無窮作為一個極富迷人魅力的詞匯，長期以來就深深激動著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實質成為維護人類智力尊嚴的一種需要。而數(shù)學是“研究無限的學科”，因此數(shù)學就責無旁貸地擔當起征服無窮的重任。我們在本文中將簡要介紹一下數(shù)學中無窮思想發(fā)展的歷程光輝的起點：數(shù)學無窮發(fā)展的萌芽時期早在遠古時代，無限的概念就比其他任何概念都激動著人們的感情，而且遠在兩千年以前，人們就已經(jīng)產生了對數(shù)學無窮的萌芽認識。
　　
在我國，著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭?！睆闹芯涂审w現(xiàn)出我國早期對數(shù)學無窮的認識水平。而我國第一個創(chuàng)造性地將無窮思想運用到數(shù)學中，且運用相當自如的是魏晉時期著名數(shù)學家劉徽。他提出用增加圓內接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的“割圓術”，并闡述道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！笨梢妱⒒諏?shù)學無窮的認識已相當深刻，正是以“割圓術”為理論基礎，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于 3.1415926 與 3.1415927 之間的領先國外上千年的驚人成果。
　
在國外，早在畢達哥拉斯關于不可公度量的發(fā)現(xiàn)及關于數(shù)與無限這兩個概念的定義中已孕育了微積分學的關于無窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數(shù)學之神阿基米德所運用的窮竭法已備近代極限理論的雛形，尤其是阿基米德對窮竭法應用之熟練，使后人感到他在當時就已接近了微積分的邊緣。
　　
由此，我們可以看到在數(shù)學無窮思想發(fā)展之初，古人就已在這個領域開創(chuàng)了一個光輝的起點。

首創(chuàng)風波：芝諾悖論

雖說，古人對無窮已有了較深刻認識，然而人們對無限的認識是缺乏嚴密的邏輯基礎的?？梢哉f，對于只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明了這一點。

芝諾，公元前五世紀中葉古希臘哲學家。他提出的四個悖論雖是哲學命題。但卻對數(shù)學無窮思想的發(fā)展產生了直接且深遠影響。這里僅舉其悖論之一。
　　
阿基里斯悖論：跑得最快的阿基里斯永遠追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠大于乙，但乙比甲先行一段距離，甲為了趕上乙，須超過乙開始的 A 點，但甲到了 A 點，則乙已進到 A₁ 點，而當甲再到 A₁ 點，則乙又進到 A₂ 點，依次類推，直到無窮，兩者距離雖越來越近，但甲永遠在乙后面而追不上乙。
　　
這顯然違背人們常識的芝諾悖論，因與無限問題密切相連，就使得古希臘人對無窮有些望之卻步靜而遠之了。同時也導致古希臘數(shù)學家不得不把無限排斥在自己的推理之外了。
　　
芝諾悖論就這樣一直困惑著人們，問題的癥結何在呢？ 　　

嶄新一頁：微積分學的誕生

隨著時代的發(fā)展，實踐中提出了越來越多的數(shù)學問題，待數(shù)學家們加以解決，如曲線切線問題、最值問題、力學中的速度問題、變力做功問題……初等數(shù)學方法對此越來越無能為力，需要的是新的數(shù)學思想、新的數(shù)學工具。不少數(shù)學家為此做了不懈努力，如笛卡爾、費馬、巴羅……并取得了一定成績，正是站在這些巨人的肩膀上，牛頓、萊布尼茲以無窮思想為據(jù)，成功運用無限過程的運算，創(chuàng)立了微積分學。這新發(fā)現(xiàn)、新方法的重要性使當時的知識界深感震驚，因而出現(xiàn)了一門嶄新的數(shù)學分支：數(shù)學分析。這一學科的創(chuàng)立在數(shù)學發(fā)展史上翻開了嶄新一頁，譜寫了光輝動人的樂章。

