它們稱為(1)的一個解．與代數(shù)基本定理對應，我們有如下定理． 定理(拉格朗日)若an (modp)，則(1)至多有n個解． 當n=2時，求解(1)可以歸結為求解特殊形式的二次同余方程 x2≡a(modp)． (2) A．M．勒讓德(Legendre)首先定義了如下的符號，此即初等數(shù)論中著名的勒讓德符號： 非剩余(即平方非剩余)．在模p的一個完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易見除p外，二次剩余與非剩余各占一半，故 實際上，對任何整數(shù)N均有 這表明在模p的一個完全剩余系里，二次剩余與非剩余個數(shù)總是相等．一個自然的問題是：對任意整數(shù)N及任給正整數(shù)M，當a取遍區(qū)間[N＋1，N+M]中的整數(shù)時，其中二次剩余及非剩余的分布情況如何？(3)表明其中二次剩余與非剩余的個數(shù)之差為 由(5)知不妨可設1≤M＜p／2．維諾格拉多夫證明了 上式表明，當區(qū)間長度M適當大時，其中二次剩余與非剩余的個數(shù)相差甚少．正是由于這項研究成果，1915年他被授予一項獎學金，并被批準留校攻讀學位． 勒讓德符號實際上是以p為模的一種實原特征，它是更為廣泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，這里q是特征的模．1918年，維諾格拉多夫與波利亞互相獨立地證明了：若χq(a)是以q為模的一個原特征，則對任何整數(shù)N≥1皆有 若χq(a)為非主特征，則有 這些不等式統(tǒng)稱為波利亞-維諾格拉多夫不等式． 1977年，H．L．蒙哥馬利(Montgomery)與R．C．沃恩(Vaughan)在假設廣義黎曼猜想(簡記為GRH)成立的條件下證明了：對非主特征有 而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就構造出一列無窮多個不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得 因此，(7*)與最好可能的結果(7.1)相比已經相當接近． 設n2(p)＞1為模p的最小二次非剩余．1919年，維諾格拉多夫利用(7)及素數(shù)分布的簡單性質證明了 他猜想對任給ε＞0有n2(p)=O(pε)，他還猜想對任給ε＞0有 安克尼(Ankeny)證明了：若GRH成立，則有n2(p)=O(ln2p)．對于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奧特(Elliott)證明了它是GRH的一個推論．這兩個猜想迄今仍未獲得證明．他關于二次及高次剩余分布、原根與指數(shù)分布等問題的許多結果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改進．有關結果請見W．納基耶維奇(Narkiewicz)所寫專著第Ⅱ章及其他文獻． 類數(shù)均值公式及格點問題 設a，b，c為取定的整數(shù)，稱二次齊次式 f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2 為一個二元二次型，簡記為{a，b，c}，稱d=b2-4ac為其判別式．若(a，b，c)=1，則稱{a，b，c}為本原二次型，簡稱原型，這里(a，b，c)表a，b，c三數(shù)的最大公約數(shù)． 設給定兩個型{a1，b1，c1}與{a2，b2，c2}，其變量分別為x，y及u，v．若有一個整系數(shù)變換 使{a1，b1，c1}變?yōu)閧a2，b2，c2}，則稱它們是相似型．易證相似是二次型的一種等價關系．利用它可將判別式為d的所有本原二次型分成兩兩不相交的等價類．用h(d)表示把判別式d的本原二次型所分成的等價類的個數(shù)．容易證明，對每個判別式d，h(d)皆有限． 對判別式為-d＜0的正定型，F(xiàn)．高斯(Gauss)在其所著《算術研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一書第302篇中不加證明地給出一個漸近公式 1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)與F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一項(參見P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析數(shù)論》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他們的方法均未能得到第二項主項． 