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【余翔的回答(14票)】: 可以考慮一般情況，在正交坐標(biāo)系的散度公式。 先看正交曲面坐標(biāo)系的定義 正交曲面坐標(biāo)系 如果空間中的三個(gè)點(diǎn)可以用 
來(lái)表示,且每組這樣有序的數(shù)完全確定一個(gè)空間的點(diǎn),則稱(chēng)
為空間的曲面坐標(biāo)。 作
常數(shù)，
常數(shù)
常數(shù)三
族曲面，并分別稱(chēng)之為
曲面，
曲面，
曲面，稱(chēng)它們?yōu)?b>坐標(biāo)曲面，這三族曲面互相正交。 
曲面，
曲面的交線(xiàn)稱(chēng)為
曲線(xiàn)，顯然
曲線(xiàn)與
曲面正交，同理定義
曲線(xiàn)，
曲線(xiàn)，稱(chēng)這些曲線(xiàn)為坐標(biāo)曲線(xiàn)。在
曲線(xiàn)上，
與
為常數(shù)，只有
是變數(shù)，設(shè)
到
之間的弧長(zhǎng)為
；同樣設(shè)
曲線(xiàn)上從
到
之間的弧長(zhǎng)為
，
曲線(xiàn)上從
到
之間的弧長(zhǎng)為
，這里
是位置的函數(shù)。如下圖所示
顯然，上圖空間體積元可以表示為
下面求
的表達(dá)式：在
曲線(xiàn)上曲線(xiàn)弧元的長(zhǎng)度
可以表示為
比較
，有
.........................................................................(1) 同理有
.........................................................................(2)
..........................................................................(3)
稱(chēng)為度規(guī)系數(shù)。 正交曲面坐標(biāo)系下梯度和散度 標(biāo)量函數(shù)
的梯度表達(dá)式為 ▽
................(4) 是中
為正交曲面坐標(biāo)系的單位基矢量。 設(shè)矢量場(chǎng)A在改正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的三個(gè)分量為
,則其散度為 ▽·
...............................................................................................(5) 在上圖所示的曲面坐標(biāo)系中，取由
六個(gè)坐標(biāo)曲面元所圍的體積，則有
.......................................................................(6) 而矢量場(chǎng)
在這六個(gè)面的總通量
為
.......................................................................................................................................(7) 把(6)，(7)代入(5)式，有 ▽·
.................................................................................. (8) (4)式和(8)式就是正交曲面坐標(biāo)系下的梯度和散度。 下面利用(4)和(8)式求柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的梯度和散度。 柱坐標(biāo)下梯度和散度 在柱坐標(biāo)下，三個(gè)坐標(biāo)
與直角坐標(biāo)
的關(guān)系如下:
可以計(jì)算出度規(guī)系數(shù)
，代入(8)式中，可計(jì)算出梯度，散度表示式分別為 ▽
▽·
球坐標(biāo)下的梯度和散度 在球坐標(biāo)系下
度規(guī)系數(shù)
分別為:
同理可得梯度和旋度為 ▽
▽·
參考
【趙永峰的回答(3票)】: 給你另一種方法： 假設(shè)你要寫(xiě)
坐標(biāo)下的散度公式，如果在這個(gè)坐標(biāo)下度規(guī)是
，即（重復(fù)指標(biāo)表示求和）
比如對(duì)于柱坐標(biāo)系：
你先去算Christoffel聯(lián)絡(luò)：
其中
，
是度規(guī)的逆。比如對(duì)于柱坐標(biāo)系，
注意到對(duì)于柱坐標(biāo)系，只有：
不等于0。 對(duì)于向量
，一般而言歐式坐標(biāo)下的
變換到其他坐標(biāo)不再長(zhǎng)這樣，而應(yīng)該長(zhǎng)成
的樣子，所以散度應(yīng)該等于
于是在柱坐標(biāo)系下，散度等于
但注意到，由于基矢量的選取不一樣，這里
的定義和一般所說(shuō)的
的
分量不一樣，即
，所以最終的結(jié)果是：
簡(jiǎn)潔多了吧…… 【知乎用戶(hù)的回答(0票)】: 吳崇試《數(shù)學(xué)物理方法》第二版，P212 原文地址:知乎 |
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