風波再起：貝克萊悖論

通往真理的路總是坎坷不平，布滿了艱辛，探求無窮之徑更絕非坦途。

十七世紀后期，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分學，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，并在實際應用中獲得了巨大成功，然而，微積分學產生伊始，迎來的并非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在于當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的。1734 年，大主教貝克萊寫了本《分析學家》的小冊子，在這本小冊子中，他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”?；\統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為零的問題”就實際應用而言，它必須既是零，又不是零。而從形式邏輯角度而言，這無疑是一個矛盾。貝克萊悖論，動搖了人們對微積分正確性的信念，在當時數(shù)學界引起了一定混亂，從而導致了數(shù)學史上所謂的第二次數(shù)學危機。出路在何方？

發(fā)明的世紀：十八世紀

微積分產生后，一方面在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論，也就是說，正確的（尤其是在幾何應用上是驚人的）結果卻是通過肯定不正確的數(shù)學途徑得出的。這把數(shù)學家們推到了尷尬境地。在對微積分的取舍上到底何去何從呢？
　　
“向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹起不顧一切奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數(shù)學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴于直觀去開創(chuàng)新的數(shù)學領地。于是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現(xiàn)出來。經(jīng)過一個多世紀的漫漫征程，幾代數(shù)學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。因而數(shù)學史家把這一時期稱為發(fā)明的世紀。 　　

光輝樂章的不和諧音

微積分產生之初，對基礎不牢的指責，以及由此引發(fā)的爭論，一直就是微積分學奏出的光輝樂章中的不諧和音。然而在十八世紀，它被微積分應用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時掩蓋了。經(jīng)過數(shù)學發(fā)明的十八世紀后，數(shù)學建筑擴大了，房子蓋得更高了，而基礎卻沒有補充適當?shù)膹姸?。十八世紀粗糙的，不嚴密的工作導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數(shù)學家們的神經(jīng)。下面僅舉一無窮級數(shù)為例。
　　
無窮級數(shù) S＝1－1＋1－1＋1……到底等于什么？
　　
當時人們認為一方面 S＝（1－1）＋（1－1）＋……＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋……＝1，那么豈非 0＝1？ 這一矛盾竟使傅立葉那樣的數(shù)學家困惑不解，甚至連被的后人稱之為數(shù)學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到 1 + x + x2 + … =1/（1 - x）后，令 x = - 1，得出 S ＝1－1＋1－1＋1……＝1／2！
　　
由此一例，即不難看出當時數(shù)學中出現(xiàn)的混亂局面了。問題的嚴重性在于當時分析中任何一個比較細致的問題，如級數(shù)、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初，傅立葉理論直接導致了數(shù)學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣，消除不和諧音，把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數(shù)學家們迫在眉睫的任務。 　　

重建微積分基礎

十八世紀富有成果然而欠嚴謹?shù)墓ぷ?，導致?shù)學中出現(xiàn)了暫時的混亂局面。到十九世紀，批判、系統(tǒng)化和嚴密論證的必要時期降臨了。
　　
使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數(shù)學家柯西邁出了第一大步?？挛饔?1820 年研究了極限定義，并創(chuàng)造性地用極限理論把微積分學中的定理加以嚴格、系統(tǒng)的證明，使微積分學有了較堅實的理論基礎，同時柯西也因之成為加固微積分學基礎的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在著兩點主要的不足。其一，他的極限定義用了描述性語言“無限的趨近”“隨意小”，不夠精確。這一點由德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯給出精確描述數(shù)列極限的“ε-δ”方法和函數(shù)極限的“ε-δ”方法，把微積分奠基于算術概念的基礎上，獲得了圓滿解決。其二，他對單調有界定理的證明借助了幾何直覺。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系，這樣數(shù)學分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數(shù)學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數(shù)學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學危機的徹底解決。 　　

