看完這些圖，秒懂那些年搞不明白的數(shù)學(xué)概念  

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1、橢圓的畫(huà)法

2、楊輝三角問(wèn)題(Pascal triangles)解法

3、使用“FOIL”輕松的解決二項(xiàng)式乘法

4、對(duì)數(shù)解法技巧

5、矩陣轉(zhuǎn)置的技巧

6、勾股定理

7、多邊形的外角之和總是等于 360 度

8、圓周率π

9、一弧度就是長(zhǎng)度剛好等于半徑的一段圓弧所對(duì)的圓心角

10、在Y軸上使用正弦(紅色)，在X軸上使用余弦(藍(lán)色)，則在 XY 軸平面上畫(huà)出的環(huán)形如下圖(黑色)

11、同前一原理，但更簡(jiǎn)單

12、這是將 sin 和 cos 運(yùn)用到三角形上

13、余弦是正弦的衍生物

14、正切線

15、同上，但翻個(gè)面看，更容易理解

16、將一個(gè)公式從笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成軸坐標(biāo)

17、畫(huà)拋物線

18、黎曼和(Riemann sum)約等于其曲線下的面積

19、雙曲線

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數(shù)字魔方

    　福建有一個(gè)文學(xué)評(píng)論家叫林興宅，以前他提出過(guò)一個(gè)觀點(diǎn)，說(shuō)“最好的詩(shī)是數(shù)學(xué)”。此話一出，全國(guó)嘩然。我當(dāng)時(shí)并沒(méi)有很多道理可說(shuō)，但是非常喜歡這句話。古今中外不止一個(gè)有名的文學(xué)方面的人才自嘲說(shuō)：我之所以寫(xiě)小說(shuō)、寫(xiě)詩(shī)，是因?yàn)槲覐男?shù)學(xué)不及格。例如，汪曾祺先生就有過(guò)這樣的名言。但是我跟這種類(lèi)型的作家有相當(dāng)大的區(qū)別，我從小就著迷于數(shù)學(xué)和語(yǔ)文。我為什么著迷于這兩樣呢？因?yàn)槲沂冀K感到只有在數(shù)學(xué)和詩(shī)學(xué)里面，人的精神才能夠進(jìn)入一個(gè)比較純粹的境界，才能把對(duì)世界的認(rèn)知符號(hào)化、純粹化，從而提升之、激揚(yáng)之。比如，你就是用數(shù)學(xué)的一些概念，如數(shù)字、數(shù)量關(guān)系，或者形體、形狀、相似、相等、不等、互證……這些東西來(lái)認(rèn)識(shí)世界的。而且只有在這個(gè)很特殊的精神世界里，你才能感覺(jué)到這種智慧的光芒，感覺(jué)到人類(lèi)的智慧中有多少奇妙的激情與創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)。不管你有多少不順心的事，多少瑣碎的事，多少雞毛蒜皮的事，多少小鼻子小眼、摳摳搜搜的事，一旦進(jìn)入這個(gè)境界以后——那些委瑣的東西沒(méi)有“入門(mén)證”，根本進(jìn)不來(lái)——你就只剩下了妙悟、飛升、熱淚盈眶；同時(shí)你只剩下了智慧，只剩下了推理，只剩下了激情，還有想象，最純粹的想象。

    　我想做詩(shī)的感覺(jué)和解一道數(shù)學(xué)題的感覺(jué)是非常相似的，這種感覺(jué)就是黑暗中的尋索與光明照耀的狂喜。我上初中的時(shí)候就迷戀這種感覺(jué)，后來(lái)長(zhǎng)大一點(diǎn)，覺(jué)得各種數(shù)字和形狀都是充滿感情的。譬如說(shuō)，當(dāng)我們說(shuō)“一”的時(shí)候——中國(guó)人最喜歡這個(gè)“一”：一以貫之，“吾道一以貫之”，見(jiàn)出這個(gè)人的堅(jiān)決，多么鮮明，又多么忠誠(chéng)；又如“天下定于一”，所以叫“定一”的人特別多，如陸定一、符定一等。有了“一”，就有了一切，“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”。后來(lái)我覺(jué)得許許多多的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，其實(shí)都是人生現(xiàn)象，它們反映的是人生最根本的道理。

