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最近復(fù)習(xí)矩陣論中，又是一堆定理和證明 突然發(fā)現(xiàn)學(xué)了這么常時(shí)間的矩陣論、線(xiàn)性代數(shù)，記住的只是一堆莫名其妙的定理而已，一些本質(zhì)的東西都沒(méi)有搞清楚。 比如，為什么要有矩陣，它僅僅是一堆數(shù)的組合嗎，集合也是數(shù)的組合，為什么不能代替矩陣？ 特征值和特征向量的含義是什么？描述的是什么“特征”？ 矩陣乘法的含義是什么？ 相似變換的“相似”體現(xiàn)在哪？ 行列式代表了什么含義？為什么會(huì)有這么“怪異”的運(yùn)算規(guī)則？ 下面3篇文章是網(wǎng)上找的，覺(jué)得講的比較清楚易懂~~~~~ 1：理解矩陣 http://blog.csdn.net/is01sjjj/archive/2008/09/03/2874132.aspx 2：特征向量的幾何含義 http://blog.csdn.net/lfkupc/archive/2009/09/17/4561564.aspx 順便補(bǔ)上自己的理解， 特征向量的定義是 Ax =λx，A是線(xiàn)性映射在一組基下的表示。 左邊：Ax即為對(duì)x做線(xiàn)性變換 右邊：λx可以理解為不改變x的方向（不包括另其反向），只對(duì)x做一定的拉伸，拉伸倍數(shù)為λ；也可以理解為最簡(jiǎn)單的線(xiàn)性變換：數(shù)乘變換 綜上：特征向量λ是這么一組（*不是一個(gè)）特殊的向量，它們?cè)诰€(xiàn)性變換A的作用下可以不改變方向，只改變長(zhǎng)度 所謂的“特征”，我的理解是： 因?yàn)樘卣飨蛄坑泻芎玫男再|(zhì)——在線(xiàn)性變換下不改變方向，這樣就可以做為一組參考系（也可以理解為坐標(biāo)系），用這組參考系去刻畫(huà)別的向量在 這個(gè)線(xiàn)性變換下 所發(fā)生的變化，即可以用這組向量線(xiàn)性表示。 這種作用在數(shù)學(xué)上即表示為譜定律—— 譜定律：一個(gè)線(xiàn)性變換（用矩陣乘法表示）可表示為它的所有的特征向量的一個(gè)線(xiàn)性組合，其中的線(xiàn)性系數(shù)就是每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)的特征值，即以下公式： 再進(jìn)一步說(shuō)，“變換”可以理解為一種運(yùn)動(dòng)——一個(gè)點(diǎn)變到另一個(gè)點(diǎn)，而 “運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的”，需要有參照系。而特征向量就這組參照系 3：維基百科上的， http://zh./zh/??1??????é?? http://zh./zh-cn/è???????? ------------------------------------------------------------------------------- 一、理解矩陣一、二, 三（轉(zhuǎn)自孟巖blog） （一） 前不久chensh出于不可告人的目的，要充當(dāng)老師，教別人線(xiàn)性代數(shù)。于是我被揪住就線(xiàn)性代數(shù)中一些務(wù)虛性的問(wèn)題與他討論了幾次。很明顯，chensh覺(jué)得，要讓自己在講線(xiàn)性代數(shù)的時(shí)候不被那位強(qiáng)勢(shì)的學(xué)生認(rèn)為是神經(jīng)病，還是比較難的事情。 可憐的chensh，誰(shuí)讓你趟這個(gè)地雷陣？！色令智昏??！ 線(xiàn)性代數(shù)課程，無(wú)論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開(kāi)始就充斥著莫名其妙。比如說(shuō)，在全國(guó)一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線(xiàn)性代數(shù)教材 （現(xiàn)在到了第四版），一上來(lái)就介紹逆序數(shù)這個(gè)“前無(wú)古人，后無(wú)來(lái)者”的古怪概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義，接著是一些簡(jiǎn)直犯傻的行列 式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過(guò)來(lái)，折騰得那叫一個(gè)熱鬧，可就是壓根看不出這個(gè)東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平庸的學(xué)生 到這里就有點(diǎn)犯暈：連這是個(gè)什么東西都模模糊糊的，就開(kāi)始鉆火圈表演了，這未免太“無(wú)厘頭”了吧！于是開(kāi)始有人逃課，更多的人開(kāi)始抄作業(yè)。這下就中招了， 因?yàn)槠浜蟮陌l(fā)展可以用一句峰回路轉(zhuǎn)來(lái)形容，緊跟著這個(gè)無(wú)厘頭的行列式的，是一個(gè)同樣無(wú)厘頭但是偉大的無(wú)以復(fù)加的家伙的出場(chǎng)——矩陣來(lái)了！多年之后，我才明 白，當(dāng)老師犯傻似地用中括號(hào)把一堆傻了吧嘰的數(shù)括起來(lái)，并且不緊不慢地說(shuō)：“這個(gè)東西叫做矩陣”的時(shí)候，我的數(shù)學(xué)生涯掀開(kāi)了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一 幕！自那以后，在幾乎所有跟“學(xué)問(wèn)”二字稍微沾點(diǎn)邊的東西里，矩陣這個(gè)家伙從不缺席。對(duì)于我這個(gè)沒(méi)能一次搞定線(xiàn)性代數(shù)的笨蛋來(lái)說(shuō)，矩陣?yán)洗蟮牟徽?qǐng)自來(lái)每每 搞得我灰頭土臉，頭破血流。長(zhǎng)期以來(lái)，我在閱讀中一見(jiàn)矩陣，就如同阿Q見(jiàn)到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。 事實(shí)上，我并不是特例。一般工科學(xué)生初學(xué)線(xiàn)性代數(shù)，通常都會(huì)感到困難。這種情形在國(guó)內(nèi)外皆然。瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說(shuō)：“如果不熟悉線(xiàn)性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多?！保欢鞍凑宅F(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線(xiàn)性代數(shù)是通過(guò)公 理化來(lái)表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，...，這就帶來(lái)了教學(xué)上的困難?！笔聦?shí)上，當(dāng)我們開(kāi)始學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的時(shí)候，不知不覺(jué)就進(jìn)入了“第二代數(shù)學(xué)模型”的范 疇當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進(jìn)化，對(duì)于從小一直在“第一代數(shù)學(xué)模型”，即以實(shí)用為導(dǎo)向的、具體的數(shù)學(xué)模型中學(xué)習(xí)的我們來(lái)說(shuō)，在 沒(méi)有并明確告知的情況下進(jìn)行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的。 大部分工科學(xué)生，往往是在學(xué)習(xí)了一些后繼課程，如數(shù)值分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、矩陣論之后，才逐漸能夠理解和熟練運(yùn)用線(xiàn)性代數(shù)。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線(xiàn)性代數(shù)為工具進(jìn)行科研和應(yīng)用工作，但對(duì)于很多這門(mén)課程的初學(xué)者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問(wèn)題卻并不清楚。比如說(shuō)： * 矩陣究竟是什么東西？向量可以被認(rèn)為是具有n個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對(duì)象的表示，矩陣又是什么呢？我們?nèi)绻J(rèn)為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復(fù)合 向量的展開(kāi)式，那么為什么這種展開(kāi)式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是，為什么偏偏二維的展開(kāi)式如此有用？如果矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么我們?cè)僬归_(kāi)一 次，變成三維的立方陣，是不是更有用？ * 矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問(wèn)題，最后竟然都?xì)w結(jié) 到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律？如果是的話(huà)，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？ * 行列式究竟是一個(gè)什么東西？為什么會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)則？行列式與其對(duì)應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？為什么只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式，而一般矩陣就沒(méi)有（不 要覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很蠢，如果必要，針對(duì)m x n矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因?yàn)闆](méi)有這個(gè)必要，但是為什么沒(méi)有這個(gè)必要）？而且，行列式的計(jì)算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)則都沒(méi)有 直觀的聯(lián)系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)？難道這一切僅是巧合？ * 矩陣為什么可以分塊計(jì)算？分塊計(jì)算這件事情看上去是那么隨意，為什么竟是可行的？ * 對(duì)于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算AT，有(AB)T = BTAT，對(duì)于矩陣求逆運(yùn)算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。兩個(gè)看上去完全沒(méi)有什么關(guān)系的運(yùn)算，為什么有著類(lèi)似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？ * 為什么說(shuō)P-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？ * 特征值和特征向量的本質(zhì)是什么？它們定義就讓人很驚訝，因?yàn)锳x =λx，一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過(guò)相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)λ，確實(shí)有點(diǎn)奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來(lái)界定？它們刻劃的究竟是什么？ 這樣的一類(lèi)問(wèn)題，經(jīng)常讓使用線(xiàn)性代數(shù)已經(jīng)很多年的人都感到為難。就好像大人面對(duì)小孩子的刨根問(wèn)底，最后總會(huì)迫不得已地說(shuō)“就這樣吧，到此為止”一 樣，面對(duì)這樣的問(wèn)題，很多老手們最后也只能用：“就是這么規(guī)定的，你接受并且記住就好”來(lái)搪塞。然而，這樣的問(wèn)題如果不能獲得回答，線(xiàn)性代數(shù)對(duì)于我們來(lái)說(shuō) 就是一個(gè)粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規(guī)則集合，我們會(huì)感到，自己并不是在學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)問(wèn)，而是被不由分說(shuō)地“拋到”一個(gè)強(qiáng)制的世界中，只是在考試的皮鞭 揮舞之下被迫趕路，全然無(wú)法領(lǐng)略其中的美妙、和諧與統(tǒng)一。直到多年以后，我們已經(jīng)發(fā)覺(jué)這門(mén)學(xué)問(wèn)如此的有用，卻仍然會(huì)非常迷惑：怎么這么湊巧？ 我認(rèn)為，這是我們的線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)中直覺(jué)性喪失的后果。上述這些涉及到“如何能”、“怎么會(huì)”的問(wèn)題，僅僅通過(guò)純粹的數(shù)學(xué)證明來(lái)回答，是不能令提問(wèn)者 滿(mǎn)意的。比如，如果你通過(guò)一般的證明方法論證了矩陣分塊運(yùn)算確實(shí)可行，那么這并不能夠讓提問(wèn)者的疑惑得到解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運(yùn)算為什么竟然 是可行的？究竟只是湊巧，還是說(shuō)這是由矩陣這種對(duì)象的某種本質(zhì)所必然決定的？如果是后者，那么矩陣的這些本質(zhì)是什么？只要對(duì)上述那些問(wèn)題稍加考慮，我們就 會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有這些問(wèn)題都不是單純依靠數(shù)學(xué)證明所能夠解決的。像我們的教科書(shū)那樣，凡事用數(shù)學(xué)證明，最后培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生，只能熟練地使用工具，卻欠缺真正意 義上的理解。 自從1930年代法國(guó)布爾巴基學(xué)派興起以來(lái)，數(shù)學(xué)的公理化、系統(tǒng)性描述已經(jīng)獲得巨大的成功，這使得我們接受的數(shù)學(xué)教育在嚴(yán)謹(jǐn)性上大大提高。然而數(shù)學(xué) 公理化的一個(gè)備受爭(zhēng)議的副作用，就是一般數(shù)學(xué)教育中直覺(jué)性的喪失。數(shù)學(xué)家們似乎認(rèn)為直覺(jué)性與抽象性是矛盾的，因此毫不猶豫地犧牲掉前者。然而包括我本人在 內(nèi)的很多人都對(duì)此表示懷疑，我們不認(rèn)為直覺(jué)性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數(shù)學(xué)教育中和數(shù)學(xué)教材中，幫助學(xué)生建立直覺(jué)，有助于它們理解那些抽象的概念， 進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。反之，如果一味注重形式上的嚴(yán)格性，學(xué)生就好像被迫進(jìn)行鉆火圈表演的小白鼠一樣，變成枯燥的規(guī)則的奴隸。 對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)的類(lèi)似上述所提到的一些直覺(jué)性的問(wèn)題，兩年多來(lái)我斷斷續(xù)續(xù)地反復(fù)思考了四、五次，為此閱讀了好幾本國(guó)內(nèi)外線(xiàn)性代數(shù)、數(shù)值分析、代數(shù)和數(shù) 學(xué)通論性書(shū)籍，其中像前蘇聯(lián)的名著《數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義》、龔昇教授的《線(xiàn)性代數(shù)五講》、前面提到的Encounter with Mathematics（《數(shù)學(xué)概觀》）以及Thomas A. Garrity的《數(shù)學(xué)拾遺》都給我很大的啟發(fā)。不過(guò)即使如此，我對(duì)這個(gè)主題的認(rèn)識(shí)也經(jīng)歷了好幾次自我否定。比如以前思考的一些結(jié)論曾經(jīng)寫(xiě)在自己的 blog里，但是現(xiàn)在看來(lái)，這些結(jié)論基本上都是錯(cuò)誤的。因此打算把自己現(xiàn)在的有關(guān)理解比較完整地記錄下來(lái)，一方面是因?yàn)槲矣X(jué)得現(xiàn)在的理解比較成熟了，可以 拿出來(lái)與別人探討，向別人請(qǐng)教。另一方面，如果以后再有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，把現(xiàn)在的理解給推翻了，那現(xiàn)在寫(xiě)的這個(gè)snapshot也是很有意義的。 因?yàn)榇蛩銓?xiě)得比較多，所以會(huì)分幾次慢慢寫(xiě)。也不知道是不是有時(shí)間慢慢寫(xiě)完整，會(huì)不會(huì)中斷，寫(xiě)著看吧。 -------------------------------------------------------------------------- 今天先談?wù)剬?duì)線(xiàn)形空間和矩陣的幾個(gè)核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫(xiě)出來(lái)的，基本上不抄書(shū)，可能有錯(cuò)誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺(jué)，也就是說(shuō)能把數(shù)學(xué)背后說(shuō)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題說(shuō)出來(lái)。 