雞兔同籠與假設(shè)法（1）

雞兔同籠問(wèn)題是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中有幾只雞和幾只兔？”

雞、兔同籠問(wèn)題其實(shí)就是典型的給出兩個(gè)等量關(guān)系，求兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，在初中階段可以列二元一次方程組解題。而在小學(xué)階段主要是學(xué)習(xí)這類(lèi)問(wèn)題的算術(shù)解法，小學(xué)階段的許多算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類(lèi)問(wèn)題來(lái)求解，因此很有必要學(xué)習(xí)這類(lèi)問(wèn)題的解法。同時(shí)，熟悉此類(lèi)問(wèn)題數(shù)量關(guān)系，也為初中學(xué)習(xí)這類(lèi)問(wèn)題的代數(shù)解法打好基礎(chǔ)。

關(guān)于雞兔同籠問(wèn)題的解法，《孫子算經(jīng)》中記載的“砍足法” 新穎而奇特，令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已。思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣籠子里每有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。因此，現(xiàn)在腳的總只數(shù)（94÷2=）47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)：47－35＝12（只）；雞的只數(shù)就是：35－12＝23（只）了?？偨Y(jié)為公式就是：

兔的只數(shù)=總腳數(shù)÷2—總頭數(shù)；  雞的只數(shù)=總只數(shù)—兔的只數(shù)。

雞兔同籠問(wèn)題最常用的是假設(shè)法解題，即假設(shè)籠中全是雞（或全是兔），以此為突破口，展開(kāi)推理、計(jì)算。總結(jié)為公式就是：

（兔的腳數(shù)×總只數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）=雞的只數(shù) ；

 總只數(shù)－雞的只數(shù)=兔的只數(shù) 。

或：（ 總腳數(shù)－雞的腳數(shù)×總只數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）=兔的只數(shù)；

總只數(shù)－兔的只數(shù)=雞的只數(shù)。

低年級(jí)孩子學(xué)習(xí)比較簡(jiǎn)單的雞兔同籠問(wèn)題，還可以采取圖示法，引導(dǎo)孩子學(xué)會(huì)通過(guò)畫(huà)圖幫助解題。

補(bǔ)充例1：圖示法解題。

【題目】：

 雞兔同籠，共有9個(gè)頭，26只腳，籠中雞、兔各有多少只？

【解析】：

如下圖，我們先畫(huà)出9個(gè)圓圈表示9個(gè)頭，再給每個(gè)頭添上兩只腳（紅色斜線），共18只腳，26只腳中還多出8只腳，就是每只兔子少了兩只腳，再給每只兔子添上兩只腳（藍(lán)色斜線）：

從圖中可以看出：

9個(gè)頭，每個(gè)頭配兩只腳共有腳：2×9=18（只）；

剩下腳：26-18=8（只）；

每只兔子需要補(bǔ)上2只腳，所以籠中有兔子：8÷（4-2）=4（只）；

所以籠中有雞：9-4=5（只）。

【題目】：

 演藝廳共有座位200個(gè)，高檔的座位票每張40元，中檔座位票每張25元。已知高檔座位票比中檔座位票的總價(jià)少1100元。問(wèn)該演藝廳的高檔、中檔座位各有多少個(gè)？

【解析】：

假設(shè)演藝廳200個(gè)座位都是中檔票，則中檔票總價(jià)為：25×200=5000（元），高檔票總價(jià)為0元，高檔座位票總價(jià)比中檔座位票少5000元。與實(shí)際高檔座位票比中檔座位票的總價(jià)少1100元，相差：5000-1100=3900（元）。這里相差的3900元，就是因?yàn)橐恍└邫n座位票的當(dāng)成中檔座位票計(jì)算了，每張高檔座位票算成中檔座位票，高檔座位票的價(jià)格就減少40元，中檔座位票的價(jià)格就增加25元，兩種票價(jià)的差額就增加：40+25=65（元）。

所以，誤算的高檔座位票有：3900÷65=60（張）。

所以中檔座位票有：200-60=140（張）。

【題目】：

一個(gè)集郵愛(ài)好者買(mǎi)了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個(gè)集郵愛(ài)好者買(mǎi)這兩種郵票各多少?gòu)垼?/span>

【解析】：

這一題郵票的單價(jià)和總價(jià)單位不一致，首先要換算成統(tǒng)一的單位，可以是元、角、分，選擇角作單位比較合適：10分=1角；20分=2角；18元8角=188角。

解法一：假設(shè)買(mǎi)100張1角的郵票，總值為100角，比實(shí)際總值減少：188-100=88（角）。每張2角的郵票假設(shè)成1角的郵票，總值就減少1角，因此共有2角郵票88張；有1角郵票：100-88=12（張）。

解法二：假設(shè)買(mǎi)100張2角的郵票，總值為200角，比實(shí)際總值增加：200-188=12（角）。每張1角的郵票假設(shè)成2角的郵票，總值就增加1角，因此共有1角郵票12張；有2角郵票：100-12=88（張）。

【題目】：

 三年級(jí)舉行智力競(jìng)賽，共有30道試題，規(guī)定做對(duì)一題得5分，不做或做錯(cuò)一題都倒扣3分。陳辰最終得了102分。問(wèn)他做對(duì)了多少題？

【解析】：

假設(shè)30道題全做對(duì)，可得分：30×5=150（分）；

比實(shí)際得分多了：150-102=48（分）；

每做錯(cuò)或不做一道題假設(shè)成做對(duì)，就由扣3分變成得5分，總分增加了：5+3=8（分）；

所以他做錯(cuò)題：48÷8=6（道）；做對(duì)題：30-6=24（道）。

【題目】：

 100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚每人吃4個(gè)，小和尚每4人吃一個(gè)，問(wèn)大和尚和小和尚各有多少人？

【解析】：

解法一：1個(gè)大和尚和4個(gè)小和尚一組，5個(gè)和尚共吃5個(gè)饅頭。100個(gè)和尚可以分成：100÷5=20（組）。

所以有大和尚20人；小和尚：20×4=80（人）。

解法二：一個(gè)大和尚能吃4個(gè)饅頭，相當(dāng)于16個(gè)小和尚吃的饅頭：4×4=16（人）；

假設(shè)都是小和尚吃100個(gè)饅頭，需要：100×4=400（人）；

比實(shí)際人數(shù)增加：400-100=300（人）；

每個(gè)大和尚看作小和尚，就增加了：16-1=15（人）；

所以有大和尚：300÷15=20（人）；

小和尚：100-20=80（人）。

【題目】：

 松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采20個(gè)，雨天每天只能采12個(gè)。它一連幾天材料112個(gè)松籽，平均每天采14個(gè)，問(wèn)這幾天當(dāng)中有幾天下雨?

【解析】：

 首先要求出松鼠媽媽采了多少天：112÷14=8（天）；

要求出雨天有幾天，應(yīng)假設(shè)8天都是晴天，可以先求出雨天的天數(shù)：

（8×20-112）÷（20-12）=6（天）。