    　我最喜歡舉的例子是我在北戴河看到的一個(gè)捉弄人的、帶有賭博性質(zhì)的游戲：主事者將4種不同顏色的球，紅、黃、藍(lán)、白每樣5個(gè)，總共20個(gè)，全部放進(jìn)箱子里，參與者從里面任意摸出10個(gè)球，如果4種顏色的組合是五五〇〇，就能得到一臺(tái)萊卡照相機(jī)，如果是五四一〇，就送你一條中華煙，但有兩個(gè)組合是你反過(guò)來(lái)要給他錢(qián)的：一個(gè)是三三二二，一個(gè)是四三二一。結(jié)果玩游戲的人到那兒一抓，經(jīng)常是三三二二或四三二一。這是一個(gè)非常容易計(jì)算的問(wèn)題。西安電子科技大學(xué)梁昌洪校長(zhǎng)是數(shù)學(xué)家，他把整個(gè)的算草都給了我。他還在學(xué)校里組織了幾百個(gè)學(xué)生測(cè)試，又在電腦上算，結(jié)果都一樣，就是三三二二和四三二一所占的比率最高，都能占到接近百分之三十；而五五〇〇呢，只占十幾萬(wàn)分之一。為這事我還出了硬傷，我說(shuō)這五五〇〇的概率和民航飛機(jī)出事故的概率一樣多，結(jié)果民航局的朋友向我提出了嚴(yán)正抗議，說(shuō)民航局從來(lái)沒(méi)出過(guò)這么多事故，他們出事故的概率不是十萬(wàn)分之一，可能是千萬(wàn)或者更多萬(wàn)分之一。這也讓我長(zhǎng)了知識(shí)。

    　三三二二和四三二一，這兩個(gè)數(shù)字組合迷住了我。什么是命運(yùn)？我覺(jué)得“三三二二”或者“四三二一”就是命運(yùn)。為什么五五〇〇的機(jī)會(huì)非常少？就是說(shuō)命運(yùn)中絕對(duì)拉開(kāi)的事并不常見(jiàn)——一面是絕對(duì)的富有，因?yàn)槲迨侨?，某一種顏色的球全部拿出來(lái)才是五，另一面則是〇，這個(gè)機(jī)會(huì)非常少，十幾萬(wàn)個(gè)人中就一個(gè)。

    　所以說(shuō)命運(yùn)的特點(diǎn)在于：第一，它不是絕對(duì)的不公平；第二，它又絕對(duì)不是平均的?；蛘咦屇闳浅＝咏?，但又不完全一樣；或者讓你四三二一，每個(gè)數(shù)都不一樣，卻又相互緊靠。它們出現(xiàn)的概率非常之大，我覺(jué)得這就是概率和命運(yùn)與上帝的關(guān)系，這個(gè)命運(yùn)太偉大了，這就是上帝，至少是上帝運(yùn)算的一部分。一次，我和美國(guó)的一個(gè)研究生談起我的作品，我忽然用我的小學(xué)5年級(jí)英語(yǔ)講起這初中二年級(jí)的數(shù)學(xué)，我說(shuō)這就是God。他說(shuō)：“Eh，I don’t like this．” 把偉大的上帝說(shuō)成是數(shù)學(xué)，他很不贊成，很不喜歡我這樣的分析。但我不是說(shuō)偉大的上帝是數(shù)學(xué)，而是說(shuō)數(shù)學(xué)的規(guī)律是“上帝”掌握的，和宇宙奧秘是一樣的。

    　數(shù)字哲學(xué)

