一直在看，一直不懂。 我這人學(xué)數(shù)學(xué)的毛病，就是需要非常細(xì)致的知道每個(gè)變量的含義，誰(shuí)變誰(shuí)不變必須清清楚楚告訴我，否則我就沒(méi)有那個(gè)直覺(jué)。 anyway，從這篇文章入手吧：

http://www.cs./~welch/kalman/media/pdf/kalman_intro_chinese.pdf

所謂濾波，實(shí)際上是要去掉自己不想要的信號(hào)，保留想要的部分。一般來(lái)說(shuō)，是把過(guò)程中的噪聲去掉。

卡爾曼濾波的默認(rèn)假定是，世界充滿噪聲，任何測(cè)量結(jié)果都有噪聲，狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程會(huì)有噪聲，你想知道系統(tǒng)的真實(shí)值么？玩兒蛋去吧。

卡爾曼濾波另一個(gè)重要假定模型是這樣的，一個(gè)系統(tǒng)會(huì)處在各種不同的狀態(tài)，并且會(huì)在狀態(tài)之間轉(zhuǎn)化來(lái)轉(zhuǎn)化去。但是呢，倒霉的是我們誰(shuí)也不知道該系統(tǒng)當(dāng)前到底是在什么狀態(tài)；但是呢，幸運(yùn)的是我們可以通過(guò)測(cè)量的結(jié)果猜測(cè)到系統(tǒng)當(dāng)前在一個(gè)什么狀態(tài)。

那啥叫狀態(tài)呢？例如系統(tǒng)的速度，加速度，溫度，腦殘度都算。離散系統(tǒng)的話，我們可以假設(shè)一個(gè)黑盒，黑盒里有許多顏色的燈（紅橙黃綠青藍(lán)紫），同時(shí)只能有一個(gè)顏色在亮著，ok，哪個(gè)燈在亮就是當(dāng)前狀態(tài)。

下面就是建模：

z_t = H*x_t + v_t;   (1)

x_t = A*x_(t-1) + B*u_(t-1) + w_(t-1);  (2)

初看起這倆式子來(lái)，我也頭大，不過(guò)稍微分析一下也不太難。x_t是t時(shí)刻系統(tǒng)所在狀態(tài)，z_t是所謂觀測(cè)值，u_t是系統(tǒng)控制變量（已知，但我做的領(lǐng)域一般用不著），w_t , v_t都是噪聲。 

那么式子(1)就是想說(shuō)，觀測(cè)值和系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系： 如果你看到種子發(fā)芽了，那么它的狀態(tài)就是剛出生；如果你看到它開(kāi)始長(zhǎng)葉兒了，那狀態(tài)就叫生長(zhǎng)期；如果丫開(kāi)花了，就叫啥啥期；如果結(jié)果了，就叫成熟期；如果蔫兒了，就叫嗝屁期。 

哦，對(duì)了，個(gè)人理解一下，以上公式限定為了線性系統(tǒng)，傳說(shuō)中卡爾曼濾波是線性的，來(lái)源就在這里了，誰(shuí)叫你是矩陣乘向量呢，你要是寫成f(x_t)，那有可能就是非線性的了。

那么式子(2)就是說(shuō)，前一時(shí)刻狀態(tài)和下一時(shí)刻狀態(tài)之間的關(guān)系。我在這里卡了好久，總是以為丫是馬爾科夫過(guò)程，所以就完全無(wú)法理解A這個(gè)系數(shù)是憑啥得來(lái)的。其實(shí)，就是一個(gè)固定的轉(zhuǎn)移方程，該方程完全沒(méi)有概率問(wèn)題。

所 以！以上式子中，固定下來(lái)的是H, A, B，這三個(gè)矩陣千年不變，萬(wàn)年不變，并且是事先設(shè)定好的，全都已知。未知的話....你自己編一個(gè)模型吧。 那么w_t，v_t 在這里限定為兩個(gè)高斯白噪聲N(0, Q)和N(0, R)。 哦，對(duì)，這里要記得，Q,R都tm是協(xié)方差矩陣啊，因?yàn)?，系統(tǒng)狀態(tài)和觀測(cè)值都是向量。我對(duì)協(xié)方差可郁悶可郁悶了。這里提一句，我就完全無(wú)法理解協(xié)方差想表達(dá)什么，為什么倆隨機(jī)變量獨(dú)立，協(xié)方差一定為0，雖然我也知道怎么推導(dǎo)，但就是不能直觀理解之，如果有人知道，還煩請(qǐng)告知。