康托爾的不朽功績：向無限冒險邁進

十九世紀，由于眾多杰出數(shù)學家的努力，微積分工具被改進為嚴格的分析體系。同時由于嚴格追問微積分的邏輯，德國數(shù)學家康托爾把無窮集合引入詞匯，從而發(fā)現(xiàn)了無窮集這一數(shù)學新詞匯，開辟出一個廣大而又從未人知的世界。
　　
康托爾以其集合論的成就被譽為對 20 世紀數(shù)學發(fā)展影響最深的學者之一。他從研究“收斂的傅立葉級數(shù)所表示的函數(shù)存在不連續(xù)”這一事實，提出無窮集合的概念，并以對應關系為基本原則，尋求無窮集合的“多少”關系。他把兩個能對應的集合稱為同勢，利用勢他將無限集進行了分類，最小的無限集為可數(shù)集 a，即指與自然數(shù)集等勢的無窮集。進一步，康托爾證明實數(shù)集的勢 c>a，一切實函數(shù)的勢 f>c,并且對任何一個集合，均可造出一個具有更大勢的集合，即是說沒有最大的勢。鑒于此，1896 年康托爾根據(jù)無窮性有無窮多學說，制訂了無限大算術，對各種無窮大建立了一個完整序列，他用希伯來字母表中第一個字母阿列夫來表示這些數(shù)。于是，直至無窮。無窮集合自身又構成了一個無窮序列。所謂樓外有樓，天外有天了。這就是康托爾創(chuàng)立了超限數(shù)理論。康托爾的工作，在發(fā)表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊?？肆_內克有句名言：上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他都是人為的。他完全否認并攻擊康托爾的工作，稱“康托爾走進了超限數(shù)的地獄”，更有人嘲笑康托爾關于無窮的等級的超限數(shù)理論純粹為“霧中之霧”。前后經(jīng)過 20 余年，康托的工作才最終獲世界公認，并贏得極大贊譽。羅素稱贊說：“Cantor 的工作可能是這個時代所能夸耀的最偉大的成就?！毕柌胤Q其超限理論為“數(shù)學思想的最驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類智力的最美的表現(xiàn)之一。”康托集合論的提出標志了近代數(shù)學的開端。他的觀點中，無窮集合是被看作一個現(xiàn)實的，完成的，存在著的整體，是可認識，可抓住的東西。他的無窮集合理論令世人耳目一新。 　　

中途的輝煌

極限理論、實數(shù)理論使微積分學建立在嚴格的邏輯基礎之上，而實數(shù)論又可在自然數(shù)論和無窮集合論的基礎上發(fā)展起來，進一步自然數(shù)論完全可在集合論中推出。這樣一來，實數(shù)論的融貫性就歸于集合論的融貫性，歸結到集合論，看來數(shù)學絕對嚴格的目的要達到了。1900 年在世界數(shù)學家大會上，著名數(shù)學家龐加萊鄭重宣布：“現(xiàn)在我們可以說，數(shù)學最終的嚴格性基礎已經(jīng)確立了。”表達了數(shù)學家們欣欣自得的共同心情。尤其通過康托爾的工作，數(shù)學家們找到了營造數(shù)學大廈的基石：集合論。而他的無窮集合，也就成了數(shù)學家們的伊甸園。這樣，從微積分誕生之日起，數(shù)學家們歷經(jīng) 200 多年的艱苦努力，終于迎來了輝煌的勝利。

一波三折：羅素悖論的提出及解決

正當數(shù)學家們在無窮集合的伊甸園中優(yōu)哉游哉，并陶醉于數(shù)學絕對嚴格性的時候，一個驚人的消息迅速傳遍了數(shù)學界。
　　
“集合論是有漏洞的！”這就是，1902 年，羅素得出的結論。

羅素構造了一個集合 U，U 由所有不屬于自身的集合組成，U 顯然存在，但 U 是否屬于自身呢？無論回答是否都將導致矛盾，這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當簡明，以致幾乎沒有什么可以辯駁的余地，然而它卻動搖了整個數(shù)學大廈的基石：集合論。
　　
“絕對嚴密”、“天衣無縫”的數(shù)學，又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機之中。原本已平靜的數(shù)學水面，因羅素悖論的投入，又一石激起千重浪，令數(shù)學家們震驚之余有些驚慌失措，這就導致了數(shù)學史上所謂的“第三次數(shù)學危機?！?br>　　
危機是由康托爾研究的無限集合引發(fā)的。危機產生后，包括羅素本人在內的眾多數(shù)學家投入到解決危機的工作中去。1908 年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱 ZF 公理系統(tǒng)，使原本直觀的集合概念建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了羅素悖論的產生，在表層上解決了第三次數(shù)學危機。 　　