    　中國(guó)人喜歡“一”，因?yàn)檫@整個(gè)的世界是“一”，世界是統(tǒng)一的。郭沫若有句詩(shī)非常有意思，“一切的一，一的一切”。到現(xiàn)在我也沒(méi)完全弄明白是什么意思，但是中文的此種構(gòu)詞方式太棒了。一就是一切，一切就是一，萬(wàn)法歸一，一生萬(wàn)物。天下定于“一”。中國(guó)文化最討厭的是“二”，比如“二心”，如果皇上說(shuō)你有二心，你的腦袋就保不住了。毛澤東最喜歡的是“二”：老蔣說(shuō)天無(wú)二日，我偏要出兩個(gè)太陽(yáng)給他看看。這是毛澤東和柳亞子說(shuō)的話。毛澤東也喜歡“一”，當(dāng)革命沒(méi)有勝利的時(shí)候，他喜歡的是“二”，革命勝利了，他喜歡“一”。但是他討厭“三”，沒(méi)有第三條路線，沒(méi)有中間路線，第三條路線都是假的。改革開(kāi)放以后，“三”的地位有點(diǎn)提高。哲學(xué)家龐樸提出一分為三。什么意思呢？他舉例說(shuō)，人們常說(shuō)“一抓就死，一放就亂”，一抓就死這是“一”，一放就亂這是“二”，但是我們追求的應(yīng)該是“三”，就是抓而不死、放而不亂。就是說(shuō)在“一”和“二”的斗爭(zhēng)中要產(chǎn)生出一種新的模式，新的思維、新的生產(chǎn)力、新的生產(chǎn)關(guān)系?！耙环譃槿庇幸欢ǖ挠绊懀珱](méi)有得到普遍的響應(yīng)。我個(gè)人很喜歡這個(gè)提法。只要承認(rèn)了“三”，就承認(rèn)了不斷出現(xiàn)新生事物。老子說(shuō)，道生一，抽象的道變成了一個(gè)統(tǒng)一的宇宙；一生二，這個(gè)宇宙就變成了矛盾的兩個(gè)方面；矛盾的兩個(gè)方面斗爭(zhēng)的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)新的東西，既不完全是“一”，也不完全是“二”，那么不斷地出現(xiàn)新的東西，就生了萬(wàn)物。所以我個(gè)人也有點(diǎn)喜歡“三”。

    　數(shù)學(xué)與命運(yùn)

    　摸球的例子大家可以去試試，用4種撲克牌，或者用4種麻將牌，都可以試。你會(huì)發(fā)現(xiàn)摸出來(lái)的組合，不是三三二二，就是四三二一。這是一個(gè)形而上的東西，中國(guó)人也有這種頭腦。比如說(shuō)中國(guó)有一個(gè)說(shuō)法，說(shuō)一個(gè)人“趕上點(diǎn)兒了”。有人倒霉，大家說(shuō)他趕上點(diǎn)兒了；有人突然發(fā)達(dá)起來(lái)了，噌噌直上，芝麻開(kāi)花節(jié)節(jié)高，摁都摁不住了，嫉妒也沒(méi)用，告狀也沒(méi)用，也說(shuō)他趕上點(diǎn)兒了。還有個(gè)詞叫“氣數(shù)”。氣數(shù)的“氣”很抽象，摸不清楚，可以說(shuō)是一個(gè)人的運(yùn)氣，也可以說(shuō)是一個(gè)人、一個(gè)執(zhí)政集團(tuán)或者一個(gè)朝代、一個(gè)皇帝主觀的自信，又或者是我們所說(shuō)的那種氣場(chǎng)，等等。但還有一條就是“數(shù)”，就是這個(gè)“數(shù)”字經(jīng)過(guò)若干發(fā)展運(yùn)動(dòng)以后變成了“氣數(shù)已盡”。我這輩子感受最深的是國(guó)民黨那時(shí)候就是氣數(shù)已盡，完全沒(méi)辦法，誰(shuí)也救不了它?；春?zhàn)役的時(shí)候，國(guó)民黨是坐著裝甲車(chē)、汽車(chē)運(yùn)輸，人民解放軍則靠的是腿，解放軍每到一個(gè)地方都是提前15分鐘、20分鐘，或者半天，國(guó)民黨拼了半天命，就是差那么10多分鐘、20分鐘，氣數(shù)已盡。說(shuō)明這里面是有一個(gè)數(shù)字法則的，這個(gè)數(shù)字又和時(shí)間的運(yùn)行聯(lián)系到一塊兒了。