首先說(shuō)說(shuō)空間(space)，這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓?fù)淇臻g開(kāi)始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線(xiàn)形空間其實(shí)還是比較初級(jí) 的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線(xiàn)性空間。賦范線(xiàn)性空間滿(mǎn)足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線(xiàn)性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿(mǎn)足完 備性，就得到希爾伯特空間。 總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義某某概念，然后滿(mǎn)足某些性質(zhì)”，就可以被稱(chēng)為空間。這未免有點(diǎn)奇怪，為什么要用“空間”來(lái)稱(chēng)呼一些這樣的集合呢？大家將會(huì)看到，其實(shí)這是很有道理的。 我們一般人最熟悉的空間，毫無(wú)疑問(wèn)就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，我們先不管 那么多，先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。仔細(xì)想想我們就會(huì)知道，這個(gè)三維的空間：1. 由很多（實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成；2. 這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系；3. 可以在空間中定義長(zhǎng)度、角度；4. 這個(gè)空間可以容納運(yùn)動(dòng)，這里我們所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)， 上面的這些性質(zhì)中，最最關(guān)鍵的是第4條。第1、2條只能說(shuō)是空間的基礎(chǔ)，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，都得有一個(gè)集合，大多數(shù)還得在這 個(gè)集合上定義一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并不是說(shuō)有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關(guān)鍵的性質(zhì)。只有第4條是空間的本質(zhì)，也就是 說(shuō)，容納運(yùn)動(dòng)是空間的本質(zhì)特征。 認(rèn)識(shí)到了這些，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到其他的空間。事實(shí)上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（變 換）。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會(huì)存在一種相對(duì)應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線(xiàn)性空間中有線(xiàn)性變換，仿射空間中有仿射變換，其實(shí)這些變換都只不 過(guò)是對(duì)應(yīng)空間中允許的運(yùn)動(dòng)形式而已。 因此只要知道，“空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。 下面我們來(lái)看看線(xiàn)性空間。線(xiàn)性空間的定義任何一本書(shū)上都有，但是既然我們承認(rèn)線(xiàn)性空間是個(gè)空間，那么有兩個(gè)最基本的問(wèn)題必須首先得到解決，那就是： 1. 空間是一個(gè)對(duì)象集合，線(xiàn)性空間也是空間，所以也是一個(gè)對(duì)象集合。那么線(xiàn)性空間是什么樣的對(duì)象的集合？或者說(shuō)，線(xiàn)性空間中的對(duì)象有什么共同點(diǎn)嗎？ 2. 線(xiàn)性空間中的運(yùn)動(dòng)如何表述的？也就是，線(xiàn)性變換是如何表示的？ 我們先來(lái)回答第一個(gè)問(wèn)題，回答這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候其實(shí)是不用拐彎抹角的，可以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案。線(xiàn)性空間中的任何一個(gè)對(duì)象，通過(guò)選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式。通常的向量空間我就不說(shuō)了，舉兩個(gè)不那么平凡的例子： L1. 最高次項(xiàng)不大于n次的多項(xiàng)式的全體構(gòu)成一個(gè)線(xiàn)性空間，也就是說(shuō)，這個(gè)線(xiàn)性空間中的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式。如果我們以x0, x1, ..., xn為基，那么任何一個(gè)這樣的多項(xiàng)式都可以表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每一個(gè)分量ai其實(shí)就是多項(xiàng)式中x(i-1)項(xiàng)的系數(shù)。值得說(shuō)明的是，基的選取 有多種辦法，只要所選取的那一組基線(xiàn)性無(wú)關(guān)就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說(shuō)，提一下而已。 L2. 閉區(qū)間[a, b]上的n階連續(xù)可微函數(shù)的全體，構(gòu)成一個(gè)線(xiàn)性空間。也就是說(shuō)，這個(gè)線(xiàn)性空間的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。對(duì)于其中任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)，根據(jù)魏爾斯特拉斯定 理，一定可以找到最高次項(xiàng)不大于n的多項(xiàng)式函數(shù)，使之與該連續(xù)函數(shù)的差為0，也就是說(shuō)，完全相等。這樣就把問(wèn)題歸結(jié)為L(zhǎng)1了。后面就不用再重復(fù)了。 所以說(shuō)，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線(xiàn)性空間里任何一個(gè)對(duì)象。這里頭大有文章，因?yàn)橄蛄勘砻嫔现皇且涣袛?shù)，但是其實(shí)由于它 的有序性，所以除了這些數(shù)本身攜帶的信息之外，還可以在每個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)位置上攜帶信息。為什么在程序設(shè)計(jì)中數(shù)組最簡(jiǎn)單，卻又威力無(wú)窮呢？根本原因就在于此。 這是另一個(gè)問(wèn)題了，這里就不說(shuō)了。 下面來(lái)回答第二個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的回答會(huì)涉及到線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)最根本的問(wèn)題。 線(xiàn)性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱(chēng)為線(xiàn)性變換。也就是說(shuō)，你從線(xiàn)性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)，都可以通過(guò)一個(gè)線(xiàn)性變化來(lái)完成。那么，線(xiàn)性變換如何 表示呢？很有意思，在線(xiàn)性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象，而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變 換）。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。 簡(jiǎn)而言之，在線(xiàn)性空間中選定基之后，向量刻畫(huà)對(duì)象，矩陣刻畫(huà)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng)。 是的，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。如果以后有人問(wèn)你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。