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使用我們?cè)诘?節(jié)中表述糾纏態(tài)時(shí)所用的簡單數(shù)學(xué)，描述一下三粒子糾纏時(shí)的狀態(tài)。 現(xiàn)在，我們有三個(gè)粒子A、B和C，它們分別都有兩種定態(tài)0、1（A1 、A0 、B1 、B0和C1C0）。因此，它們的單粒子定態(tài)可以組成8種三粒子定態(tài)： |111>、|110>、|101>、|100>、|011>、|010>、|001>、|000>。 （12.1） 這兒使用了狄拉克符號(hào)來表示三粒子的狀態(tài)。狄拉克符號(hào)其實(shí)很簡單，只不過是給原來代表狀態(tài)的字母或數(shù)字兩邊，加上了一件由左右兩個(gè)符號(hào)：∣＞，制成的外套而已。套上了這件外套，所表示的狀態(tài)看起來，要比接連寫一串?dāng)?shù)字或字母，意義清楚明了多了，并且還多了一層‘量子’的意思。比如說，我們用∣111＞來表示三個(gè)粒子A、B和C都是1的那種量子狀態(tài)。這兒的0和1，對(duì)電子來說，對(duì)應(yīng)于不同的自旋；對(duì)光子來說，則對(duì)應(yīng)于不同的偏振方向。其實(shí)，狄拉克創(chuàng)造的外套符號(hào)有兩種。除了我們?cè)冢?2.1）中用過的右矢∣＞（英文名ket）之外，還有一個(gè)左矢＜∣（英文名bra），我們以后也將會(huì)碰到。 讀者可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)，（12.1）中所列出的8種狀態(tài)，與計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中使用的二進(jìn)制中，3個(gè)比特所能表達(dá)的所有2進(jìn)制數(shù)值非常相像。不錯(cuò)，這正是我們本節(jié)的后半部分要介紹的qubit。在這兒，狄拉克ket外套∣＞起到了作用，使它們看起來才有別于經(jīng)典計(jì)算機(jī)科學(xué)中所說的bit！ 和以前介紹過的雙粒子糾纏態(tài)類似，從（12.1）中列出的的8種三粒子定態(tài)，我們可以組成無數(shù)多種糾纏態(tài)。其中格林伯格等人感興趣的，是后來被人們稱作GHZ態(tài)的那一種量子態(tài)。GHZ態(tài)可以寫成如下表達(dá)式： |GHZ> = |111> + |000> （12.2） 按照前面幾節(jié)的慣例，我們?cè)诠剑?2.2）中，略去了歸一化系數(shù)2√-1。以后也都照此辦理。 這個(gè)GHZ糾纏態(tài)是什么意思呢？類似于對(duì)雙粒子糾纏態(tài)的解釋，我們可以這樣說：這個(gè)態(tài)是兩個(gè)三粒子本征量子定態(tài)|111>和|000>的疊加態(tài)。再來復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)前面幾節(jié)中介紹過的所謂‘疊加’的意思：當(dāng)我們描述電子干涉雙縫實(shí)驗(yàn)時(shí)，‘疊加’意味著電子同時(shí)通過兩條縫，既穿過縫1，又穿過縫2。所以，這兒|111>和|000>的‘疊加’ 就應(yīng)該意味著，這個(gè)三粒子體系既是|111>，又是|000>，或言之：同時(shí)是定態(tài)|111>和定態(tài)|000>。如果使用哥本哈根派波函數(shù)塌縮的詮釋說法：在測(cè)量之前，三個(gè)粒子是什么狀態(tài)我們完全不能準(zhǔn)確地說清楚。但是，只要我們一旦測(cè)量其中一個(gè)粒子，比如說，我們?nèi)绻趜方向測(cè)量粒子A的自旋，其結(jié)果是|1>，那么，另外兩個(gè)粒子z方向的自旋狀態(tài)也立即分別塌縮為|1>；如果我們測(cè)量其中一個(gè)粒子（A）在z方向的自旋，結(jié)果是|0>，那么，另外兩個(gè)粒子z方向的自旋狀態(tài)也立即塌縮為|0>。