1917年，維諾格拉多夫給出了研究算術函數(shù)漸近表示中余項估計這一難題的一個新方法，它比Г．沃羅諾伊于1903年提出的方法簡單，且能獲得幾乎相同的結果．維諾格拉多夫新方法的重點在于如下的所謂“第一基本公式”： 設k≥1，A＞29，R＞Q皆為實數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[Q，R]中二階可微且滿足 則有 其中｛y｝表示實數(shù)y的小數(shù)部分，而 由此并利用上述李普希茨文章中的一個恒等式 即證得(8)式，并得到 R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13) 其中μ(m)為麥比烏斯(M bius)函數(shù)，F(xiàn)(m)為滿足某些不等式組的整值解組數(shù)．1963年他得到 R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14) 這一紀錄至今未被打破． 維諾格拉多夫的第一基本公式可以解釋成為關于由 x=Q，x=R，y=f(x)，y=0 所圍成的平面區(qū)域內的整點個數(shù)的一個命題．1925年V．雅尼克(Jarnik)證明了，(11)已是基本上最好可能的結果．由是可知，維諾格拉多夫方法可用于處理域內整點問題．設p(x)表示落在球 u2＋v2+w2≤x 中的整點個數(shù)．1963年維諾格拉多夫證明了 這仍是目前已知最好的結果． 華林問題 1770年，E．華林(Waring)在《代數(shù)沉思錄》(Meditationesalgebraicae)第204—205頁上發(fā)表了如下的猜想： 每個自然數(shù)皆可表為四個整數(shù)的平方和，皆可表為九個非負整數(shù)的立方和，皆可表為十九個整數(shù)的四次方之和，等等． 綜觀其言，他實質上提出了如下的問題：對每個給定的整數(shù)k≥2，是否存在一個只與k有關的正整數(shù)s=s(k)，使每個正整數(shù)皆可表為至多s個非負整數(shù)的k次方之和？求最小正整數(shù)s(k)=g(k)，使每個正整數(shù)皆可表為g(k)個非負整數(shù)的k次方之和，此即著名的關于g(k)的華林問題．若不要求這種表示對每個正整數(shù)成立，改為要求對充分大的正整數(shù)皆成立，又以G(k)表示滿足這種要求的最小的s(k)，估計G(k)的上界即著名的關于G(k)的華林問題． 1909年，D．希爾伯特(Hilbert)首次用多重積分證明了A．胡爾維茨(Hurwitz)提出而未能證明的一個恒等式，由此即得：對形如k=2c的冪k，華林問題中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可對一般性的k證明s(k)的存在性．但希爾伯特方法所得s(k)之數(shù)值太大，方法也相當復雜，在近代數(shù)論的發(fā)展中沒有找到進一步的應用． 1920—1928年間，G．H．哈代(Hardy)與J．E．李特伍德(Littlewood)在總標題為“‘Partitio numerorum’的若干問題”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇論文中，系統(tǒng)地開創(chuàng)并發(fā)展了解析數(shù)論中一個新方法，此即當今著稱的哈代與李特伍德的圓法．而在哈代與S．拉馬努金(Ramanujan)1918年發(fā)表的一篇論文中已經有了圓法的思想． 1924年，維諾格拉多夫對希爾伯特關于華林問題的結果給出一個新證明，它相當初等，只用到傅里葉(Fourier)級數(shù)及外爾(Weyl)估計三角和的方法，而沒有用圓法．E．蘭道(Landau)在《數(shù)論導引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，維諾格拉多夫的方法可用于求g(k)的相當滿意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)與S．S．皮萊(Pillai)相互獨立地得到g(k)問題近乎最后的解決，其中證明的關鍵部分有賴于對維諾格拉多夫方法的應用． 在哈代與李特伍德上述系列文章的Ⅳ中證明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表為s個k次方之和的表法數(shù)，則對充分大的n有 其中 (n)大于某個正常數(shù)．由是他們首次得出顯式上界 G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17) 在1925年發(fā)表的Ⅵ中，他們糾正了上文中一個引理證明中的錯誤并得到：對k≥4有 G(k)≤(k-2)2k-2+k+5 他們的方法是考慮無限和 及其s次冪 由柯西積分公式有 C是以原點為圓心，半徑為ρ(0＜ρ＜1)的圓周，他們在s≥s0(k)且n充分大時找到一種漸近計算積分(19)的方法． 