    　所謂算命，基本上是類(lèi)似數(shù)學(xué)的活動(dòng)，所以叫“算命”，是指對(duì)于生辰八字這一系列東西的演算。抽簽也是一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，是概率問(wèn)題，抽到上上簽的可能性有多大，抽到下下簽的可能性有多大。還有一個(gè)是“相面”，相面是不是也有著幾何性的觀察？哪兒跟哪兒的距離怎么樣，哪兒跟哪兒的對(duì)比怎么樣，要分長(zhǎng)短，要分大小，人中長(zhǎng)的人壽命就長(zhǎng)。其實(shí)這都是數(shù)學(xué)概念，所以對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)世界的一個(gè)最基本方式。

    　愛(ài)情里面也充滿了數(shù)學(xué)的表達(dá)，說(shuō)“執(zhí)子之手，與子偕老”，其中包含一個(gè)很長(zhǎng)久的數(shù)字，“偕老”，起碼是一個(gè)幾十年的數(shù)字。“不求天長(zhǎng)地久，只要曾經(jīng)擁有”，這是另一種愛(ài)情觀，這種愛(ài)情觀要求的是瞬間，是一剎那，甚至就是偶然，是不穩(wěn)定。

    　所以，我覺(jué)得數(shù)學(xué)是一個(gè)認(rèn)識(shí)世界的基本方式。順便我也呼應(yīng)一下，比如說(shuō)咱們也研究勾股定理，但是沒(méi)有發(fā)展成為完備的數(shù)學(xué)。我覺(jué)得有兩點(diǎn)值得探討：一是咱們喜歡整體性的思維，既是為了實(shí)用——丈量土地，又是為了趣味。勾股定理讓我覺(jué)得很有趣味，三、四、五這幾個(gè)數(shù)字太迷人了，該定理研究的是數(shù)量關(guān)系，但沒(méi)有抽象化，分割得很清楚。二是咱們不重視計(jì)算，從古代就不夠重視。關(guān)于世界上的知識(shí)，毛澤東最初在延安提出，一個(gè)是階級(jí)斗爭(zhēng)知識(shí)，一個(gè)是生產(chǎn)斗爭(zhēng)知識(shí)。但是在上世紀(jì)50年代末，尤其是在“大躍進(jìn)”失敗以后，毛澤東提出來(lái)的是生產(chǎn)斗爭(zhēng)、階級(jí)斗爭(zhēng)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)。到現(xiàn)在為止未見(jiàn)有人研究為什么毛澤東加上了“科學(xué)實(shí)驗(yàn)”。我認(rèn)為從背景上來(lái)說(shuō)，是由于“大躍進(jìn)”的失??；從學(xué)理上來(lái)說(shuō)，毛澤東體會(huì)到感性認(rèn)識(shí)不可能由于數(shù)量的積累自然變成理性認(rèn)識(shí)，還需要通過(guò)科學(xué)實(shí)驗(yàn)。我斗膽來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，我認(rèn)為科學(xué)實(shí)驗(yàn)是重要的，還有一樣同樣重要的就是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，科學(xué)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)非?？拷壿嬐评砼c數(shù)學(xué)計(jì)算了。這個(gè)加上以后，毛澤東的實(shí)踐論、認(rèn)識(shí)論就比較完整了。如果我們有這樣一個(gè)比較完整的認(rèn)識(shí)，如果我們更加重視邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們中國(guó)人在科學(xué)上和數(shù)學(xué)上，就會(huì)有非常好的前途。

   　 零和無(wú)窮大的迷思

    　數(shù)學(xué)教授方奇志老師說(shuō)《醉漢的腳步》這個(gè)題目簡(jiǎn)直太好了、太迷人了。這是一個(gè)數(shù)學(xué)命題，也是一個(gè)文學(xué)命題，這可以是一個(gè)長(zhǎng)詩(shī)的題目，也可以是一個(gè)小說(shuō)的題目。

