2011年高考山東理科第22題，是一道以橢圓為背景考查定值問題、最值問題和存在性問題的解析幾何壓軸題，重點考查推理運算能力和數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。本文筆者嘗試對該題的結(jié)論作一般化推廣，并對其背景作深度挖掘和溯源解析，與讀者交流。

題目 已知直線與橢圓交于兩不同點，且面積，其中為坐標(biāo)原點。（Ⅰ）證明和均為定值；（Ⅱ）設(shè)線段的中點為，求的最大值；（Ⅲ）橢圓上是否存在三點，使得若存在判斷的形狀；若不存在，請說明理由。

 一、推廣與簡解

可求得，的最大值為，筆者對此結(jié)論作一般化推廣可得橢圓有如下性質(zhì):

性質(zhì)  已知直線與中心為的橢圓相交于，兩點，

則（1）的面積最大值為，且當(dāng)時，有；

（2）若線段的中點為，則的最大值為。

簡解（1）設(shè)是直線上任意一點，則，又，因三點共線，所以，所以，此即為直線的方程。故點到直線的距離為。

所以。

點評  常規(guī)解法是先對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為斜截式，與橢圓方程聯(lián)立組成方程組，然后利用根與系關(guān)系、弦長公式和點到直線距離公式進(jìn)行求解，由于涉及字母多運算量較大解答繁瑣。本解法運用三點共線充要條件的向量表示得到直線的一般方程，首先，避免了對斜率存在性的討論，充分顯示了向量在解決直線問題中的特有魅力；其次，求直線的方程與求直線的方程相比，求解過程簡單得出的方程也簡單；其三，受思維定勢影響，習(xí)慣以為底邊以點到直線的距離為底邊上的高來計算的面積。本解法以追求簡單為目標(biāo)，靈活選擇以為底邊以點到直線的距離為底邊上的高來計算的面積，顯然運算量小達(dá)到了以簡馭繁的效果。

法1（用不等式性質(zhì)）因，兩式相加并利用重要不等式和絕對值三角不等式得，，

故。當(dāng)且僅當(dāng)滿足①，且 ②，且異號③時等號成立。

所以，故的面積最大其值為。

由①②得，，即。

法2（用橢圓參數(shù)方程）設(shè)，，則。等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。不妨設(shè)，因為，所以或，所以，故。

（2）法1 由中點坐標(biāo)公式得，所以有

。

同樣可得，。

故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

所以的最大值為。

法2  因為

，

所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。所以的最大值為。

由性質(zhì)知，題設(shè)中面積為的恰好是兩點在橢圓上另一點為中心的面積最大的三角形，可見這一條件是命題人精心設(shè)計的真可謂匠心獨運。

二、背景溯源

下面筆者對上述性質(zhì)中的（1）再給出一個較為直觀的解法。

當(dāng)時，則點為橢圓短軸的一個端點，顯然當(dāng)點為長軸的一個端點時，的面積最大其值為。

當(dāng)時，直線的方程為即。由圖形直觀知，要的面積最大，則橢圓在點處的切線必平行于直線，設(shè)切線方程為，因為，所以，將其代入橢圓方程得整理得，。

由化簡得，，所以，故點到直線距離的最大值為，故的面積最大值為。

實際上，當(dāng)的面積取得最大值時，若直線的斜率存在，由性質(zhì)1第一問的橢圓參數(shù)方程解法知，，即是橢圓的兩條共軛半徑。對于橢圓的共軛問題有如下性質(zhì)（本文僅對性質(zhì)7進(jìn)行證明）。

性質(zhì)1  經(jīng)過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑，若是橢圓的一條直徑，在橢圓上作與平行的弦，

則弦中點的軌跡是橢圓的一條直徑，我們稱直徑是的共軛直徑，與平行的任一弦叫做的共軛弦。

與兩共軛直徑分別平行的弦或半徑也共軛。顯然，橢圓的長軸和短軸是一對共軛直徑，任意一對長半軸和短半軸是一對共軛半徑。

性質(zhì)2  橢圓的長軸和短軸是橢圓的唯一的一對互相垂直的共軛直徑。

若、是橢圓的一對非互相垂直的共軛直徑，則。

性質(zhì)3  若是橢圓的非直徑的弦，點是上一點，直線的斜率都存在，

且滿足，則點是弦的中點，即共軛。

性質(zhì)4  若是橢圓的非直徑的弦，過弦中點的直線和的斜率都存在，

且滿足，則直線過橢圓的中心。

性質(zhì)5  已知是中心為的橢圓的任一弦，則當(dāng)且僅當(dāng)半徑共軛時，

的面積最大其值為。

性質(zhì)6  已知是橢圓的任一直徑，點是異于的任意一點，

則當(dāng)且僅當(dāng)心半徑與直徑共軛時，的面積最大其值為。

性質(zhì)7  以橢圓的任意一對共軛直徑為對角線的四邊形的面積為定值，

且該值即為該橢圓內(nèi)接四邊形面積的最大值。

證明 （1）設(shè)是橢圓的一對共軛直徑，由上述定理易知。

（2）設(shè)是橢圓的任一內(nèi)接四邊形，連，作直徑（若為直徑，則與重合），

　　再作的共軛直徑，由（1）知。

由推論5知兩點到的距離之和小于或等于直徑的兩個端點到共軛直徑的距離之和，又顯然有。

所以有。

當(dāng)且僅當(dāng)且即當(dāng)四邊形的對角線是一對共軛直徑時面積最大，其值為。

圓是我們最熟悉的圖形，對于圓有如下概念和性質(zhì)：

（1）經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，若是圓的一條直徑，在圓上作與平行的弦，

則弦中點的軌跡是圓的一條直徑，并且這兩條直徑互相垂直。

（2）平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦。

（3）直徑的垂直平分線必過圓心。

（4）垂直弦的直徑必平分這條弦。

（5）已知是圓心為半徑為的圓的任一弦，則當(dāng)且僅當(dāng)半徑互相垂直時，的面積最大其值為。

（6）已知是圓心為半徑為的圓的任一直徑，點是異于的任意一點，

則當(dāng)且僅當(dāng)心半徑與直徑垂直時，的面積最大其值為。

（7）以半徑為的圓內(nèi)接四邊形中，對角線為直徑且互相垂直的四邊形面積最在其值為。

由此可見，橢圓有關(guān)共軛的諸性質(zhì)是我們耳熟能詳?shù)膱A的相應(yīng)性質(zhì)的類比和推廣。

　　參考文獻(xiàn)

　?、?/span>鄒生書.有心圓錐曲線與直徑相關(guān)的切線性質(zhì)[J].河北理科教學(xué)研究，2010（5）

　?、?/span>鄒生書. 由圓類比出有心曲線的幾個性質(zhì).人教網(wǎng)高中數(shù)學(xué)，2011年5月4日發(fā)表.