• 張?zhí)烊兀ǖ驴怂_斯州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）

美麗的對稱無處不在，它在我們的世界中扮演著重要的角色。自然界遍布蟲草花鳥，人類社會處處有標(biāo)志性的藝術(shù)和建筑，這些事物無一不體現(xiàn)出對稱的和諧與美妙。

幾何圖形的對稱不難理解，當(dāng)人們說到“故宮是左右對稱的”，“地球是球?qū)ΨQ的”，“雪花是六角形對稱的”，每個人都懂得那是什么意思。不過，數(shù)學(xué)家們總是喜歡認死理，硬要用他們獨特的語言來定義對稱。

從數(shù)學(xué)的角度來看待剛才的幾個例子，對稱意味著幾何圖形在某種變換下保持不變。

比如說，故宮的左右對稱意味著在鏡像反射變換下不變；球?qū)ΨQ是說在三維旋轉(zhuǎn)變換下的不變性；雪花六角形對稱則是說將雪花的圖形轉(zhuǎn)動60、120、180、240、300度時圖形不變。所以，對稱實際上表達的是事物具有的一種冗余性。沒想到吧，“上帝”設(shè)計世界時又?；ㄕ型祽辛耍豪苗R像對稱，他只須要設(shè)計一半！利用六角形對稱，他的雪花圖案只須畫出六分之一！球?qū)ΨQ的天體就更好辦了，畫出了一個方向的景色，就讓它們?nèi)ダ@著一個固定點不停地轉(zhuǎn)圈。

不過，“上帝”的這種偷懶辦法讓人類欣賞和喜愛，譽之為美?？茖W(xué)家們更是感覺它深奧無比而對其探索不止。他們發(fā)明出了一套又一套的理論來描述對稱。群論，便是描述對稱的一種最好的語言。

用數(shù)學(xué)語言定義對稱的優(yōu)越性之一在于容易推廣。如果將對稱概念從幾何推廣到物理研究中的一般情形，便被表述為：如果某種變換能夠保持系統(tǒng)的拉格朗日量不變，從而保持物理規(guī)律不變的話，就說系統(tǒng)對此變換是對稱的。

物理規(guī)律應(yīng)該在變換中保持不變，這應(yīng)該是顯而易見的。試想，如果今天的某個定律明天就不適用了，或者是麥克斯韋方程只在倫敦適用，搬到北京就不適用了，那還叫做自然規(guī)律嗎？研究它還有任何意義嗎？當(dāng)然不應(yīng)該是這樣的。

剛才舉的例子中，今天到明天、倫敦到北京，這兩個概念在數(shù)學(xué)上都稱之為變換。前者叫做時間平移變換，后者叫做空間平移變換。但是，除了平移變換之外，還有許多別的種類的變換，物理定律難道對所有的變換都要保持不變嗎？物理規(guī)律有很多，至少應(yīng)該不是每一個規(guī)律對每一個變換都將保持不變。那么，這其中有些什么樣的關(guān)系呢？

首先我們研究一下，與物理定律有關(guān)的變換主要有哪幾種，又是如何分類的。俗話說：“物以類聚，人以群分”。豈止人是如此，我們所討論的變換也可以用數(shù)學(xué)上的“群”來加以分類。所以，變換用來描述對稱，群用來描述變換，因此，群和對稱，便如此關(guān)聯(lián)起來了。

群在數(shù)學(xué)上是什么意思呢？“群論”的概念來自于多個方面：數(shù)論、代數(shù)方程、幾何。歷史上有一個偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家叫費馬，說他是業(yè)余的，是因為他的本職工作是一個地方上的法官，但他并非一般的“民科”，他在數(shù)學(xué)和物理上的貢獻都非常了不起。