（chensh，說(shuō)你呢！） 可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩陣嗎？這實(shí)在是很奇妙，一個(gè)空間中的對(duì)象和運(yùn)動(dòng)竟然可以用相類(lèi)同的方式表示。能說(shuō)這是巧合嗎？如果是巧合的話(huà)，那可真是幸運(yùn)的巧合！可以說(shuō)，線(xiàn)性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均與這個(gè)巧合有直接的關(guān)系。 接著理解矩陣。 上一篇里說(shuō)“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒(méi)什么意見(jiàn)。但是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來(lái)拍板轉(zhuǎn)。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)這個(gè)概念，在數(shù)學(xué)和 物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，總會(huì)有人照本宣科地告訴你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)， 是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話(huà)。但是真知道這句話(huà)說(shuō)的是什么意思的人，好像也不多。簡(jiǎn)而言之，在我們?nèi)祟?lèi)的經(jīng)驗(yàn)里，運(yùn)動(dòng)是一個(gè) 連續(xù)過(guò)程，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)間來(lái)逐點(diǎn)地經(jīng)過(guò)AB之間的路徑，這就帶來(lái)了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個(gè)事情，如果不定義極限的概 念，根本就解釋不了。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運(yùn)動(dòng)，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑不過(guò)烏龜?shù)人膫€(gè)悖 論）搞得死去活來(lái)。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的，所以我就不多說(shuō)了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫(xiě)的《重溫微積分》。我就是讀了這本書(shū)開(kāi)頭的部分， 才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話(huà)的道理。 不過(guò)在我這個(gè)《理解矩陣》的文章里，“運(yùn)動(dòng)”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個(gè)時(shí)刻在A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”，一下 子就“躍遷”到了B點(diǎn)，其中不需要經(jīng)過(guò)A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任何一個(gè)點(diǎn)。這樣的“運(yùn)動(dòng)”，或者說(shuō)“躍遷”，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)的。不過(guò)了解一點(diǎn)量子物理常識(shí) 的人，就會(huì)立刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級(jí)軌道上跳躍，就是瞬間發(fā)生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說(shuō)，自然界中并不是沒(méi)有這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，只不 過(guò)宏觀上我們觀察不到。但是不管怎么說(shuō)，“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞用在這里，還是容易產(chǎn)生歧義的，說(shuō)得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”。因此這句話(huà)可以改成： “矩陣是線(xiàn)性空間里躍遷的描述”。 可是這樣說(shuō)又太物理，也就是說(shuō)太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也就是說(shuō)不夠抽象。因此我們最后換用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)——變換，來(lái)描述這個(gè)事情。這樣一說(shuō)，大 家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實(shí)就是空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）到另一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）的躍遷。比如說(shuō)，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè) 點(diǎn)的躍遷。再比如說(shuō)，仿射變換，就是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。附帶說(shuō)一下，這個(gè)仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的朋友都知道， 盡管描述一個(gè)三維對(duì)象只需要三維向量，但所有的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是4 x 4的。說(shuō)其原因，很多書(shū)上都寫(xiě)著“為了使用中方便”，這在我看來(lái)簡(jiǎn)直就是企圖蒙混過(guò)關(guān)。真正的原因，是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實(shí)際上是在仿 射空間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量空間里相一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量，而現(xiàn)實(shí)世界等長(zhǎng)的兩個(gè)平行線(xiàn)段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個(gè)東 西，所以計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實(shí)際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠(yuǎn)了，有興趣的讀者可以去看《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)——幾何工具算法詳解》。 一旦我們理解了“變換”這個(gè)概念，矩陣的定義就變成： “矩陣是線(xiàn)性空間里的變換的描述?！?/font> 到這里為止，我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義。不過(guò)還要多說(shuō)幾句。教材上一般是這么說(shuō)的，在一個(gè)線(xiàn)性空間V里的一個(gè)線(xiàn)性變換T，當(dāng)選定一組 基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說(shuō)清楚到底什么是線(xiàn)性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線(xiàn)性變換的定義是很簡(jiǎn)單的，設(shè)有一種變換T，使得對(duì)于線(xiàn) 性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對(duì)象x和y，以及任意實(shí)數(shù)a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)， 定義都是這么寫(xiě)的，但是光看定義還得不到直覺(jué)的理解。