1928年，維諾格拉多夫改為考慮有限和 及其s次冪 這里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表為s個不超過N的非負整數(shù)k次冪和的表法個數(shù)．易見 由此他也導出了(16)，并證明了(17)．這大大簡化了哈代與李特伍德的方法，也為解決數(shù)論中各種困難的問題開辟了一條更為廣闊的道路．此后，他多次回到這一問題．他關于漸近公式成立時G(k)上界的最后結果是 G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23) 如果放棄漸近公式(16)而只證Rs(n)＞0，則可得到G(k)的好得多的上界．1934年，維諾格拉多夫第一個獲得階為klnk的上界 G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24) 顯然可證有 G(k)＞k， (25) 故(24)中的階klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：對k＞170000有 G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26) 并且得到 1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法證明了，對k≥4000有 G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28) 這是目前G(k)上界的最好結果．對較小的k，更好的結果請見所列文獻及專著． 哥德巴赫猜想 1742年，德國數(shù)學家C．哥德巴赫(Goldbach)在與L．歐拉(Euler)的幾次通信中提出了整數(shù)表為素數(shù)和的兩個猜想，用現(xiàn)代語言來說，就是： (A)每個≥6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和， (B)每個≥9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和． 這就是當今著稱的哥德巴赫猜想，(A)通常稱為關于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，(B)稱為關于奇數(shù)的哥德巴赫猜想．直到1900年希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學家大會上的著名演講發(fā)表之前，有關這個猜想的研究尚未取得任何實質性的進展． 哈代與李特伍德在他們上述系列論文的Ⅲ與Ⅴ(發(fā)表于1923年)中，用圓法對哥德巴赫猜想進行了研究．鑒于圓法與維諾格拉多夫方法對哥德巴赫猜想的主要貢獻在于解決了猜想(B)，而對猜想(A)只能得到“幾乎全體偶數(shù)皆可表為二奇素數(shù)之和”這樣的結果，本文中只對涉及猜想(B)的結果加以討論． 在Ⅲ中，哈代與李特伍德考慮了函數(shù) 及其r次冪 這里 于是 這里C1是以原點為中心、半徑為e-1/n的圓周．與前類似地將積分(32)分成主項與余項，他們在余項的估計中遇到對狄利克雷L函數(shù)的零點分布缺乏了解這一重大困難．不得已假設下面的猜想(R)成立： 點皆位于半平面Rez≤θ中． 在此假設下，他們證明了：充分大的奇數(shù)n表為三個奇素數(shù)之和的表法個數(shù)N3(n)有漸近式 其中 特別地，當(R)成立時，每個充分大的奇數(shù)n皆可表為三個奇素數(shù)之和． 維諾格拉多夫在他于1937年發(fā)表的著名論文中改為考慮過素數(shù)值求和的有限三角和 用In記n表為三個奇素數(shù)和的表法個數(shù)，則與(22)式同法有 適當將[0，1]劃分成基本區(qū)間(也稱優(yōu)弧)與余區(qū)間(也稱劣弧)兩部分，相應的積分分別記為In(1)與In(2)． 對In(1)用西格爾(Siegel)-瓦爾菲茨(Walfisz)定理不難給出其主項及余項估計．為估計In(2)，維諾格拉多夫對形如(35)的素變數(shù)三角和給出了非平凡的上界估計，從而不用任何假設證明了：存在常數(shù)B0(現(xiàn)在稱為維諾格拉多夫常數(shù))，每個奇數(shù)n≥B0皆可表為三個奇素數(shù)之和． 應用上面的證法，常數(shù)B0無法算出來，這是因為上面證明中用到的西格爾-瓦爾菲茨定理中涉及的常數(shù)不能有效地算出．為具體求出B0的上界，可用較弱的佩奇(Page)定理代替西格爾-瓦爾菲茨定理．