盧卡斯數(shù)列

pphsy 2015-02-16

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盧卡斯數(shù)列

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盧卡斯數(shù)列是斐波那契數(shù)和盧卡斯數(shù)的推廣，以法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名。

遞推關(guān)系

給定兩個整數(shù)P和Q，滿足：

$P^2 - 4Q \neq 0$

則第一類盧卡斯數(shù)列U_n(P,Q)和第二類盧卡斯數(shù)列V_n(P,Q)由以下遞推關(guān)系定義：

$U_0(P,Q)=0 \,$

$U_1(P,Q)=1 \,$

$U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,$

以及

$V_0(P,Q)=2 \,$

$V_1(P,Q)=P \,$

$V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \,\, , \, n>1 \,$

代數(shù)關(guān)系

盧卡斯數(shù)列的特征方程是：

$x^2 - Px + Q=0 \,$

它的判別式是 D=P^2 - 4Q ，它的根是：

$a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad , \quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,$

注意a和b是不同的，因?yàn)?img doc360img-src='http://image82.360doc.com/DownloadImg/2015/02/1614/50241121_13.png' alt="D\ne 0." src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" style="border: none; vertical-align: middle; margin: 0px; display: inline-block;">

盧卡斯數(shù)列的項(xiàng)可以用a和b的項(xiàng)定義如下：

$U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}$

$V_n(P,Q)=a^n+b^n \,$

從中我們可以推出以下關(guān)系：

$a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{D}}{2}$

$b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{D}}{2}$

其他關(guān)系

不少斐波那契數(shù)和盧卡斯數(shù)所滿足的關(guān)系，在盧卡斯數(shù)列中也有類似的形式。例如：

一般	P=1, Q=-1
$U_n = \frac{V_{n+1} - Q V_{n-1}}{P^2-4Q}$	$U_n = \frac{V_{n+1} + V_{n-1}}{5}$
$V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}$	$V_n = U_{n+1} + U_{n-1}$
$U_{2n} = U_n V_n$	$U_{2n} = U_n V_n$
$V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n$	$V_{2n} = V_n^2 - 2(-1)^n$
$U_{n+m} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}$	$U_{n+m} = U_n U_{m+1} + U_m U_{n-1}$
$V_{n+m} = V_n V_m - Q^m V_{n-m} \,$	$V_{n+m} = V_n V_m - (-1)^m V_{n-m} \,$

特殊名稱

對于某些P和Q的值，盧卡斯數(shù)列有特殊名稱：

U_n(1,?1)：斐波那契數(shù)

V_n(1,?1)：盧卡斯數(shù)

U_n(2,?1)：佩爾數(shù)

U_n(1,?2)：Jacobsthal數(shù)

應(yīng)用

LUC是一個基于盧卡斯數(shù)列的密碼系統(tǒng)。

參考文獻(xiàn)

Ribenboim, Paulo. My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000. 0-387-98911-0.
Arthur T. Benjamin; Jennifer J. Quinn. Proofs that Really Count. Mathematical Association of America. 2003: 35. ISBN 0883853337.

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