線(xiàn)性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說(shuō)了，變換是從空間的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)，而線(xiàn)性 變換，就是從一個(gè)線(xiàn)性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線(xiàn)性空間W的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這句話(huà)里蘊(yùn)含著一層意思，就是說(shuō)一個(gè)點(diǎn)不僅可以變換到同一個(gè)線(xiàn)性空間中的 另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線(xiàn)性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。不管你怎么變，只要變換前后都是線(xiàn)性空間中的對(duì)象，這個(gè)變換就一定是線(xiàn)性變換，也就一定可以用一 個(gè)非奇異矩陣來(lái)描述。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換，一定是一個(gè)線(xiàn)性變換。有的人可能要問(wèn)，這里為什么要強(qiáng)調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對(duì)方陣有 意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個(gè)說(shuō)起來(lái)就會(huì)比較冗長(zhǎng)了，最后要把線(xiàn)性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線(xiàn)性變換的核與像等概念才能徹底講清 楚。我覺(jué)得這個(gè)不算是重點(diǎn)，如果確實(shí)有時(shí)間的話(huà)，以后寫(xiě)一點(diǎn)。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個(gè)線(xiàn)性空間之內(nèi)的線(xiàn)性變換。也就是說(shuō)， 下面所說(shuō)的矩陣，不作說(shuō)明的話(huà)，就是方陣，而且是非奇異方陣。學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)問(wèn)，最重要的是把握主干內(nèi)容，迅速建立對(duì)于這門(mén)學(xué)問(wèn)的整體概念，不必一開(kāi)始就考慮 所有的細(xì)枝末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳。 接著往下說(shuō)，什么是基呢？這個(gè)問(wèn)題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線(xiàn)性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來(lái)，“選定一組基”就是說(shuō)在線(xiàn)性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系。就這意思。 好，最后我們把矩陣的定義完善如下： “矩陣是線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線(xiàn)性空間中，只要我們選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線(xiàn)性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述。” 理解這句話(huà)的關(guān)鍵，在于把“線(xiàn)性變換”與“線(xiàn)性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開(kāi)。一個(gè)是那個(gè)對(duì)象，一個(gè)是對(duì)那個(gè)對(duì)象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨校粋€(gè)對(duì)象可以有多個(gè)引用，每個(gè)引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個(gè)對(duì)象。如果還不形象，那就干脆來(lái)個(gè)很俗的類(lèi)比。 比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機(jī)選定了一個(gè)鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個(gè)照片可以看成是這頭豬的一個(gè)描述，但只是 一個(gè)片面的的描述，因?yàn)閾Q一個(gè)鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個(gè)片面的描述。所有這樣照出來(lái)的照片都是這同一頭豬的描述， 但是又都不是這頭豬本身。 同樣的，對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來(lái)描述這個(gè)線(xiàn)性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線(xiàn)性變換的描述，但又都不是線(xiàn)性變換本身。 但是這樣的話(huà)，問(wèn)題就來(lái)了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線(xiàn)性變換呢？如果是同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見(jiàn)面不認(rèn)識(shí)，豈不成了笑話(huà)。 好在，我們可以找到同一個(gè)線(xiàn)性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那就是： 若矩陣A與B是同一個(gè)線(xiàn)性變換的兩個(gè)不同的描述（之所以會(huì)不同，是因?yàn)檫x定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系），則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣P，使得A、B之間滿(mǎn)足這樣的關(guān)系： A = P-1BP 線(xiàn)性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來(lái)，這就是相似矩陣的定義。沒(méi)錯(cuò)，所謂相似矩陣，就是同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同的描述矩陣。按照這個(gè)定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點(diǎn)，不過(guò)能讓人明白。 而在上面式子里那個(gè)矩陣P，其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。關(guān)于這個(gè)結(jié)論，可以用一種非常直覺(jué)的方法來(lái)證明（而不是一般教科書(shū)上那種形式上的證明），如果有時(shí)間的話(huà)，我以后在blog里補(bǔ)充這個(gè)證明。 這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了。原來(lái)一族相似矩陣都是同一個(gè)線(xiàn)性變換的描述??！難怪這么重要！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相 似變換，比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角化之類(lèi)的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個(gè)矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的，為什么這么要求？因?yàn)橹挥羞@樣要求，才能保證變 換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線(xiàn)性變換的。當(dāng)然，同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同矩陣描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來(lái)看并不是不分好環(huán)的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好 得多。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛。所以矩陣的相似變換可以把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述了同一個(gè) 線(xiàn)性變換。 這樣一來(lái)，矩陣作為線(xiàn)性變換描述的一面，基本上說(shuō)清楚了。