在上述說法中，如果被測(cè)量的不是粒子A，而是B或C，另外兩個(gè)粒子也將遵循類似的塌縮過程。 使用更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)，可以證明：GHZ糾纏態(tài)是三粒子量子態(tài)中糾纏度最大的態(tài)。我們?cè)谶@兒談到了糾纏度的大小，卻尚未對(duì)糾纏度下定義。說實(shí)話，對(duì)糾纏度至今還沒有一個(gè)公認(rèn)的明確定義。一般可以用量子統(tǒng)計(jì)中使用的馮·諾伊曼‘熵’來定義糾纏度，但這就越扯越遠(yuǎn)，越扯越專業(yè)化了，就此打住。 除了GHZ糾纏態(tài)之外，在量子信息中又有人研究一種三粒子糾纏態(tài)中的W-態(tài)： |W> = |100> + |010> + |001> （12.3） 下圖用一個(gè)很直觀的圖像描述，來表示GHZ糾纏態(tài)和W-糾纏態(tài)的區(qū)別： 
*【三粒子糾纏態(tài)和Knot理論】 GHZ態(tài)和W-態(tài)分別對(duì)應(yīng)于knot theory中的Borromean ring和Hopf ring。從上圖中很容易看出兩種結(jié)構(gòu)的區(qū)別。如果我們斷開圖中左邊Borromean ring三個(gè)圓環(huán)中的任何一個(gè)，其余兩個(gè)圓環(huán)也立即分開了，這點(diǎn)性質(zhì)可以對(duì)應(yīng)于剛才我們所描述的GHZ態(tài)的量子力學(xué)特征：如果一旦測(cè)量三粒子系統(tǒng)中的任何一個(gè)粒子，其余兩個(gè)粒子也立即分別塌縮為它們各自的單粒子定態(tài)。但是，如果我們考察圖中右邊的Hopf ring就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剪開三個(gè)圓環(huán)中的任何一個(gè)時(shí)，另外兩個(gè)圓環(huán)并未被分開，仍然糾纏在一起。這種knot的性質(zhì)也有它的量子力學(xué)對(duì)應(yīng)：從W-態(tài)的表達(dá)式（12.2）中看出。當(dāng)測(cè)量其中一個(gè)粒子而結(jié)果為|0>的時(shí)候，另外兩個(gè)粒子塌縮到不能分離的雙粒子糾纏態(tài)：|10> + |01>。 GHZ態(tài)和W-態(tài)是兩類完全不同的糾纏態(tài)，不能互相轉(zhuǎn)換。對(duì)三粒子系統(tǒng)的GHZ態(tài)和W-態(tài)可以很容易地推廣到n粒子系統(tǒng)。用量子計(jì)算的語言來說，表達(dá)式（12.2）和（12.3）可以很容易地從3-qubit（3位量子元）系統(tǒng)，推廣到n-qubit（n位量子元）系統(tǒng)。 現(xiàn)在，我們解釋一下，什么叫qubit（或稱q-比特）？類似于比特，它所表示的是量子計(jì)算機(jī)技術(shù)中的一個(gè)存儲(chǔ)單位。隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)走進(jìn)社會(huì)，走進(jìn)人們的日常生活，有關(guān)‘比特’，‘二進(jìn)制’等概念幾乎已經(jīng)家喻戶曉。而現(xiàn)在在本文中，我們?cè)凇忍亍@個(gè)詞前面，加上了一個(gè)q，本文討論的又是量子（quantum）問題，qubit的意義便顯而易見了，那不就是一個(gè)‘量子比特’嗎？ 然而，重要的是，一個(gè)‘量子比特’和一個(gè)‘比特’，本質(zhì)上有些什么相同及不同之處呢？很幸運(yùn)，我們?cè)谇懊姹硎救Ｗ蛹m纏時(shí)，用的是0和1，這和計(jì)算機(jī)中表示‘比特’和‘二進(jìn)制’的符號(hào)是完全一致的，這是量子比特和比特的共同點(diǎn)，至于它們的不同之處，可以從物理和算法兩種角度來理解。 我們首先從物理的角度來看‘比特’：在經(jīng)典計(jì)算機(jī)的電子線路中，一般是經(jīng)由介質(zhì)中某點(diǎn)電壓的‘高’和‘低’兩種不同的物理狀態(tài)來表示數(shù)學(xué)中的‘0’和‘1’。