“奇文共欣賞，疑義相與析”，這兩句詩是晉代著名作家和詩人陶淵明在第一首《移居》詩中的最后兩句，意思是共同欣賞詩文、分析疑難之意.2011年高考已落下帷幕，其中全國大綱卷理科第12題似曾相識(shí)，原來該題與08浙江卷理科第9題和10年浙江卷理科第16題，都是以平面向量為背景的最值問題， 雖然題設(shè)條件各異構(gòu)思各有千秋，但命題都以能力立意，重點(diǎn)考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決問題的能力，其解題入口較寬方法多樣，對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考查具有異曲同工之妙，“佳題共頎賞，解法相與析”，下面將這三道考題及其解法一一呈現(xiàn)出來與大家分享.

考題1（08年浙江卷理科第9題）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（    ）

解法1（代數(shù)法）依題意，由得，，所以 .又，所以有即，解得，故選.

點(diǎn)評(píng) 代數(shù)法的難點(diǎn)和關(guān)鍵是要將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，最終將等式轉(zhuǎn)化為不等式從而使問題獲解.

解法2（坐標(biāo)法）作， 并分別以作為軸，則，設(shè)，于是，整理得點(diǎn)的軌是一個(gè)圓.所以表示該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值是該圓的直徑，故選擇.

點(diǎn)評(píng)  本解法通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)， 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將向量問題代數(shù)化幾何化，從而使問題得以解決.

解法3（幾何法）如圖1，作，則

，，依題意，所以               

四點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，故選.

   　　　　 圖1

點(diǎn)評(píng)  該解法將向量問題幾何化，以形助數(shù)解法直觀簡(jiǎn)明.

考題2（10年浙江卷理科第16題）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是＿＿

解法1（代數(shù)法）因?yàn)?/span>，所以，又與的夾角為，故有，即，因?yàn)檫@個(gè)關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根，所以，

解得又，又，故的取值范圍是.

解法2（坐標(biāo)法）如圖2，作平行四邊形，使，

   　　圖2

由向量加法的平行四邊形法則知，.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，

依題意，則，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng) 本解法綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想和化歸轉(zhuǎn)化思想，靈活運(yùn)用坐標(biāo)法，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，將求的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題致使問題順利解決.

解法3  如圖2，在直角坐標(biāo)系中作，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在單位圓上.又，而與的夾角為，故直線的傾斜角為，則其斜率為，故直線為，因該直線與單位圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，解得，故的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)  本解法根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離不大于半徑列不等式，從而求出取值范圍.

解法4（幾何法）如圖2，作平行四邊形，使，由向量加法的平行四邊形法則知，，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心半徑為1中心角為的弧上（端點(diǎn)除外）.由圖可知當(dāng)與圓相切于點(diǎn)時(shí)最大，其值為，故的取值范圍是.

評(píng)析  本解法是極富創(chuàng)新意識(shí)的構(gòu)造性解法，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造圖形，并讓部分圖形動(dòng)起來，使問題變成一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問題，然后觀察圖形的運(yùn)動(dòng)變化，從而得出問題的直觀解法.

考題3（2011年高考全國大綱卷理科第12題）設(shè)向量滿足，則的最大值等于(  )

命題意圖與參考答案如下：

【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積知識(shí)與均值不等式的綜合運(yùn)用能力，能夠有效地考查考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況以及應(yīng)用能力.

【解析】依題意得，.一方面，由向量數(shù)量積的法則得，;另一方面，由向量數(shù)量積的定義及均值不等式得，，所以，于是有

，即，解得，即的最大值是2，故選.

       上述解法的核心部分是，將最值問題轉(zhuǎn)化為不等式求解，其中用到了均值不等式、數(shù)量積不等式以及解不等式等有關(guān)知識(shí)，對(duì)能力要求較高.下面我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)向量的模、夾角、減法運(yùn)算和數(shù)量積的幾何意義構(gòu)造平面幾何圖形，將向量問題幾何化給出該題的一個(gè)直觀解法.

【另解】如圖3，作，并使，

              圖3

以為弦作弧并使該弧所含圓周角為，設(shè)點(diǎn)為弧上任意一點(diǎn)(除外)，則，設(shè)，則，所以.由圖知當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，最大其值為弧所在圓的直徑，易求得，由正弦定理  得，，故選.

向量集數(shù)與形于一身，是考查向量知識(shí)和數(shù)形結(jié)合思想的絕好載體，倍受命題人青睞，這三道不同年度的高考題如同云南的“三道茶”各具特色耐人品味.數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚有詩云:“數(shù)缺形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題過程的目的.