1三角形的有關概念和性質

　　1。1三角形的內角和

　　在同一平面內，由一些不在同一條直線上的線段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形。組成多變形的那些線段叫做多邊形的邊。相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角。多變形的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做多邊形的外角。

　　三角形內角和定理：三角形三個內角和等于180

　　在原來圖形上添畫的線叫做輔助線

　　依據三角形內角的特征，對三角形進行分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形；銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形。

　　在直角三角形中，夾直角的兩邊叫做直角邊，直角的對邊叫做斜邊。

　　推論1直角三角形的兩個銳角互余

　　推論2三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

　　1。2三角形的有關線段

　　三角形一個角的平分線和對邊相交，角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線

　　連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線

　　從三角形的一個頂點向其對邊或對邊的延長線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高

　　2全等三角形

　　2。1全等三角形的證明

　　邊邊邊有三邊對應相等的兩個三角形全等

　　邊角邊有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等

　　角邊角有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等

　　定理有兩角及其其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

　　2。2直角三角形全等的判定

　　定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

　　3等腰三角形

　　3。1等腰三角形及其性質

　　三角形的三邊，有的三邊互不相等，有的有兩邊相等，有的三邊都相等。三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形，有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角

　　定理等腰三角形的底角相等

　　推論等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

　　定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形

　　定理一個三角形是等腰三角形的充要條件是這個三角形有兩個內角相等

　　等邊三角形定理1等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60

　　等邊三角形定理2三個角都相等的三角形是等邊三角形

　　等邊三角形定理3有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形

　　3。2線段的垂直平分線與角平分線

　　定理線段的垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

　　定理和一條線段兩個端點距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上

　　線段的垂直平分線可以看成是所有和線段兩段距離相等的點的集合

　　定理點在角平分線上的充要條件是這一點到這個角兩邊的距離相等

　　角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

　　3。3軸對稱

　　定義如果點A，B在直線l的兩側，且l是線段AB的垂直平分線，則稱點A，B關于直線l互相對稱，點A，B互稱為關于直線l的對稱點，直線l叫做對稱軸

　　定義在平面上，如果圖形F的所有點關于平面上的直線l成軸對稱，直線l叫做對稱軸

　　定義在平面上，如果存在一條直線l，圖形F的所有點關于直線l的對稱點組成的圖形，仍是圖形F自身，則稱圖形F為軸對稱圖形，直線l是它的一條對稱軸

　　定理（1）對稱軸上的任意一點與一對對稱點的距離相等（2）對稱點所連線段被對稱軸垂直平分

　　推論兩個圖形如果關于某直線稱軸對稱，那么這兩個圖形是全等形

　　3。4三角形中的不等關系

　　定理三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角

　　定理三角形任何兩邊的和大于第三邊

　　推論三角形任何兩邊的差小于第三邊

　　定理在一個三角形中，如果兩邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大

　　定理在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大

　　在一個三角形中，一條邊大于另一條邊的充要條件是，這條邊所對的角大于另一條邊所對的角

　　4直角三角形

　　4。1勾股定理逆定理

　　勾股定理逆定理如果三角形的三邊長a，b，c滿足條件a+b=c，那么c所對的角是直角

　　4。2含30角的直角三角形的性質

　　定理在直角三角形中，如果一個瑞角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

　　4。3直角三角形斜邊上中線的性質

　　定理在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

　　5基本作圖

　　5。1基本作圖

　　5。1作三角形

　　5。3軌跡與反證法

　　我們把物體按某種規(guī)律運動的路線叫做物體運動的軌跡

　　我們就把一個點在空間按某種規(guī)律運動的路線，叫做這個點運動的軌跡，這個點就叫做動點

　　定義具有性質a的所有點構成的集合，叫做具有性質a的點的軌跡

　　軌跡具有純粹性和完備性

　　基本軌跡1與兩個已知點距離相等的點的軌跡是連結這兩點的線段的垂直平分線

　　基本軌跡2與已知角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線

　　四邊形的常見定理

　　1多邊形

　　1。1多邊形

　　延長多邊形的任意一條邊，如果這個多邊形的其他各邊都在這些延長所得的直線的同旁，我們把這樣的多邊形叫做凸多邊形

　　在多變形中，連結不相鄰兩個定點的線段叫做多邊形的對角線

　　1。2多變形的內角和

　　多變形的內角和定理n邊形的內角和等于(n-2)*180

　　多邊形的外角和定理任意多邊形的外角和等于360

　　2平行四邊形

　　2。1平行四邊形的定義和性質

　　兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形

　　平行四邊形性質定理1平行四邊形的對邊相等

　　平行四邊形性質定理2平行四邊形的對角相等

　　定理夾在兩條平行線間的平行線段相等

　　同時垂直于兩條平行線的直線叫做這兩條平行線的公垂線，公垂線夾在平行線間的線段叫做公垂線段，兩條平行線間公垂線短的長叫做這兩條平行線間的距離

　　推論平行線間的距離處處相等

　　平行四邊形性質定理3平行四邊形對角線互相平分

　　2。2平行四邊形的判定

　　平行四邊形判定定理1兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

　　平行四邊形判定定理2兩組對角分別向等的四邊形是平行四邊形

　　平行四邊形判定定理3對角線互相評分的四邊形是平行四邊形

　　平行四邊形判定定理4一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

　　23特殊的平行四邊形

　　一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

　　矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

　　矩形性質定理2矩形的對角線相等

　　矩形的判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

　　舉行的判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

　　菱形的性質定理1菱形的四條邊都相等

　　菱形的性質定理2菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角

　　菱形的判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

　　菱形的判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

　　正方形性質定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

　　正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

　　2。4中心對稱

　　定理1成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都過對稱中心，并且被對稱中心平分

　　定理2中心對稱的兩個圖形是全等形

　　定理平行四邊形是中心對稱形，它的對稱中心是兩條對角線的交點

　　3梯形

　　3。1梯形

　　我們把一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形

　　梯形中，平行的兩邊叫做梯形的底，較短的底稱為上底，較長的底稱為下底，不平行的兩邊叫做梯形的腰

　　3。2等腰梯形與直角梯形

　　我們把兩腰相等的梯形叫做等腰梯形，把有一個角是直角的梯形叫做直角梯形

　　等腰梯形性質定理1等腰梯形在同一底上的兩個角相等

　　等腰梯形性質定理2等腰梯形的兩條對角線相等

　　等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

　　3。3四邊形的分類

　　3。4平行線等分線段定理

　　平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

　　推論1經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

　　推論2經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊

　　3。5三角形的中位線

　　連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線

　　三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半

　　三角形三條中線的交點叫做三角形的重心

　　3。6梯形的中位線

　　連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線

　　梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半