柳暗花明又一村：無窮小重返數(shù)學舞臺

17 世紀下半葉，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學，用了無窮小量的概念，但因對其解釋含糊不清，出現(xiàn)了貝克萊悖論，導致數(shù)學史上的“第二次數(shù)學危機”，19 世紀，柯西、維爾斯特拉期等人引入極限論、實數(shù)論，使微積分理論嚴格化，從而避免了貝克萊悖論，圓滿解決了第二次數(shù)學危機。然而與此同時，極限方法代替了無限小量方法。無窮小量作為“消失了量的幽魂”被排斥在數(shù)學殿堂之外了。
　　
1960 年，美國數(shù)理邏輯學家 A 魯濱遜指出：現(xiàn)代數(shù)理邏輯的概念和方法為“無限小”、“無限大”作為“數(shù)”進入微積分提供了合適的框架，無窮小量堂而皇之地重返數(shù)壇，成為邏輯上站得住腳的數(shù)學中的一員，被認為是“復活了的無窮小”。這樣微積分創(chuàng)立 300 年后，第一個嚴格的無窮小理論才發(fā)展起來?；仡櫸⒎e分學發(fā)展的歷史，無窮小分析法→極限方法→無窮小分析法，否定之否定，微積分學基礎獲得了進一步發(fā)展。 　　

