第15計(jì)  驛站開門  望蜀得隴

●計(jì)名釋義

一商人要去蜀國做生意，因棧道難行，結(jié)果到了隴西. 正當(dāng)他發(fā)愁之時(shí)，來了一位遠(yuǎn)客，把他的貨全部買走了. 商人大喜，對伙計(jì)們說，這客人說的蜀國話，趕快回關(guān)中運(yùn)貨去，我們還是按原計(jì)劃去南蜀.

等第二批貨運(yùn)到隴西時(shí)，又遇上這位客人. 一交談，他沒有把貨運(yùn)往南蜀，而是運(yùn)往西域去了. 伙計(jì)們問商人：我們還是按原計(jì)劃去南蜀嗎？商人笑著說，“我們在這兒望望南蜀就行了.”接著在驛站里把生意做得火紅.

數(shù)學(xué)解題有時(shí)也遇上這種情景，原來計(jì)劃的解題方案，在進(jìn)行中遇到了一匹黑馬，中途變陣之后，成果意外. 這時(shí)你不要埋怨原來的計(jì)劃是錯(cuò)的：不“望蜀”，怎能“得隴”？

●典例示范

【例1】            圖中，BC₁和DB₁分別

是棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁

的一條面對角線和體對角線.

試求它們的距離.

【解答】   連A₁C₁、C₁B和BA₁.

得邊長為的正三角形A₁C₁B.

易知，體對角線DB₁過△A₁C₁B                             例題圖

的中心G.  易得GB=GC₁.

再作BC₁的中點(diǎn)H.  猜想

GH是DB₁和BC₁的公垂線，

為此只須證明HG⊥DB₁.

易知GB₁=，HB₁=

GH=··                                例題解圖

因?yàn)?/span>   所以GH⊥GB₁      即GH⊥DB₁.

【說明】   此處證GH⊥DB₁就是我們的“望蜀”，其實(shí)DB₁⊥面A₁BC₁，而GH是面A₁BC₁中的線段，當(dāng)然GH⊥DB₁，由此我們“得隴”.

【續(xù)解】   故HG是BG與DB₁的公垂線.且長度為它們的距離.

【點(diǎn)評】   這兩條對角線異面.在不知（或不易作出）它們的公垂線時(shí)，屬于難題.解題的方法是按“定義”，用垂直相交法作輔助線（面）.

●對應(yīng)訓(xùn)練

1.已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a與b不共線，則該方程                                                             （      ）A可能有無數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)解               B至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)解

C至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解                      D至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解

2.空間                （填：“存在”或“不存在”）這樣的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，使得AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm.

●參考答案

1.D   由于a與b不共線，所以可設(shè)c=ma+nb (其中m，n∈R)，代入方程ax²+bx+c=0得ax²+bx+(ma+nb)=0，即（x²+m) a+(x+n) b=0,又a與b不共線，故有

即   顯然，當(dāng)m>0時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)n²=-m≥0時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)解.故應(yīng)選D.

【說明】   此題容易簡單想象成一元二次方程根的存在性問題，用判別式來判定，導(dǎo)致出現(xiàn)思維定勢的錯(cuò)誤.對于向量的相關(guān)知識的考查在近年來的高考試題中常出現(xiàn)，并且有關(guān)向量的題目也在不斷地創(chuàng)新，不再是書本知識的簡單重復(fù).基于此而創(chuàng)作了此題.

2．要去尋找這樣的點(diǎn)是很難敘述的.但我們可以虛擬一些特殊的圖形去模擬運(yùn)動，判斷結(jié)果.細(xì)看題目有四個(gè)點(diǎn)，顯然可以從四邊形旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的三棱錐模型結(jié)構(gòu)看一下這些長度關(guān)系是否合理，來得出需要的結(jié)論.

在空間中，分別以8、10、13為邊長，

作如圖所示平面四邊形，它由△ABC和△BCD

組成，公共邊為BC=13cm，AC=BD=10cm，

AB=CD=8cm，固定△ABC所在的平面，

令△BCD繞著邊BC旋轉(zhuǎn).顯然當(dāng)D位于                       第2題解圖

△ABC所在的平面時(shí)，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cos∠BAC=-,即可知∠BAC是鈍角，故對于平行四邊形（即D在平面ABC內(nèi)時(shí)）ABDC，對角線AD的長小于對角線BC的長，即AD<BC=13cm.

顯然，當(dāng)點(diǎn)D不在面ABC內(nèi)時(shí)都有AD<BC=13cm.因此按題目要求分布的四個(gè)點(diǎn)是不可能的，故知題目要求的四個(gè)點(diǎn)不存在.

【點(diǎn)評】   這是一個(gè)探索型開放題，其存在與否取決于分析的過程，該題題型無論從結(jié)論上還是從方法的探究上都具有一定的開放性，因此我們開始做它時(shí)，選定一個(gè)方向直奔過去，到那兒時(shí)才發(fā)現(xiàn)此路不通.