1956年，K．Г．博羅茲德基求得 B0≤exp(exp16.038)， (37) 這個值現(xiàn)在完全可以得到較大的改進． 同年，維諾格拉多夫對形如 的更一般的素變數(shù)三角和得到非平凡的上界估計，這里f(x)為實系數(shù)多項式．特別當f(x)=xk時他對華林-哥德巴赫問題得到如下結果： lnk+lnlnk+5)]，則n→∞時有 有關其他形狀的素變數(shù)三角和估計及應用請見所列專著及文獻． 模1一致分布 先考慮一個簡單問題．設θ為一個實數(shù)，對任意給定的自然數(shù)N，考慮區(qū)間[0，1)中如下N+1個實數(shù) 0，｛θ｝，…，｛Nθ｝． 如果將［0，1)等分成N個長為1／N的子區(qū)間，則至少有兩個整數(shù)a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}與{bθ}在同一子區(qū)間中，即 |｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N． 定義k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，則有一對整數(shù)h，k，0＜k≤N，使 |kθ—h|＜1／N≤1／k， 事實上可以要求(h，k)=1，又在θ為無理數(shù)時，滿足上述要求的數(shù)對h，k有無窮多對．完全類似地可證下述命題：設θ為無理數(shù)，a為任一實數(shù)，則有無窮多對整數(shù)hn，kn(kn＞0)使 |θkn-hn-a|＜3／kn． 由此立即推出，［0，1)中每一點都是點集｛mθ｝(m=1，2，…)的極限點．那么，點集{mθ}在(0，1)中是否“均勻分布”呢？為了使“均勻分布”意義明確，我們給出如下的定義：設ω=(xn)，n=1，2，…是一個給定的實數(shù)列，我們稱ω是模1一致分布的，如果對每對實數(shù)a，b，0≤a＜b≤1有 這里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小數(shù)部分{xn}落在［a，b)中的項的個數(shù)． 對如何判別一致分布(modl)，有如下重要的韋爾判別法：數(shù)列(xn)，n=1，2，…為一致分布(modl)的充分必要條件是，對所有整數(shù)h≠0有 因此，能否對形如 的三角和給出適當?shù)墓烙?，是判別數(shù)列是否一致分布的關鍵．在某些重要而又困難的情形，維諾格拉多夫方法是解決這一關鍵困難的基本工具． 設a為一給定無理數(shù)，定義 xn=apn，n=1，2，…， 這里pn表示第n個素數(shù)，則由維諾格拉多夫估計(35)型和的方法易得 故由韋爾判別法立即證得(apn)是一致分布的．完全類似地可證：數(shù)列(f(pn))，n=1，2，…為一致分布(modl)，這里f(x)是首項系數(shù)為無理數(shù)的實系數(shù)多項式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假設GRH為真的條件下證明了(apn)的一致分布性． 帶誤差項的素數(shù)定理 令π(x)表示不超過x的素數(shù)個數(shù)，尋求它當x充分大時的漸近表示是19世紀近百年中數(shù)學家們的一項中心任務．1848—1850年，俄國數(shù)學家п．л．切比雪夫首開紀錄，證得 1859年，黎曼在其著名論文中用新的解析方法揭示出ζ函數(shù)與素數(shù)分布之間的深刻聯(lián)系．1896年，J．阿達瑪(Hadamard)與C．J．德拉瓦萊-普桑(de la Vallée Poussin)相互獨立地證明了素數(shù)定理： 這等價于 此后，數(shù)學家們一直致力于求π(x)-lix的最佳誤差．1901年，H．馮·科克(Koch)在黎曼猜想成立的假設下證明了有 熟知，只要對ζ函數(shù)在σ=1附近的值給出適當?shù)墓烙?，就可以得出?s)無零點區(qū)域的對應結果，從而給出π(x)-lix的相應估計．而在估計ζ函數(shù)鄰近σ=1的階時，維諾格拉多夫的三角和方法是相當有效的．1958年，維諾格拉多夫與H．М．科羅博夫相互獨立地得到 (a＞0，ε＞0為任意給定的實數(shù))，相應的ζ函數(shù)無零點區(qū)域為 這些都是迄今已知最好的結果． 本橋洋一(本橋洋一， Motohashi Yoichi)曾用篩法對形如 的無零點區(qū)域給出一個初等證明，而蒙哥馬利則用另外的方法給出(46)的另一證明，這些請見他們各自的專著． 主要著作評介及對中國數(shù)論界的影響 維諾格拉多夫一生發(fā)表過一百多篇論文，出版過四部專著及兩部選集．