    　“〇”也是我最感興趣的數(shù)字，我覺(jué)得“〇”從哲學(xué)上說(shuō)，就是中國(guó)人所說(shuō)的“無(wú)”，因?yàn)椹柺?/SPAN>zero，也就是nothing，所以，“〇”就是無(wú)，無(wú)就是萬(wàn)物生于有、有生于無(wú)，所以無(wú)是本源。無(wú)當(dāng)然是本源，因?yàn)槲覀兠恳粋€(gè)人都生于無(wú)。在我們被母親懷胎之前，我們就是無(wú)。中國(guó)人在這個(gè)“無(wú)”字上是很下功夫的。老子主張無(wú)為、無(wú)欲，認(rèn)為一個(gè)人能做到“無(wú)”的境界，“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為。無(wú)為而無(wú)不為”。為什么要“無(wú)為無(wú)不為”呢？因?yàn)橛猩跓o(wú)，無(wú)又不是都有。所以中國(guó)古人又說(shuō)，無(wú)非有，無(wú)是沒(méi)有；無(wú)非無(wú)，無(wú)也不是永遠(yuǎn)無(wú)；無(wú)因?yàn)槟軌蜃兂捎?，所以無(wú)非非無(wú)，無(wú)不是把無(wú)給否定了，無(wú)本身是不否定無(wú)的。無(wú)為什么能夠變成有呢？因?yàn)橛辛藷o(wú)窮大的幫忙，無(wú)和無(wú)窮大結(jié)合起來(lái)，就有可能產(chǎn)生出“有”來(lái)，就從“〇”變成“一”了，有了“一”就有了一切。電腦的數(shù)字只有〇和一，沒(méi)有其他數(shù)字，就是說(shuō)〇和一已經(jīng)代表了全部數(shù)字，發(fā)展到最后它們可以變成無(wú)窮大。當(dāng)然，關(guān)于無(wú)窮大是一個(gè)延伸的、正在進(jìn)行的概念，還是一個(gè)已經(jīng)完成的概念，在數(shù)學(xué)界有很大爭(zhēng)論。

    　無(wú)窮大是什么呢？〇和無(wú)窮大放到一塊就是道。馮士筰院士說(shuō)，這是把上帝人格化的觀念。把上帝人格化非常麻煩，因?yàn)槊滋m·昆德拉的小說(shuō)里就描寫(xiě)了歐洲的神學(xué)家曾經(jīng)長(zhǎng)期爭(zhēng)論的一個(gè)問(wèn)題——耶穌進(jìn)不進(jìn)衛(wèi)生間？人格化了就有這個(gè)問(wèn)題。伊斯蘭教則并不把真主人格化，因?yàn)樗J(rèn)為這是一個(gè)觀念。我在新疆的時(shí)候和一個(gè)五六歲的農(nóng)村小女孩聊天，我說(shuō)，真主在天上，她告訴我說(shuō)：老王，真主并不在天上，真主在我們每個(gè)人的心里。道也有這樣的特點(diǎn)，它是一個(gè)概念，同時(shí)它高于一切。道是沒(méi)有形象的，它是規(guī)律、本體，取之不竭，用之不盡。 “天地之間，其猶橐龠乎”，就像皮口袋的風(fēng)箱一樣，就這么拉來(lái)拉去，永遠(yuǎn)沒(méi)個(gè)完，這特別具有無(wú)窮大的特色。所以，數(shù)學(xué)里面，一個(gè)是“〇”，一個(gè)是“一”，一個(gè)是“無(wú)窮大”，這都是哲學(xué)，都是人生的符號(hào)，甚至是神學(xué)的符號(hào)。

    　對(duì)于神學(xué)，并不是說(shuō)我們一定要相信教會(huì)，對(duì)于神學(xué)的經(jīng)典定義，就是終極關(guān)懷、終極眷顧，就是不可能用現(xiàn)世、經(jīng)驗(yàn)說(shuō)明一切。我們?nèi)说慕?jīng)驗(yàn)是有限的，沒(méi)有無(wú)窮大，但是，根據(jù)人們構(gòu)造反義詞的原理，我們感悟到有限以外還有無(wú)限。〇和無(wú)窮大之間，有和無(wú)之間，形成了各種悖論。數(shù)學(xué)悖論說(shuō)到底也是一個(gè)〇和無(wú)窮大之間的悖論，因?yàn)?，既然是〇，你永遠(yuǎn)是〇，可是無(wú)窮大了以后又不完全是〇。數(shù)學(xué)悖論里最基本的問(wèn)題是說(shuō)，如果你承認(rèn)有，那〇也是一種有的方式。如果〇變成了有的方式，就太受鼓舞了。我一想到這個(gè)，對(duì)于歲數(shù)越活越大，到最后要駕鶴西去，我都不害怕了，因?yàn)椹栆彩且环N存在的方式，〇也是一個(gè)數(shù)字，〇也是有。當(dāng)一個(gè)人去世以后，我們說(shuō)某某人千古，什么意思呢？他變成〇了，進(jìn)入了永恒，即無(wú)窮（大）了。〇是無(wú)，同時(shí)又是有，而且通向無(wú)窮、通向永恒、通向終極。把無(wú)與有連通起來(lái)，這是什么呢？這是數(shù)學(xué)、神學(xué)、文學(xué)、哲學(xué)、詩(shī)學(xué)，也是藝術(shù)，是人類(lèi)生命的最大痛苦，也是最大滿足。生命是什么？與〇相比，它是無(wú)窮；與無(wú)窮相比，它是〇。