我們在上一篇“大統(tǒng)一理論”系列文章中（回復(fù)編號“310”可提取全文）介紹的最小作用量原理，最早也是基于光學(xué)中的費馬原理，該原理認為光線在空間中總是走最短（或極值）的路徑。1637年，費馬隨便在他閱讀的一本書的邊沿空白處寫下了一個看起來頗像勾股定理的公式：xⁿ+yⁿ=zⁿ，并提出了一個猜想：當(dāng)n大于2的時候，不可能有整數(shù)滿足這個等式。更玄乎的是，費馬還在旁邊加上了短短的一句話，意思是說他已經(jīng)知道如何證明此公式但是那兒的空間太小寫不下……這不是明顯在吊別人胃口嗎？因此，這個貌似簡單的問題，竟讓全世界的頂尖數(shù)學(xué)家們整整忙碌了300多年！這就是著名的費馬大定理的故事。此外，費馬還提出了一個費馬小定理。費馬小定理說的是有關(guān)質(zhì)數(shù)的問題，可以簡單表述如下：假如a是一個整數(shù)，p是一個質(zhì)數(shù)，那么(a^p-a)是p的倍數(shù)。

看了以上定義的費馬小定理，大家的感覺也許仍然是云里霧里。不過無所謂，那不是我們的今天討論的重點，重要的是，這個小定理和群論的發(fā)展有點關(guān)系。

簡單地說，群就是一組元素的集合，在集合中每兩個元素之間，定義了符合一定規(guī)則的某種乘法運算規(guī)則。說到乘法規(guī)則，我們大家會想起小時候背過的“九九乘法表”，比如圖1a給出的，就是小于5的整數(shù)的“四四”乘法表。

圖1：4個元素的群

歐拉在1758年證明費馬小定理的時候，便碰到了這種類似的乘法表。不過，他將乘法規(guī)則稍微作了一些改動。比如在剛才所舉小于5的“四四表”例子中，他把表中的所有元素都除以5，然后將所得到的余數(shù)構(gòu)成一個新的表，如圖1b所示。按照這種方法，類似于上述n=5的例子，我們可以對任意的n，都如此構(gòu)造出一個“乘法余數(shù)表”來。

我們再仔細研究一下n=5的情況，就發(fā)現(xiàn)圖1b中的四四余數(shù)表有一個有趣的特點：它的每一行都是由（1、2、3、4）這四個數(shù)組成的，每一行中四個數(shù)全有，但也不重復(fù)，只是改變了一下順序而已。

上面的特點初看起來沒有什么了不起，但歐拉注意到，并非對于每一個n用如上方法構(gòu)成的乘法表都具有這個性質(zhì)，而是當(dāng)且僅當(dāng)n是質(zhì)數(shù)的時候，（n-1）個元素的余數(shù)表才具有這個特點。這個有關(guān)質(zhì)數(shù)的結(jié)論對歐拉證明費馬小定理頗有啟發(fā)。

以現(xiàn)在群論的說法，圖1b中的4個元素，構(gòu)成了一個“群”，因為這4個元素兩兩之間定義了一種乘法（在這個例子中，是整數(shù)相乘再求5的余數(shù)），并且，滿足群的如下4個基本要求，我們不妨將它們簡稱為“群4點”：

1.封閉性：兩元素相乘后，結(jié)果仍然是群中的元素；（從圖1b中很容易驗證）；

2.結(jié)合律：(a*b)*c = a*(b*c)；（整數(shù)相乘滿足結(jié)合律）；

3.單位元：存在單位元（幺元），與任何元素相乘，結(jié)果不變；（在上面例子中對應(yīng)于元素1）；

4.逆元：每個元素都存在逆元，元素與其逆元相乘，得到幺元。（從圖1b中很容易驗證）

歐拉研究數(shù)論時，有了群的模糊概念，但“群”這個名詞以及基本設(shè)想，卻是首先在伽羅瓦研究方程理論時被使用的，這涉及到一個年輕數(shù)學(xué)家的悲慘人生。埃瓦里斯特·伽羅瓦（1811～1832年）是法國數(shù)學(xué)家，他在短短20年生命中所作的最重要的工作，就是開創(chuàng)建立了“群論”這個無比重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