但是，事情沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，或者說(shuō)，線(xiàn)性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作 為線(xiàn)性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線(xiàn)性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線(xiàn)性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系 （基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線(xiàn)性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容，線(xiàn)性代數(shù)里 很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺(jué)。 這個(gè)留在下一篇再寫(xiě)吧。 因?yàn)橛袆e的事情要做，下一篇可能要過(guò)幾天再寫(xiě)了。 （二） 接著理解矩陣。 上一篇里說(shuō)“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒(méi)什么意見(jiàn)。但是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來(lái)拍板 轉(zhuǎn)。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)這個(gè)概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，總會(huì)有人照本宣科地告訴你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài) 的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)，是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話(huà)。但是真知道這句話(huà)說(shuō)的是什么意思的人，好像也不多。簡(jiǎn)而言之， 在我們?nèi)祟?lèi)的經(jīng)驗(yàn)里，運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)過(guò)程，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)間來(lái)逐點(diǎn)地 經(jīng)過(guò)AB之間的路徑，這就帶來(lái)了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個(gè)事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是缺乏極限觀念，所以 解釋不了運(yùn)動(dòng)，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑不過(guò)烏龜?shù)人膫€(gè)悖論）搞得死去活來(lái)。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的，所以我就不多說(shuō)了。有 興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫(xiě)的《重溫微積分》。我就是讀了這本書(shū)開(kāi)頭的部分，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話(huà)的道理。 不過(guò)在我這個(gè)《理解矩陣》的文章里，“運(yùn)動(dòng)”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個(gè)時(shí)刻在A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”，一下子就“躍遷” 到了B點(diǎn)，其中不需要經(jīng)過(guò)A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任何一個(gè)點(diǎn)。這樣的“運(yùn)動(dòng)”，或者說(shuō)“躍遷”，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)的。不過(guò)了解一點(diǎn)量子物理常識(shí)的人，就會(huì)立 刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級(jí)軌道上跳躍，就是瞬間發(fā)生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說(shuō)，自然界中并不是沒(méi)有這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，只不過(guò)宏觀上我們 觀察不到。但是不管怎么說(shuō)，“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞用在這里，還是容易產(chǎn)生歧義的，說(shuō)得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”。因此這句話(huà)可以改成： “矩陣是線(xiàn)性空間里躍遷的描述”。 可是這樣說(shuō)又太物理，也就是說(shuō)太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也就是說(shuō)不夠抽象。因此我們最后換用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)——變換，來(lái)描述這個(gè)事情。這樣一說(shuō)，大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實(shí)就是空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）到另一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）的躍遷。 比如說(shuō)，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。再比如說(shuō)，仿射變換，就是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。附帶說(shuō)一下，這個(gè)仿射空 間跟向量空間是親兄弟。做計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的朋友都知道，盡管描述一個(gè)三維對(duì)象只需要三維向量，但所有的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是4 x 4的。說(shuō)其原因，很多書(shū)上都寫(xiě)著“為了使用中方便”，這在我看來(lái)簡(jiǎn)直就是企圖蒙混過(guò)關(guān)。真正的原因，是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實(shí)際上是在仿 射空間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量空間里相一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量，而現(xiàn)實(shí)世界等長(zhǎng)的兩個(gè)平行線(xiàn)段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個(gè)東 西，所以計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實(shí)際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠(yuǎn)了，有興趣的讀者可以去看《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)——幾何工具算法詳解》。 一旦我們理解了“變換”這個(gè)概念，矩陣的定義就變成： “矩陣是線(xiàn)性空間里的變換的描述?！?/font> 到這里為止，我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義。不過(guò)還要多說(shuō)幾句。教材上一般是這么說(shuō)的，在一個(gè)線(xiàn)性空間V 里的一個(gè)線(xiàn)性變換T，當(dāng)選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說(shuō)清楚到底什么是線(xiàn)性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線(xiàn)性變換的定義是很簡(jiǎn)單 的，設(shè)有一種變換T，使得對(duì)于線(xiàn)性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對(duì)象x和y，以及任意實(shí)數(shù)a和b，有： 定義都是這么寫(xiě)的，但是光看定義還得不到直覺(jué)的理解。