反函數(shù)定理本詞條缺少概述、信息欄、名片圖，補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容使詞條更完整，還能快速升級，趕緊來編輯吧！
1基本概況在數(shù)學(xué)中，反函數(shù)定理給出了向量值函數(shù)在含有定義域中一點(diǎn)的開區(qū)域內(nèi)具有反函數(shù)的充分條件。該定理還說明了反函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)存在，并給出了一個公式。反函數(shù)定理可以推廣到定義在流形上、以及定義在無窮維巴拿赫空間（和巴拿赫流形）上的映射。大致地說，C1函數(shù)F在點(diǎn)p可逆，如果它的雅可比矩陣JF(p)是可逆的。
2定義該定理說明如果從Rn的一個開集U到Rn的連續(xù)可微函數(shù)F的全導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)p可逆（也就是說，F(xiàn)在點(diǎn)p的雅可比行列式不為零），那么F在點(diǎn)p的附近具有反函數(shù)。也就是說，在F(p)的某個鄰域內(nèi)，F(xiàn)的反函數(shù)存在。而且，反函數(shù)F -1也是連續(xù)可微的。在無窮維的情況中，需要弗雷歇導(dǎo)數(shù)在p附近具有有界的反函數(shù)。
最后，定理說明：
 其中表示逆矩陣，而JG(q)是函數(shù)G在點(diǎn)q的雅可比矩陣。
這個公式還可以從鏈?zhǔn)椒▌t推出。鏈?zhǔn)椒▌t說明，如果G和H是兩個函數(shù)，分別在H(p)和p具有全導(dǎo)數(shù)，那么：
J（G。H）（P）=JG（H（P)）*Jh(P)
設(shè)G為F，H為F -1，
（G。H）就是恒等函數(shù)，其雅可比矩陣也是單位矩陣。在這個特殊的情況中，上面的公式可以對Jf-1(F(p))求解。注意鏈?zhǔn)椒▌t假設(shè)了函數(shù)H的全導(dǎo)數(shù)存在，而反函數(shù)定理則證明了F-1在點(diǎn)p具有全導(dǎo)數(shù)。
F的反函數(shù)存在，等于是說方程組yi = Fj(x1,...,xn)可以對x1，……，xn求解，如果我們把x和y分別限制在p和F(p)的足夠小的鄰域內(nèi)。
3例子考慮從R2到R2的向量值函數(shù)，定義為：
 那么雅可比矩陣為：
 其行列式為：
 行列式e2x處處不為零。根據(jù)反函數(shù)定理，對于R2中的每一個非零點(diǎn)p，都存在p的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)F具有反函數(shù)。
方法和證明
作為一個重要的結(jié)果，反函數(shù)定理已經(jīng)有許多證明。在教科書中最常見的證明依靠了壓縮映射原理，又稱為巴拿赫不動點(diǎn)定理。（這個定理還可以用于證明常微分方程的存在性和唯一性）。由于這個定理在無窮維（巴拿赫空間）的情形也適用，因此它可以用來證明反函數(shù)定理的無窮維形式（參見下面的“推廣”）。
另外一個證明（只在有限維有效）用到了緊集上的函數(shù)的極值定理。
還有一個證明用到了牛頓法，它的好處是提供了定理的一個有效的形式。也就是說，給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的特定界限，就可以估計函數(shù)可逆的鄰域的大小。
4推廣流形反函數(shù)定理可以推廣到可微流形之間的可微映射。在這個情形中，定理說明對于可微映射F : M → N，如果F的導(dǎo)數(shù)
(dF)p : TpM → TF(p)N
在M內(nèi)的某個點(diǎn)p是線性同構(gòu)，那么存在p的一個開鄰域U，使得：
F|U : U → F(U)
是微分同胚。注意這意味著M和N的維數(shù)必須相同。
如果F的導(dǎo)數(shù)在M內(nèi)的所有點(diǎn)p都是同構(gòu)，那么映射F就是局部微分同胚。
巴拿赫空間反函數(shù)定理還可以推廣到巴拿赫空間之間的可微映射。設(shè)X和Y為巴拿赫空間，U是X內(nèi)的原點(diǎn)的一個開鄰域。設(shè)F : U → Y連續(xù)可微，并假設(shè)F在點(diǎn)0的導(dǎo)數(shù)(dF)0 : X → Y是從X到Y(jié)的有界線性同構(gòu)。那么在Y內(nèi)存在F(0)的一個開鄰域V，以及一個連續(xù)可微的映射G : V → X，使得對于V內(nèi)的所有y，都有F(G(y)) = y。而且，G(y)是方程F(x) = y的唯一足夠小的解x。
在函數(shù)是X和Y之間的雙射的簡單情況中，函數(shù)具有連續(xù)的反函數(shù)。這可以從開映射定理立即推出。
巴拿赫流形在巴拿赫流形的反函數(shù)定理中，可以把上面的兩個推廣結(jié)合起來。
常秩定理 |
|
|