那 繼續(xù)扯淡?？柭鼮V波，本質(zhì)是想要預(yù)測(cè)下一步的觀測(cè)值，或者實(shí)時(shí)監(jiān)控一下系統(tǒng)所在狀態(tài)。但一般在我這個(gè)領(lǐng)域，大家還都是在玩兒預(yù)測(cè)，那咱就從預(yù)測(cè)角度分 析。OK，直覺(jué)上，給定上一個(gè)位置的狀態(tài)x_(t-1)，式子(2)足夠了。但是，回到開(kāi)始的默認(rèn)假設(shè)，式子(2)得到的結(jié)果x^-_t那是各種不準(zhǔn)確 啊。不準(zhǔn)確怎么辦？那就去看觀測(cè)值唄，于是得到觀測(cè)值z(mì)_t，但是觀測(cè)值也不準(zhǔn)確唉，那怎么辦？當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，卡爾曼告訴我們一個(gè)灰常牛B的事情，一個(gè)相對(duì)準(zhǔn) 確的系統(tǒng)值具有如下結(jié)構(gòu)：

x&_t = x&-_t + K( z_t - H*x_(t-1) );  (3)

提 一下，這里" & "表示估計(jì)值，" - "表示是用前面式子算出來(lái)的估計(jì)值，不帶" - "表示是最后的估計(jì)值。 (3)這個(gè)式子是想說(shuō)，你不是式子估計(jì)和觀測(cè)值都不準(zhǔn)么，那么你把他倆加個(gè)權(quán)，求個(gè)和，那就可能更準(zhǔn)確了。啥？你說(shuō)這個(gè)式子不像加權(quán)？你把丫拆了，倒騰倒 騰不就像了。 所以，最牛B就牛B在了這個(gè)“K”，傳說(shuō)中的卡爾曼增益。 這個(gè)K怎么得到的？我也不知道。 文章說(shuō)法是，定義誤差 e_t = x_t - x&_t ，P_t為此誤差的協(xié)方差矩陣，目的是使這個(gè)誤差協(xié)方差矩陣最小化，把(3)代過(guò)去，于是折騰來(lái)折騰去，再求個(gè)導(dǎo)數(shù)為0，解得K，這個(gè)關(guān)鍵值的算法：

K = P-_t * H^T * ( H * P-_t * H^T + R) ^(-1);  (4)

哦，對(duì)了，另外注意一點(diǎn)，從此以后，我們就都在估計(jì)上做文章了，你只要記得，咱永遠(yuǎn)看不到真實(shí)值就行了，于是我們的式子里不是帶"&"就是帶"-"。

那么式子(4)就是在說(shuō)，你丫這么著就把K求出來(lái)了。于是，問(wèn)題就變成了這個(gè)P-_t怎么個(gè)求法。

說(shuō)到這里，傳說(shuō)中的卡爾曼濾波就算講完了。神馬？你說(shuō)P-_k還沒(méi)求呢。是啊，卡爾曼濾波一共就倆需要求的玩意兒，還都tm是迭代求解，一個(gè)就是這個(gè)P-_t，另一個(gè)就是狀態(tài)x-_t。你隨便給個(gè)初始值，然后就迭著吧。

言歸正傳，我還得給出迭代的公式：

x-_t = A * x&_(t-1) + B * u_(t-1);  (5)

P-_t = A * P_(t-1) * A^T + Q;    (6)

大家一定別搞混Q和R誰(shuí)是哪個(gè)公式冒出來(lái)的啊。 另外嚴(yán)重關(guān)切一下這里"-","&"以及不加的關(guān)系。 注意到啥沒(méi)有？對(duì)了，(6)式中等號(hào)右邊的P_(t-1)不帶任何符號(hào)，嘿嘿，那自然是還差一個(gè)公式啦：

P_t = (I - K_t * H ) P-_(t-1);   (7)

大功告成，以上就是傳說(shuō)中的卡爾曼濾波的迭代求解方法，如果你要預(yù)測(cè)狀態(tài)呢，就用式子(5)的結(jié)果；如果預(yù)測(cè)觀測(cè)值呢，就把式子(5)的結(jié)果乘個(gè)H；如果是監(jiān)測(cè)狀態(tài)呢，就用式子(3)的結(jié)果。

至于一切式子中的推導(dǎo)過(guò)程，還有為神馬是這樣求出來(lái)的，咕~~(╯﹏╰)b，本人一概不知。淚奔告退。

最 后小注一下，文章指出，如果Q,R是常數(shù)，K會(huì)收斂，也即P也會(huì)收斂到常量。 另外，大家經(jīng)常詬病卡爾曼濾波都是假定高斯分布，我勒個(gè)去，這里的高斯分布到底說(shuō)誰(shuí)呢？噪聲項(xiàng)？雖然看上去應(yīng)該是，但我打賭不是?？墒瞧渌侄际嵌ㄖ?， 唉，頭大。我本來(lái)就是為了理解這句話才來(lái)學(xué)習(xí)卡爾曼濾波的。 還得慢慢學(xué)，繼續(xù)淚奔 。

PS, 于是，果然，文中提到x_t是一個(gè)隨機(jī)變量，并且在已知z_t的情況下 p(x_t | z_t) 服從N( x&_t, E[(x_t - x&_t)(x_t - x&_t)])，切記切記，這里所說(shuō)的正態(tài)分布，是指已知觀測(cè)值的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)是一個(gè)高斯分布的隨機(jī)變量。