線(xiàn)性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說(shuō)了，變換是從空間 的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)，而線(xiàn)性變換，就是從一個(gè)線(xiàn)性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線(xiàn)性空間W的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這句話(huà)里蘊(yùn)含著一層意思，就是說(shuō)一個(gè)點(diǎn)不 僅可以變換到同一個(gè)線(xiàn)性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線(xiàn)性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。不管你怎么變，只要變換前后都是線(xiàn)性空間中的對(duì)象，這個(gè)變換就一 定是線(xiàn)性變換，也就一定可以用一個(gè)非奇異矩陣來(lái)描述。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換，一定是一個(gè)線(xiàn)性變換。有的人可能要問(wèn)，這里為什么要強(qiáng)調(diào)非奇 異矩陣？所謂非奇異，只對(duì)方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個(gè)說(shuō)起來(lái)就會(huì)比較冗長(zhǎng)了，最后要把線(xiàn)性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線(xiàn)性 變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺(jué)得這個(gè)不算是重點(diǎn)，如果確實(shí)有時(shí)間的話(huà)，以后寫(xiě)一點(diǎn)。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換， 就是在同一個(gè)線(xiàn)性空間之內(nèi)的線(xiàn)性變換。也就是說(shuō)，下面所說(shuō)的矩陣，不作說(shuō)明的話(huà)，就是方陣，而且是非奇異方陣。學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)問(wèn)，最重要的是把握主干內(nèi)容，迅 速建立對(duì)于這門(mén)學(xué)問(wèn)的整體概念，不必一開(kāi)始就考慮所有的細(xì)枝末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳。 接著往下說(shuō)，什么是基呢？這個(gè)問(wèn)題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線(xiàn)性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來(lái)，“選定一組基”就是說(shuō)在線(xiàn)性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系。就這意思。 好，最后我們把矩陣的定義完善如下： “矩陣是線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線(xiàn)性空間中，只要我們選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線(xiàn)性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述。” 理解這句話(huà)的關(guān)鍵，在于把“線(xiàn)性變換”與“線(xiàn)性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開(kāi)。一個(gè)是那個(gè)對(duì)象，一個(gè)是對(duì)那個(gè)對(duì)象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨校粋€(gè)對(duì)象可以有多個(gè)引用，每個(gè)引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個(gè)對(duì)象。如果還不形象，那就干脆來(lái)個(gè)很俗的類(lèi)比。 比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機(jī)選定了一個(gè)鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個(gè)照片可以 看成是這頭豬的一個(gè)描述，但只是一個(gè)片面的的描述，因?yàn)閾Q一個(gè)鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個(gè)片面的描述。所有這樣照出 來(lái)的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本身。 同樣的，對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來(lái)描述這個(gè)線(xiàn)性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線(xiàn)性變換的描述，但又都不是線(xiàn)性變換本身。 但是這樣的話(huà)，問(wèn)題就來(lái)了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線(xiàn)性變換呢？如果是同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見(jiàn)面不認(rèn)識(shí)，豈不成了笑話(huà)。 好在，我們可以找到同一個(gè)線(xiàn)性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那就是： 若矩陣A與B是同一個(gè)線(xiàn)性變換的兩個(gè)不同的描述（之所以會(huì)不同，是因?yàn)檫x定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系），則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣P，使得A、B之間滿(mǎn)足這樣的關(guān)系： A = P-1BP 線(xiàn)性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來(lái)，這就是相似矩陣的定義。沒(méi)錯(cuò)，所謂相似矩陣，就是同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同的描述矩陣。按照這個(gè)定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點(diǎn)，不過(guò)能讓人明白。 而在上面式子里那個(gè)矩陣P，其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。關(guān)于這個(gè)結(jié)論，可以用一種非常直覺(jué)的方法來(lái)證明（而不是一般教科書(shū)上那種形式上的證明），如果有時(shí)間的話(huà)，我以后在blog里補(bǔ)充這個(gè)證明。 這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了。原來(lái)一族相似矩陣都是同一個(gè)線(xiàn)性變換的描述啊！難 怪這么重要！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角化之類(lèi)的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個(gè) 矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的，為什么這么要求？因?yàn)橹挥羞@樣要求，才能保證變換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線(xiàn)性變換的。當(dāng)然，同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同矩陣 描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來(lái)看并不是不分好環(huán)的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛。所以矩陣的相似變換可 以把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述了同一個(gè)線(xiàn)性變換。 這樣一來(lái)，矩陣作為線(xiàn)性變換描述的一面，基本上說(shuō)清楚了。但是，事情沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，或者說(shuō)，線(xiàn)性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線(xiàn)性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線(xiàn)性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線(xiàn)性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn) 與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線(xiàn)性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容，線(xiàn)性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺(jué)。 這個(gè)留在下一篇再寫(xiě)吧。 因?yàn)橛袆e的事情要做，下一篇可能要過(guò)幾天再寫(xiě)了。