實無限、潛無限

認真考察無窮在數(shù)學中的發(fā)展歷程，可以注意到在數(shù)學無窮思想中一直存在著兩種觀念：實無限思想與潛無限思想。所謂潛無限思想是指：“把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。把無限看作為永遠在延伸著的（即不斷在創(chuàng)造著的永遠完成不了的）過程。所謂實無限思想是指：把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數(shù)學中無限的歷史實際上是兩者在數(shù)學中合理性的歷史。
　　
亞里士多德只承認潛無限，使其在古希臘數(shù)學中占統(tǒng)治地位。文藝復興時期后，實無限在數(shù)學中統(tǒng)治了三個世紀。17 世紀下半葉，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學也是以實無限小為基礎的，在其理論中，無窮小量被看作一個實體，一個對象，正因此，早期微積分又被稱之為“無窮小分析”。這種以實無限思想為據(jù)的理論在其產生后的一個世紀被廣大數(shù)學家所使用，因而使這段時期成為實無限黃金時期。微積分被形容為一支關于“無窮的交響樂”。但由于當時人們對無窮小量概念認識模糊，導致產生了貝克萊悖論及一系列荒謬結果。在高斯時代，實無限已開始被拋棄了，尤其到了十八世紀末至十九世紀約百年時間中，隨著重建微積分基礎工作的完成，無窮小量被拒之于數(shù)學大廈之外，無窮小被看作實體的觀念在數(shù)學分析中亦被驅除了，而代之以“無窮是一個逼近的目標，可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現(xiàn)了現(xiàn)在標準分析關于極限的定義中，并由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論，使得潛無限思想在這段時期深入人心。然而，到本世紀六十年代，A·魯濱遜創(chuàng)立的非標準分析，使無窮小量再現(xiàn)光輝，榮歸故里，重新堂而皇之的登進數(shù)學的殿堂，而可與柯西的極限分庭抗衡了。尤其，在康托爾的無窮集合論中，體現(xiàn)的也是“無窮集合是一個現(xiàn)實的、完成的“存在著的整體”的實無限思想，這就足以使得實無限思想可與潛無限思想形成“雙峰對峙”、“炮馬爭雄”的局面了。
　　
那么，無窮到底是實無限，抑或是潛無限呢？
　　
兩種無窮思想在數(shù)學上經(jīng)歷過“江山代有才人出，各領風騷數(shù)百年”的此消彼長與往復更迭后，已在現(xiàn)代數(shù)學中日趨合流，實際上現(xiàn)在數(shù)學中早已是既離不開實無限思想也離不開潛無限思想了。標準分析與非標準分析的使用表明：用兩種不同的無窮思想為據(jù)，采取不同的方式卻可以得出完全相同的結果。這殊路同歸的結局，意味著兩種無窮思想可以避開“兩虎相爭，必有一傷”而走向“平分秋色，輝映成趣”了。
　　
當我們上升到哲學高度時，可能會獲得對兩者關系的更清楚認識。
　　
辯證法告訴我們，要從整體，從兩方面看問題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣，看到金一面的說是金盾，見到銀一面的說是銀盾，而實際上對盾的認識應是“一面是金，一面是銀”，數(shù)學家們對無窮的認識亦相仿?？吹綗o窮實在性一方面的說無窮是實無窮，見到無窮潛在性一面說無窮是潛無限，但對無窮的認識只能是“無窮既是實無限，又是潛無限”，無窮本身就是一個矛盾體，它既是一個需無限趨近的過程，又是一個實體，一個可研究的對象。在這一矛盾體中，矛盾的一方是實無限，另一方是潛無限而無窮正是這矛盾雙方的對立統(tǒng)一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潛無限作為矛盾體的一面，是對有窮的直接否定，而實無限作為矛盾體的另一面則是對潛無限的否定，是否定之否定。誠如徐利亞教授提出的無窮雙相性理論：實無限、潛無限只是一枚硬幣的兩面罷了。這倒并非是哲學的玄奧思辯，而是辯證法為我們上的生動一課。
　
“數(shù)學是研究無窮的學科?！睌?shù)學與無窮確實有著不解之緣。認識論說，人的認識總是由具體到抽象，而這一認識過程從一定角度看也可以說是由有限到無限的邁進，而數(shù)學是最具抽象性的學科，這亦足以說明在向無限的邁進中，數(shù)學達到的層次是最深入的。并且在數(shù)學中，無窮是永遠無法回避的。因為數(shù)學證明就是用有限的步驟解決涉及無窮的問題。數(shù)學與無窮間的關系是剪不斷、理還亂的。從數(shù)學產生之日起，無窮就如影如隨，伴著數(shù)學的發(fā)展齊步前進。尤其當微積分產生后，數(shù)學與無窮的聯(lián)系就更緊密了。恩格斯說：“萊布尼茲是研究無限的數(shù)學的創(chuàng)始人?！闭\如恩格斯所言，從唯物辯證法角度來看，數(shù)學的發(fā)展從初等數(shù)學到高等數(shù)學的質的飛躍，就是數(shù)學上從研究有限到研究無限的質的飛躍。微分和積分實質上都是一種極限，而極限過程就是無限過程。因此可以說，微積分在數(shù)學樹立了一座認識無窮的不朽豐碑，另外康托爾的無窮集合論也使人們對無窮的認識上升到一個新層次。
　　
然而“無窮既是人類最偉大的朋友，也是人類心靈寧靜的最大敵人?！保ㄏ柌卣Z）因為征服無窮的路畢竟是這樣地難行。在數(shù)學無窮發(fā)展歷程中，我們已經(jīng)看到征服無窮的路途中，悖論是一次次出現(xiàn)：芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現(xiàn)即為例證。雖說，歷經(jīng)幾百年，數(shù)代數(shù)學家的艱苦努力，建立的極限論、實數(shù)論、ZF 公理系統(tǒng)解決了這些悖論及由此導致的危機。然而悖論的的清除，矛盾的回避也導致了數(shù)學確定性的一步步喪失。第三次數(shù)學危機只是于表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續(xù)著。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對數(shù)學基礎可靠性的懷疑?！比欢湟粩堊咏鉀Q方案在 1930 年哥德爾發(fā)現(xiàn)不完備定理后宣告付之東流了。哥德爾的工作使人們對無窮的認識又上升了一個層次。人們開始更深刻地明白：任何想一勞永逸解決無窮問題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認識無窮、征服無窮之途是漫漫無際的。然而數(shù)學中沒有不可知！經(jīng)過一代代人的努力，人們對無窮的認識必將一次次上升到新的高度！