伽羅瓦從小表現(xiàn)出極高的數(shù)學(xué)才能，但他厭倦別的學(xué)科，獨獨只被數(shù)學(xué)的“鬼魅”迷住了心竅，以至于這使他在求學(xué)的道路上屢遭失敗。他多次寄給法國科學(xué)院有關(guān)群論的精彩論文，也未被接受：柯西讓他重寫，泊松看不懂，傅立葉收到文章后還沒看就見“上帝”去了。對年輕的伽羅瓦來說，生活的道路坎坷，父親又自殺身亡，卓越的研究成果得不到學(xué)界的承認，由此種下了他憤世嫉俗、不滿社會的禍根。后來，法國七月革命一爆發(fā)，伽羅瓦急不可待地投身革命，最后又莫名其妙地陷入了一場極不值得的戀愛糾紛中，并且由此卷入一場決斗。最后，這位“憤青”式的天才數(shù)學(xué)家，終于在與對手決斗時飲彈身亡。

伽羅瓦第一個用群的觀點來確定多項式方程的可解性。真是無獨有偶，不幸的事情也往往成雙。說到方程可解性，又牽扯到另外一位也是年紀(jì)輕輕就去世了的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·阿貝爾（Niels Abel，1802～1829年）。不過，阿貝爾不是憤青，他在27歲時死于貧窮和疾病。

我們在中學(xué)數(shù)學(xué)中就知道一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式為：

對于3次和4次的多項式方程，數(shù)學(xué)家們也都得到了相應(yīng)的一般求根公式，即由方程的系數(shù)及根式組成的“根式解”。之后，人們自然地把目光轉(zhuǎn)向探索一般的5次方程的根式解，但歷經(jīng)幾百年也未得結(jié)果。因為所有的努力都以失敗告終，這使得阿貝爾產(chǎn)生了另外一種想法：也許包括5次方程在內(nèi)的所有次數(shù)大于4的方程，根本就沒有統(tǒng)一的根式解。

由于長期得不到大學(xué)教職，阿貝爾的生活毫無著落，貧病交加，但他始終不愿放棄心愛的數(shù)學(xué)。他成功地證明了5次方程不可能有根式解，但他卻沒有時間將這個結(jié)論推廣到大于5的一般情形，因為病魔奪去了他短暫的生命。就在可憐的阿貝爾因肺結(jié)核而撒手人寰的兩天之后，傳來了他已經(jīng)被某大學(xué)聘為教授的好消息。

“接力棒”傳到了比阿貝爾小9歲的伽羅瓦手上。伽羅瓦從研究多項式的方程理論中發(fā)展出了群論，又巧妙地用群論的方法解決了一般代數(shù)方程的可解性問題。伽羅瓦的思想大致如此：每一個多項式都對應(yīng)于一個與它的根的對稱性有關(guān)的置換群，后人稱之為“伽羅瓦群”。圖2給出一個簡單置換群S₃的例子。一個方程有沒有根式解，取決于它的伽羅瓦群是不是可解群。那么，可解群又是什么樣的呢？這些概念大大超出了本文討論的范圍，在此不表，有興趣者可參閱相關(guān)文獻。

