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【知乎用戶的回答(24票)】: 簡(jiǎn)單明了地告訴你結(jié)論：期望就是均值。 首先需要明確的一點(diǎn)是：只有隨機(jī)變量才有期望值。 何謂隨機(jī)變量？簡(jiǎn)單地說(shuō)，一個(gè)變量 
，它的取值是隨機(jī)遇而定的，即我們不能預(yù)先知道它取值多少。所以自然地，面對(duì)一個(gè)如此奇怪充滿未知的東西，我們希望用某些工具來(lái)刻畫它，對(duì)它的性質(zhì)有一點(diǎn)點(diǎn)了解，比如用分布函數(shù)，比如用期望方差偏度峰度等諸多統(tǒng)計(jì)量。 期望定義： 連續(xù)型隨機(jī)變量：
離散型隨機(jī)變量：
從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)奇怪的公式實(shí)際上就是求加權(quán)平均數(shù)。從這個(gè)定義告訴我們，期望就是平均數(shù)，是隨機(jī)變量各個(gè)取值對(duì)取這個(gè)值的概率的加權(quán)平均。如果我們知道
的分布函數(shù)，可以通過(guò)這個(gè)公式算出來(lái)它的期望。 但是現(xiàn)實(shí)情況往往不會(huì)那么好，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量
，我們經(jīng)過(guò)很多次觀察，獲得了一組觀察值
，并且我們對(duì)于它的分布不了解，不能直接計(jì)算出來(lái)期望。所以換一個(gè)方法“估計(jì)”它的期望。它的期望是多少？它的平均值是多少？我們對(duì)這個(gè)隨機(jī)變量的“期待”是多少？在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這都是一個(gè)問(wèn)題。用同樣的思路，那就是取平均了，
，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這個(gè)樣本均值對(duì)隨機(jī)變量期望是無(wú)偏估計(jì)，即當(dāng)n充分大的時(shí)候，這個(gè)估計(jì)會(huì)和期望“非常非常接近”。 再提到你的例子，扔一個(gè)均勻硬幣，正面+1分反面-1分，則數(shù)學(xué)“預(yù)期”是0。 設(shè)一個(gè)隨機(jī)變量
表示丟硬幣的結(jié)果，這是一個(gè)離散的隨機(jī)變量，取1和-1的概率都是0.5。其實(shí)我們已經(jīng)知道
的分布了，可以按照公式直接求期望。 但是為了解釋清楚什么叫期望，我們還按照上述第二種情況來(lái)算。 我們丟了
次硬幣，得到了一組觀察值 
，這里面有1有-1，肯定沒(méi)有0。 但是隨著
增大，根據(jù)“非常非常接近”，平均值會(huì)趨向于0。所謂預(yù)期結(jié)果是0，即你獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)很多很多次，平均值會(huì)非常接近0。如果不趨向0，我們則有把握說(shuō)這個(gè)硬幣不是均勻的。 再照應(yīng)一下開(kāi)頭： 如果我們知道隨機(jī)變量的分布，期望就是公式定義的加權(quán)平均值。 如果我們不知道分布，只有隨機(jī)變量的一些觀察樣本，那么隨機(jī)變量的期望和樣本的均值相差應(yīng)該不大。 【Canoe的回答(0票)】: 字面上理解就是我們期望能夠得到的值，而數(shù)學(xué)意義上是加權(quán)平均。 直觀地理解，一個(gè)我們知道其參數(shù)的分布來(lái)說(shuō)，其所有情況的權(quán)值，根據(jù)其概率的加權(quán)平均不就是你在無(wú)數(shù)次對(duì)這個(gè)分布進(jìn)行隨機(jī)能得到的權(quán)值的期望值嗎？ 【KarooYang的回答(0票)】: 可以理解為實(shí)驗(yàn)結(jié)果用概率進(jìn)行加權(quán)得到的預(yù)期。 在大量試驗(yàn)之后，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值會(huì)向期望靠近。 【諸葛連弩的回答(0票)】: 樣本容量等于總體時(shí)的概率值…@陳浩 先生能這么說(shuō)么 【許馬力的回答(0票)】: 個(gè)人感覺(jué)，期望表達(dá)的是多次試驗(yàn)下所取得的最終結(jié)果，大叔定律里n趨于無(wú)窮就應(yīng)該收斂于期望。 題主所說(shuō)的硬幣問(wèn)題就可以理解為，進(jìn)行無(wú)數(shù)次投擲，正面1分，反面—1分，最終大家應(yīng)該都差不多是總分為0，或者是無(wú)數(shù)人投硬幣，大家總分加起來(lái)大概是0，而不是我投一次目測(cè)能得0分。 ps 資產(chǎn)組合選擇理論里把期望等于收益，確實(shí)有其局限性，不過(guò)在考慮了方差之后，它對(duì)真實(shí)情況的模擬會(huì)好一點(diǎn)點(diǎn)，再加上資產(chǎn)數(shù)量多，所以總體來(lái)說(shuō)還是一個(gè)很有價(jià)值的理論。 【零點(diǎn)零壹的回答(0票)】: 均值的均值 均值的均值的均值... 【Zarah的回答(0票)】: 當(dāng)年高二數(shù)學(xué)課沒(méi)好好上吧 全都講過(guò)… 【秦康寶的回答(0票)】: 期望不是單次的，是大量試驗(yàn)后的總體情況 原文地址:知乎 |
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