【來源：中國基礎(chǔ)教育網(wǎng)】

    一個國際象棋盤。是一個8×8的64方格，歐拉曾研究過棋盤上馬的跳躍問題，他證 明了，存在一個馬的跳躍路線，從一點出發(fā)，經(jīng)過每一格一次且僅一次。最后又跳回到初始點。 　

　  上述的這樣一個馬步跳躍路線，稱為棋盤上的馬步哈密頓回路；如果不限制最后一 步還要能跳回到始點，則稱為馬步哈密頓路。 定義 m、n是正整數(shù)，一個（m，n）馬，是指在一個充分大的棋盤上一步可縱橫跳 m、n個格或n、m個格。 于是，國際象棋的馬是（1，2）馬。 下面給出一個定理，它刻畫了（2，3）馬和（1，2）馬的本質(zhì)區(qū)別。定理　從8×8棋盤上任一點出發(fā)，均不存在（2，3）馬的馬步哈密頓路。 證　把8×8棋盤分成A，B兩個區(qū)，如右圖1所示：

　　分兩種情形證明： （１）若起始點在A區(qū)，存在（2，3）馬的馬步哈密頓路，由于從A區(qū)的任一方格經(jīng) 一步（2，3）馬，它可以到A區(qū)的一格或B區(qū)的一格；而由B區(qū)的一格經(jīng)一步（2，3）馬只能跳到A區(qū)的一格，注意到A區(qū)的方格數(shù)和B區(qū)的方格數(shù)是同樣多的，所以必須從A區(qū)到B區(qū) ，再由B區(qū)至A區(qū)的交替跳躍，才可能不重復(fù)地跳遍A、B兩區(qū)。 另一方面，我們把棋盤依黑白兩色染色，如右圖2所示：這樣，從A區(qū)的白（黑）格，經(jīng)一步（２，3）馬，必到B區(qū)的黑（白）格，再從B區(qū) 的黑（白）格經(jīng)一步又回到A區(qū)的白（黑）格，如此下去，則只能跳過A區(qū)的白（黑）格 和B區(qū)的黑（白）格，這和其存在（2，3）馬的馬步哈密頓路相矛盾。（２）若起始點在B區(qū)，若存在著馬步哈密頓回路，則（２，３）馬不能交替地在B 區(qū)與A去之間跳躍，否則歸約到情形（１）的類似證明。于是，存在一步且僅有一步從區(qū) 到區(qū)的跳躍，這是因為A區(qū)與B區(qū)的方格數(shù)相等，從B區(qū)的方格經(jīng)一步（２，３）馬必須跳到A區(qū)的緣故?？紤]圖１中下面的３行，如下圖所示： 　

　  現(xiàn)考慮（2，3）馬在P、Q、R之間的跳躍。若P、Q、R均尚未跳過。

    有以下情形：

   （i）（2，3）馬首先跳到P點（首先跳到R的情形是類似的），由A、B區(qū)的構(gòu)造，知 必是A區(qū)跳到P點的。繼而由（2，3）馬從P至Q，Q至R。如果只不是最后一個未跳過的點。則下一步必須跳至A區(qū)的某一點。這樣就出現(xiàn)了在A區(qū)之間的2次跳躍，因此R就是最后 一個未跳過的點。 當(dāng)R是最后一個未跳過的點時，則考慮點S、T、U之間的（2，3）馬的馬步跳躍。當(dāng)先跳到S或U時，由上述討論可知，在S、T、U間會出現(xiàn)第2次從A區(qū)到A區(qū)的跳躍；當(dāng)先跳到T時 ，由下述（ii） 的推理知至少出現(xiàn)兩次從A區(qū)到A區(qū)的跳躍。 　

　 （ii）（2，3）馬首先跳到Q點，則（2，3）馬從Q 至P，P必至A區(qū)，經(jīng)若干步又由 A區(qū)跳到R點，至少出現(xiàn)2次從A區(qū)至A區(qū)的跳躍。（Q先至R后到P，討論相同）

　　若從Q不跳到P或R點，它必跳到A區(qū)的某一點，則在以后的跳躍中，必然會出現(xiàn)一次 從A區(qū)跳至P點，一次從A區(qū)跳至R點，同樣會出現(xiàn)至少2次的從A區(qū)至A區(qū)的跳躍?？傊辽俅嬖谥?步從A區(qū)至A區(qū)的（2，3）馬的跳躍，這與存在（2，3--馬馬步哈密頓 路及A區(qū)，B區(qū)方格數(shù)相等相矛盾，定理證畢。