圖2：置換群例子S₃

簡單解釋一下圖2的置換群例子S₃。給了三個字母ABC，它們能被排列成如圖2a右邊的6種不同的順序。也就是說，從ABC產(chǎn)生了6種置換構(gòu)成的元素。這6個元素按照生成它們的置換規(guī)律而分別記成（1）、（12）、（23）……括號內(nèi)的數(shù)字表示置換的方式，比如（1）表示不變；（12）的意思就是第1個字母和第2個字母交換等等。不難驗證，這6個元素在圖2b所示的乘法規(guī)則下，滿足上面談及的定義“群4點”，因而構(gòu)成一個群。這里所謂“乘法”不是通常意義上整數(shù)間的乘法，而是兩個置換方式的連續(xù)操作。圖2b中還標(biāo)示出S₃的一個特別性質(zhì)：其中定義的乘法是不可交換的。如圖2b所示，（12）乘以（123）得到（13），而當(dāng)把它們交換變成（123）乘以（12）時，卻得到不同的結(jié)果（23），因此，S₃是一種不可交換的群，或稱之為“非阿貝爾群”。而像圖1所示的4元素的可交換群，被稱之為“阿貝爾群”。S₃有6個元素，是元素數(shù)目最小的非阿貝爾群。

圖1和圖2描述的，是有限群的兩個簡單例子。群的概念不限于“有限”，其中的“乘法”含義也很廣泛，只需要滿足群4點即可。

如果你還沒有明白什么是“群”的話，那就再說通俗一點（做數(shù)學(xué)的大牛們偶然路過看見了請不要皺眉頭）：“群”就是那么一群東西，我們?yōu)樗鼈儍蓛芍g規(guī)定一種“作用”，見圖3的例子。兩兩作用的結(jié)果還是屬于這群東西；其中有一個特別的東西，與任何其它東西作用后都“不起作用”；此外，每樣?xùn)|西都有另一個東西和它抵消；最后，如果好幾個東西接連作用，只要這些東西的相互位置不變，結(jié)果與作用的順序無關(guān)。

圖3：各種操作都可以被定義為“群”中的乘法，只要符合“群4點”。

剛才所舉兩個群的例子是離散的有限群。下面舉一個離散但無限的群。比如說，全體整數(shù)（……，-4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4，……）的加法就構(gòu)成一個這樣的群。因為兩個整數(shù)之和仍然是整數(shù)（封閉性），整數(shù)加法符合結(jié)合律；0加任何數(shù)仍然是原來那個數(shù)（0作為幺元），任何整數(shù)都和它的相應(yīng)負整數(shù)抵消（比如：-3是3的逆元，因為3+(-3)=0）。

但是，全體整數(shù)在整數(shù)乘法下卻并不構(gòu)成“群”。因為整數(shù)的逆不是整數(shù)，而是一個分?jǐn)?shù)，所以不存在逆元，違反“群4點”，不能構(gòu)成群。

全體非零實數(shù)的乘法構(gòu)成一個群。但這個群不是離散的了，是由無限多個實數(shù)元素組成的連續(xù)群，因為它的所有元素可以看成是由某個參數(shù)連續(xù)變化而形成。兩個實數(shù)相乘可以互相交換，因而這是一個“無限”“連續(xù)”的阿貝爾群。

可逆方形矩陣在矩陣乘法下也能構(gòu)成無限的連續(xù)群。矩陣乘法一般不對易，所以構(gòu)成的是非阿貝爾群。

連續(xù)群和離散群的性質(zhì)大不相同，就像盒子里裝的是一堆玻璃彈子，或裝的是一堆玻璃細沙不同一樣，因而專門有理論研究連續(xù)群。因為連續(xù)群是n個連續(xù)變量之變化而生成的，這n個變量同時也張成一個n維空間。如果一個由n個變量生成的連續(xù)群既有群的結(jié)構(gòu)，又是一個n維微分流形，便稱之為“李群”，是以挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李（Sophus Lie，1842～1899年）的名字而命名。李群對理論物理很重要，“大統(tǒng)一理論”系列下一篇中，我們從與物理密切相關(guān)的幾個例子出發(fā)來認識李群。

參考資料：

[1]S. Sternberg ，Group Theory and Physics，CambridgeUniversity Press，Cambridge, September29, 1995。

[2]Morton Hamermesh，Group Theoryand Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics)，December1, 1989。

轉(zhuǎn)載自微信公眾號：賽先生（iscientists）