    　本來(lái)的“無(wú)”，沒(méi)有無(wú)窮大就沒(méi)有“有”；本來(lái)的“有”，沒(méi)有與無(wú)的比照就沒(méi)有永恒與無(wú)窮，而沒(méi)有無(wú)窮大就沒(méi)有無(wú)。無(wú)窮大與〇，這是多么激動(dòng)人心的終極觀。這就是激情，這就是膜拜，這就是終極，這就是折磨、糾結(jié)、一切悖論的母親與爆炸。傳染病的〇報(bào)告同樣是疫情報(bào)告，〇疫情也是疫情?。∪绻艺f(shuō)無(wú)，那么無(wú)會(huì)不會(huì)無(wú)呢？無(wú)無(wú)了，那不就變成有了嗎？這不就是人生最大的悖論嗎？如果我說(shuō)相信有，那么無(wú)不也是應(yīng)該相信的有嗎——無(wú)是可能無(wú)的，有也是可能無(wú)的。有當(dāng)然是可能有的，但是無(wú)就變成可能有了。這一下子整個(gè)世界都活了。這就是上帝，我說(shuō)的這個(gè)上帝是完全不進(jìn)衛(wèi)生間的終極。當(dāng)有了終極以后，無(wú)、有、生、死、存在、規(guī)律、本體、抽象，就都被激活了，這真讓人感到無(wú)限的幸福。

    （本文節(jié)錄自2013年12月13日王蒙、馮士筰、方奇志、徐妍在中國(guó)海洋大學(xué)的對(duì)談。由溫奉橋、王婷婷根據(jù)錄音整理，經(jīng)王蒙修訂，摘自《讀書(shū)》）

你甚至可以做成這樣的效果：

有人會(huì)說(shuō)是1，因?yàn)樗律硪蝗?。有人?huì)說(shuō)是0，因?yàn)樗鼪](méi)有任何存在感。有人會(huì)說(shuō)是214，有人會(huì)說(shuō)是419（咦）。這些都是字面上的直接聯(lián)想，因人而異，很難說(shuō)哪個(gè)比哪個(gè)更加孤獨(dú)。

然而對(duì)一個(gè)學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，確實(shí)存在一個(gè)最“孤獨(dú)”的數(shù)。這個(gè)數(shù)就是所謂的黃金分割率φ。許多人說(shuō)它是最美的數(shù)，美不美這種事情是一個(gè)主觀概念——但我們能從數(shù)學(xué)上證明，它是最“無(wú)理”的數(shù)，最難以接近的數(shù)，因而在這個(gè)意義上，是最孤獨(dú)的數(shù)。

越走越近，卻永遠(yuǎn)不能在一起

一個(gè)無(wú)理（irrational）數(shù)有很多種表現(xiàn)方式。我們最熟悉的是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的形式，每多寫(xiě)下一位數(shù)，就是用一個(gè)更加精確的有理（rational）數(shù)去逼近它。當(dāng)然，這個(gè)過(guò)程永遠(yuǎn)到不了盡頭。

但是無(wú)理數(shù)也可以用分?jǐn)?shù)的形式表現(xiàn)，只不過(guò)這個(gè)分?jǐn)?shù)也是無(wú)窮無(wú)盡的——這就需要“連分?jǐn)?shù)”。不要怕，這里的全部數(shù)學(xué)只是加減乘除和通分，不超過(guò)小學(xué)五年級(jí)。