他的四部專著中，影響最大的是其中的三部：《數(shù)論基礎》，以下簡稱《基礎》；《數(shù)論中的三角和方法》，以下簡稱《方法》；《三角和方法的特殊變體》，以下簡稱《變體》． 《基礎》一書初版于1936年，先后譯成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波蘭文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多種文字．1952年由上海商務印書館初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，譯者裘光明．我國著名數(shù)學家、中國科學院數(shù)學研究所第一任所長華羅庚教授為中譯本撰寫了指導性的介紹，題為“介紹《數(shù)論基礎》”，對書的內容、習題及維諾格拉多夫的研究成果，給了極高的評價． 《基礎》一書共分六章，介紹了初等數(shù)論的一些基本內容．每章后習題分兩部分，計算題強調了計算技巧的訓練；而通過理論性的習題向讀者介紹了許多著名的數(shù)論問題，如：有理數(shù)逼近實數(shù)，切比雪夫不等式，圓內整點問題，狄利克雷除數(shù)問題，V．布龍(Brun)篩法，三角和估計，函數(shù)值的分數(shù)部分的估計，佩爾(Pell)方程，波利亞-維諾格拉多夫不等式，剩余與非剩余的分布等．使初學者也能對近代解析數(shù)論的一些問題與方法，特別是維諾格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失為一本好的參考書． 《方法》一書是維諾格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我國《數(shù)學進展》1卷1期上印行了中文譯本，譯者越民義．由于維諾格拉多夫在其科學研究最初十年中的重要成就，蘭道在他的前述專著中曾專辟一章對他的方法加以介紹．此后出版的許多重要數(shù)論專著中都有關于維諾格拉多夫方法的專門介紹． 在《方法》一書的引言中，維諾格拉多夫介紹了他本人自1934年以來所創(chuàng)立的三角和方法的要旨、應用及歷史．他指出，這一方法的最基本結論是形如 的積分之估計，此即著名的維諾格拉多夫中值定理，這里 而f(x)=anxn+…+a1x 為實系數(shù)多項式．目前估計I上界的最滿意的方法系由卡拉楚巴于1965年給出的，這方面的理論已推廣到多重三角和中，這些發(fā)展均基于卡拉楚巴1962—1966年間提出的一種新的p-adic形式的維諾格拉多夫方法(參見《斯捷克洛夫數(shù)學研究所著作集》英譯本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))． 維諾格拉多夫方法的關鍵技巧在于對形如 的雙重三角和給出非平凡估計，這里ξ(x)，η(y)是任意的復值函數(shù)，a為實數(shù)且 由柯西不等式有 右方的二重和可按幾何級數(shù)來計算，由此可得W的適當估計．當然，如何把一個數(shù)論問題與一個恰當?shù)亩厝呛吐?lián)系起來，這是需要相當技巧的．在該書中作者對其方法的基本工具、技巧及在華林問題、多項式值的分數(shù)部分之分布、華林-哥德巴赫問題中的應用作了較詳盡的介紹． 《變體》一書出版于1976年，它與《方法》的不同之處在于，《變體》討論的是其方法的較為簡單的變體(指不需要均值定理為基礎)所涉及的一些應用，如球內整點問題，G(k)上界估計，哥德巴赫奇數(shù)猜想及若干特殊的素變數(shù)三角和估計等，最后一章給出他的方法的某種初等形式(不用無窮小作工具)及若干應用． 維諾格拉多夫方法及其著作對中國及世界數(shù)學界產生了重大影響．華羅庚教授三十年代起的許多研究工作都受到維諾格拉多夫方法的深刻影響．1941年，華羅庚教授將自己對維諾格拉多夫方法的研究成果寫成《堆壘素數(shù)論》一書，寄交蘇聯(lián)斯捷克洛夫數(shù)學研究所作為?？l(fā)表，得到維諾格拉多夫院士的贊賞和支持．時因二次大戰(zhàn)，該書俄文版推遲到1946年才正式出版．維諾格拉多夫院士還邀請華羅庚教授訪問了蘇聯(lián)．華羅庚教授在數(shù)學研究所培養(yǎng)的第一批研究人材中，就有相當數(shù)量的人深入學習過維諾格拉多夫方法，并在后來的研究工作中反復運用這一方法取得過出色的成就． 1988年夏天在北京舉行的“紀念華羅庚數(shù)論與分析國際會議”，就有卡拉楚巴等維諾格拉多夫學派傳人參加．這對加強中蘇兩國間的學術交流，恢復并發(fā)展由維諾格拉多夫與華羅庚所建立的兩國數(shù)學界(尤其是數(shù)論學界)的傳統(tǒng)友誼，將起到良好的作用． |
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