第6計(jì)  勇士開(kāi)門(mén)  手腳咚咚

●計(jì)名釋義

一個(gè)婦女立在衙門(mén)前的大鼓旁邊，在哭. 一勇士過(guò)來(lái)問(wèn)其故.婦女說(shuō)：“我敲鼓半天了，衙門(mén)還不開(kāi).”

勇士說(shuō)：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音？你看我的！”說(shuō)完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢. 一會(huì)兒，果然衙門(mén)大開(kāi)，衙役們高呼：“有人擊鼓，請(qǐng)老爺升堂！”

考場(chǎng)解題，何嘗不是如此：面對(duì)考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格. 唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.

●典例示范

【例1】 已知x,y∈, a∈R，且,則cos (x+2y)的值為                                                      (    )

A.0          B.1          C.2          D.3

【思考】  代數(shù)方程中滲入了三角函數(shù)，不可能用初等方法“正規(guī)”地求出它的解.但兩個(gè)方程有較多的形似之處，能否通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问怪伞靶嗡啤钡健吧袼啤蹦?？?/span>

解：由條件得：

∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.

【插語(yǔ)】  這是勇士之舉，采用手腳并用，誰(shuí)會(huì)想到用方程根來(lái)解決它呢?

設(shè)f (t)=t3+sint-2a.   當(dāng)t∈時(shí)，均為增函數(shù)，而-2a為常數(shù).∴上的單調(diào)增函數(shù).

∵f (x)= f (-2y)=0.

∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1.      選B.

【點(diǎn)評(píng)】  想到方程根使所給2個(gè)式子合二為一，是本題一個(gè)難點(diǎn)之一；判斷函數(shù)是單調(diào)函數(shù)又是一個(gè)難點(diǎn).

【例2】  已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=(,-1) ，  則 |2a - b| 的最大值、最小值分別是(    )

A.4,0            B.4,2            C.16,0            D.4,0

【解答】  如圖，點(diǎn)A(cosθ,sinθ)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延OA到C，使==2a,  求的最值，

顯然.當(dāng)與

反向時(shí)有最大值4,與同向時(shí)有

最小值0.           ∴選D.

【點(diǎn)評(píng)】  本例選自04·湖南卷6（文），

解題思想很簡(jiǎn)單，誰(shuí)不知道“三角形兩邊

之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”呢，               例2題解圖

為求極值，我們的勇士勇敢地到極地——當(dāng)

△BOC不復(fù)存在時(shí)，才有可能取得.

【例3】  設(shè)f (x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0，且g(-3)=0,  則不等式f (x)g(x)<0的解集是                            (      )

A.(-3,0)∪(3,+∞)                          B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)                       D.(-∞,-3)∪(0,3)

【解答】  設(shè)F(x)= f (x)g(x), 當(dāng)x<0時(shí)，∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.

∴F(x)在R上為增函數(shù).

∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)·g (x).=-F(x).

故F(x)為(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù).

∴F(x)在R上亦為增函數(shù).

已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.

構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知                                    例3題解圖

F(x)<0的解集為x∈(-∞,-3)∪(0,3).

【點(diǎn)評(píng)】  本例選自04·湖南卷12題,

是小題中的壓軸題，顯然，不懂得

導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)對(duì)待本例是無(wú)能為力的，高中            

代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問(wèn)題更有說(shuō)服力.

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.下列命題正確的是                                                 (      )

A.若{an}和{bn}的極限都不存在，則{an+bn}的極值一定不存在

B.若{an}和{bn}的極限都存在，則{an+bn}的極限一定存在

C.若{an+bn}的極限不存在，則{an}和{bn}的極限都一定不存在

D.若{an+bn}的極限存在，則{an}和{bn}的極限要么都存在，要么都不存在

2.過(guò)定點(diǎn)M (-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是                                                         （       ）

A.0<k<      B.-<k<0      C.0<k<      D.0<k<5

3.若(1-2x )9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則的值是         (     )

A.2          B.1          C.          D.

●參考答案

1.D  (正反推證）若{an+bn}:1,1,1,1,…的極限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,極限都不存在，但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,極限又都存在，故D正確，同理可排除A、B、C.

2.A  （數(shù)形并用）如圖，以C (-2,0)為圓心，

r=3為半徑的⊙C交x、y正半軸于A（1,0）,

B (0,),  而M (-1, 0)在⊙C內(nèi)部，

當(dāng)N∈時(shí)，顯然，kMN>kMA=0;

kMN<kMB=.故知,  k∈(0,),  選A.

                                                        第2題解圖

3.A  T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288，   ∴2 2x=8，  x=,  =∈(0,1).

∴數(shù)列{}是首項(xiàng)與公比均為的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列.原式==2.       選A.