比如說，我們可以將大于0.5伏特的電壓狀態(tài)，規(guī)定為‘1’，小于0.5伏特的電壓狀態(tài)，規(guī)定為‘0’。這樣，在一個(gè)確定的時(shí)刻，某點(diǎn)的電壓或者是‘高’，或者是‘低’，也就是說，一個(gè)寄存器的輸出，要么是‘1’，要么是‘0’，兩種狀態(tài)中只能取其中之一。這是由經(jīng)典物理的決定性所決定的。這個(gè)或0或1的電壓輸出，就可以用來表示一個(gè)‘比特‘。 看到這兒，讀者們已經(jīng)預(yù)料到了，既然用經(jīng)典的電壓高低狀態(tài)來表示比特，那么，本文中討論了半天的量子態(tài)，就可以用來在物理上實(shí)現(xiàn)一個(gè)‘量子比特’。比如說，電子的自旋有‘上’‘下’之分，光子的園偏振方向有‘左’‘右’之別，這些量子力學(xué)中的物理量都可以用來對(duì)應(yīng)于1和0兩個(gè)數(shù)字，構(gòu)成‘量子比特’。 談到量子比特的特別之處，又回到了我們貫穿此文的，嘮嘮叨叨不斷說到的一個(gè)量子現(xiàn)象的基本特點(diǎn)：那種“既是此，又是彼”的疊加態(tài)。也就是說，量子力學(xué)中的物理量都是分立的、不連續(xù)的、幾率的。不存在那種類似經(jīng)典力學(xué)中的‘在確定的時(shí)刻，確定的輸出電壓’的概念。所以，一個(gè)‘量子比特’在一個(gè)確定時(shí)刻的數(shù)值，是非決定性的。既是‘上’，又是‘下’，同時(shí)是‘0’又是‘1’。 ‘量子比特’和‘比特’在算法意義上的不同，也是基于用以表達(dá)它們的物理狀態(tài)的不同。我們知道，一個(gè)經(jīng)典的比特有0和1兩種狀態(tài)，可以用它來表示0，或者表示1，但只是表示0、1中的其中一個(gè)。而一個(gè)量子比特同時(shí)有0和1兩種狀態(tài)，因此，就可以用它來表示0，也表示1，同時(shí)代表兩個(gè)數(shù)。‘一個(gè)數(shù)’和‘兩個(gè)數(shù)’，差別不大，但如果是3個(gè)比特（或3個(gè)量子比特）放在一起，就有些差別了。三個(gè)經(jīng)典比特有了8個(gè)不同的狀態(tài)，但仍然只能表示0-7之間的一個(gè)數(shù)。如果是三個(gè)量子比特組成的系統(tǒng)，就不一樣了。那種情形下，可以同時(shí)存在8種不同的狀態(tài)，因此，它可以用來同時(shí)代表0-7這8個(gè)數(shù)。 現(xiàn)在，假設(shè)我們有了一個(gè)3-qubit系統(tǒng)構(gòu)成的計(jì)算器，我們可以進(jìn)行計(jì)算了。比如說，將它乘以5。當(dāng)我們輸入5，并發(fā)出運(yùn)算指令后，這個(gè)3-qubit系統(tǒng)中0-7的所有8個(gè)數(shù)都開始進(jìn)行運(yùn)算，并同時(shí)得出8個(gè)結(jié)果來！令人吃驚吧，這比較起一個(gè)經(jīng)典的3-bit系統(tǒng)只能得到一個(gè)結(jié)果來說，運(yùn)算速度不是快了8倍嗎？因?yàn)樗喈?dāng)于8個(gè)經(jīng)典計(jì)算器同時(shí)進(jìn)行平行運(yùn)算?？刹灰】催@個(gè)8倍，如果把它看成是23的指數(shù)形式，意義就大了。假設(shè)我們的量子計(jì)算機(jī)有100qubit，或者更多的話，你不妨計(jì)算一下，計(jì)算速度將增快多少？ 用一個(gè)通俗的比喻，也就是說，經(jīng)典的原則是：‘魚’和‘熊掌’，不能兼得；而在量子世界中，‘魚’和‘熊掌’竟然可以兼得！這樣，一臺(tái)量子計(jì)算機(jī)就可以相當(dāng)于有多臺(tái)，并且是指數(shù)倍增長的多臺(tái)經(jīng)典計(jì)算機(jī)，在同時(shí)進(jìn)行平行運(yùn)算?？上攵撬俣犬?dāng)然快啰！
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