(三) 在第二部分結(jié)束的時(shí)候，我說(shuō)： 這個(gè)留在下一篇再寫(xiě)吧。 因?yàn)橛袆e的事情要做，下一篇可能要過(guò)幾天再寫(xiě)了。 ” 然而這一拖就是一年半。一年半以來(lái)，這兩篇粗糙放肆的文章被到處轉(zhuǎn)載，以至于在Google的搜索提示中，我的名字 跟“矩陣”是一對(duì)關(guān)聯(lián)詞匯。這對(duì)于學(xué)生時(shí)代數(shù)學(xué)一直很差的我來(lái)說(shuō)，實(shí)在是令人惶恐的事情。數(shù)學(xué)是何等輝煌精致的學(xué)問(wèn)！代表著人類(lèi)智慧的最高成就，是人與上 帝對(duì)話(huà)的語(yǔ)言。而我實(shí)在連數(shù)學(xué)的門(mén)都還沒(méi)進(jìn)去，不要說(shuō)談什么理解，就是稍微難一些的題目我也很少能解開(kāi)。我有什么資格去談矩陣這樣重要的一個(gè)數(shù)學(xué)概念呢？ 更何況，我的想法直觀是直觀，未見(jiàn)的是正確的啊，會(huì)不會(huì)誤人子弟呢？因此，算了吧，到此為止吧，我這么想。
2、特征向量的幾何含義 長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)一直不了解矩陣的特征值和特征向量到底有何意義（估計(jì)很多兄弟有同樣感受）。知道它的數(shù)學(xué)公式，但卻找不出它的幾何含義，教科書(shū)里沒(méi)有真正地把這一概念從各種角度實(shí)例化地進(jìn)行講解，只是一天到晚地列公式玩理論——有個(gè)屁用啊。 根據(jù)特征向量數(shù)學(xué)公式定義，矩陣乘以一個(gè)向量的結(jié)果仍是同維數(shù)的一個(gè)向量，因此，矩陣乘法對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換，把一個(gè)向量變成同維數(shù)的另一個(gè)向量，那么 變換的效果是什么呢？這當(dāng)然與方陣的構(gòu)造有密切關(guān)系，比如可以取適當(dāng)?shù)亩S方陣，使得這個(gè)變換的效果就是將平面上的二維向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度，這時(shí)我們可 以問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，有沒(méi)有向量在這個(gè)變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒(méi)有其他向量可以在平面上旋轉(zhuǎn)30度而不改變方向的，所以這個(gè)變換對(duì)應(yīng)的矩 陣(或者說(shuō)這個(gè)變換自身)沒(méi)有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一個(gè)變換的特征向量是這樣一種向量，它經(jīng)過(guò)這種特定的變換后保持方向不變，只 是進(jìn)行長(zhǎng)度上的伸縮而已(再想想特征向量的原始定義Ax=cx, cx是方陣A對(duì)向量x進(jìn)行變換后的結(jié)果，但顯然cx和x的方向相同)。 這里給出一個(gè)特征向量的簡(jiǎn)單例子，比如平面上的一個(gè)變換，把一個(gè)向量關(guān)于橫軸做鏡像對(duì)稱(chēng)變換，即保持一個(gè)向量的橫坐標(biāo)不變，但縱坐標(biāo)取相反數(shù)，把這 個(gè)變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]（分號(hào)表示換行），顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上標(biāo)'表示取轉(zhuǎn)置），這正是我們想要的效果，那么現(xiàn)在可以猜一下了，這個(gè)矩陣的特征向量是什么?想想什么向量在這個(gè)變換下保持方向不變，顯然， 橫軸上的向量在這個(gè)變換下保持方向不變(記住這個(gè)變換是鏡像對(duì)稱(chēng)變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當(dāng)然不會(huì)變化)，所以可以直接猜測(cè)其特征向量是[a 0]'（a不為0），還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時(shí)經(jīng)過(guò)變換后，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認(rèn)為是方向沒(méi)有變化，所以[0 b]'（b不為0）也是其特征向量。 綜上，特征值只不過(guò)反映了特征向量在變換時(shí)的伸縮倍數(shù)而已，對(duì)一個(gè)變換而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，當(dāng)我們引用了Spectral theorem（譜定律）的時(shí)候，情況就不一樣了。 Spectral theorem的核心內(nèi)容如下：一個(gè)線(xiàn)性變換（用矩陣乘法表示）可表示為它的所有的特征向量的一個(gè)線(xiàn)性組合，其中的線(xiàn)性系數(shù)就是每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)的特征值，寫(xiě)成公式就是：
從這里我們可以看出，一個(gè)變換（矩陣）可由它的所有特征向量完全表示，而每一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的特征值，就代表了矩陣在這一向量上的貢獻(xiàn)率——說(shuō)的通俗 一點(diǎn)就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，徹底掌握了對(duì)特征向量的主動(dòng)：你所能夠代表這個(gè)矩陣的能量高低掌握在我手中，你還吊什么吊？ 我們知道，一個(gè)變換可由一個(gè)矩陣乘法表示，那么一個(gè)空間坐標(biāo)系也可視作一個(gè)矩陣，而這個(gè)坐標(biāo)系就可由這個(gè)矩陣的所有特征向量表示，用圖來(lái)表示的話(huà)， 可以想象就是一個(gè)空間張開(kāi)的各個(gè)坐標(biāo)角度，這一組向量可以完全表示一個(gè)矩陣表示的空間的“特征”，而他們的特征值就表示了各個(gè)角度上的能量（可以想象成從 各個(gè)角度上伸出的長(zhǎng)短，越長(zhǎng)的軸就越可以代表這個(gè)空間，它的“特征”就越強(qiáng)，或者說(shuō)顯性，而短軸自然就成了隱性特征），因此，通過(guò)特征向量/值可以完全描 述某一幾何空間這一特點(diǎn)，使得特征向量與特征值在幾何（特別是空間幾何）及其應(yīng)用中得以發(fā)揮。 關(guān)于特征向量（特別是特征值）的應(yīng)用實(shí)在是太多太多，近的比如俺曾經(jīng)提到過(guò)的PCA方法，選取特征值最高的k個(gè)特征向量來(lái)表示一個(gè)矩陣，從而達(dá)到降 維分析+特征顯示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通過(guò)計(jì)算一個(gè)用矩陣表示的圖（這個(gè)圖代表了整個(gè)Web各個(gè)網(wǎng)頁(yè)“節(jié)點(diǎn)” 之間的關(guān)聯(lián)）的特征向量來(lái)對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)打“特征值”分；再比如很多人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面，都有應(yīng)用，有興趣的兄弟可以參考IBM的 Spiros在VLDB‘ 05，SIGMOD ’06上的幾篇文章。 特征向量不僅在數(shù)學(xué)上，在物理，材料，力學(xué)等方面（應(yīng)力、應(yīng)變張量）都能一展拳腳，有老美曾在一本線(xiàn)代書(shū)里這樣說(shuō)過(guò)“有振動(dòng)的地方就有特征值和特征向量”，確實(shí)令人肅然起敬+毛骨悚然......
3、維基百科上關(guān)于特征向量和行列式的條目 http://zh./zh-cn/è???????? http://zh./zh/??1??????é?? |
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