先用一個(gè)有理數(shù)作為例子：1024/137，約等于7.47445255。

第一級(jí)近似：7，于是它變成了 7 + 65/137。

第二級(jí)近似：把第一級(jí)留下的分?jǐn)?shù)倒過(guò)來(lái)，137/65 近似是2，于是它變成了 2 + 7/65，于是開(kāi)始的那個(gè)數(shù)字就變成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。

第三級(jí)近似：對(duì)7/65進(jìn)行類(lèi)似處理，以此類(lèi)推。

最后得到的結(jié)果是

或者，省去那些多余的1，可以表達(dá)為 [7; 2, 9, 3, 2]。

能夠證明，每一個(gè)有限的連分?jǐn)?shù)都代表一個(gè)有理數(shù)，而每一個(gè)有理數(shù)能且只能表示成兩種形式的連分?jǐn)?shù)（要求第一個(gè)系數(shù)是整數(shù)，剩下的全是正整數(shù)）。比如上面那個(gè)數(shù)也可以表示為 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除這兩種之外再?zèng)]有別的寫(xiě)法了。

同樣的步驟完全適用于無(wú)理數(shù)，但這時(shí)得到的連分式就會(huì)一直延續(xù)下去。比如，π的連分式可以表示為

或者用簡(jiǎn)化的表達(dá)式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。這個(gè)數(shù)列在“整數(shù)數(shù)列線上大全”（OEIS）中的編號(hào)是A001203。

使用連分?jǐn)?shù)來(lái)逼近，就會(huì)遇到一個(gè)“逼近速度”的問(wèn)題：每前進(jìn)一步，近似值向精確值靠近了多少呢？

回到π的例子。我們先看第一位近似——7。忽略后面剩下的：

π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...

熟悉嗎？這就是當(dāng)年祖沖之發(fā)現(xiàn)的“約率”。

如果接下來(lái)看到第三位近似:

π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929...

也即祖沖之的“密率”。二者都是對(duì)π的極好的近似。

這就是連分?jǐn)?shù)的一個(gè)神奇屬性：當(dāng)你得到一個(gè)連分?jǐn)?shù)后，你就自動(dòng)獲得了“最快”的逼近精確值的方式。這有點(diǎn)違反直覺(jué)——當(dāng)你用7作為分母的時(shí)候，最小的單位就是1/7，那么誤差范圍應(yīng)該是1/14以內(nèi)吧？實(shí)際上，使用連分?jǐn)?shù)獲得的誤差范圍不是1/14以內(nèi)，而是1/49以內(nèi)！ 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。

更一般地，假如一個(gè)無(wú)理數(shù)α，它的某一步連分式展開(kāi)后變成了 p / q 的形式，那么一定有

| α - p/q | < 1 / q^2

而且， 這一定是當(dāng)前最好的精確值，任何比它更精確的分式都一定需要更大的分母。π的前三級(jí)展開(kāi)，分別是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范圍內(nèi)一定找不到比7更好的，1-112的范圍內(nèi)一定找不到比113更好的。但是，7卻比8、9、10……都要好。因此可以說(shuō)，連分?jǐn)?shù)在某種意義上揭示了一個(gè)無(wú)理數(shù)的深層結(jié)構(gòu)。

那么回到我們開(kāi)始的問(wèn)題。最快的逼近速度有多快？從上面的公式可以看出來(lái)，這完全取決于連分式里具體的每個(gè)數(shù)——數(shù)字越大逼近越快，數(shù)字越小逼近越慢。祖沖之能發(fā)現(xiàn)約率和密率，部分原因是因?yàn)樗\(yùn)氣好，π開(kāi)頭的這倆數(shù)正好都不小，所以能給出很漂亮的逼近。

而最小的正整數(shù)，當(dāng)然就是1了。

如果有這樣一個(gè)數(shù)：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]

或者，

你肯定猜到了，這就是傳說(shuō)中的黃金分割數(shù)φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就會(huì)得到另一個(gè)常見(jiàn)形式：0.618... 而這兩個(gè)數(shù)正好互為倒數(shù)。從連分式這個(gè)形式就能看出來(lái)為什么。

我們?cè)囍平幌?，得到的?/FONT>