元數(shù)，8元數(shù) 同 Clifford algebra 有本質(zhì)不同。實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，Hamilton 4元數(shù) 和 Caylay 8元數(shù)都是可以做除法的，他們屬于同一體系。從實(shí)數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)頗為容易，但是擴(kuò)展到四元數(shù)就犧牲了交換律，擴(kuò)展到8元數(shù)又進(jìn)一步犧牲了結(jié)合律。Clifford algebra 都是結(jié)合代數(shù)，它們沒有算術(shù)上的意義，它們的存在性是平凡的。 實(shí)際上8元數(shù)已經(jīng)到了“數(shù)系”擴(kuò)展的極限。也就是說，只有 R, R^2, R^4, R^8 這些向量空間上存在線性二元運(yùn)算（乘法）使得每個(gè)非零元有逆。這個(gè)跟球面的切叢是不是平凡叢幾乎是一回事。只有 S^1, S^3, S^7 有平凡切叢，正好對(duì)應(yīng)于擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，四元數(shù)， 和8元數(shù)。Allen Hatcher 的網(wǎng)上免費(fèi)教材 “Vector bundles and K-theory" 把這個(gè)問題講得非常清楚。 對(duì)現(xiàn)實(shí)的四維實(shí)時(shí)空的最簡(jiǎn)單擴(kuò)展無疑是四維復(fù)時(shí)空。這種擴(kuò)展是如此直接，以致保證了Nother定律將自然成立。因?yàn)檫@一方面是拉格朗日量能夠而且只能夠確定到任意四維散度，另一方面是由于Cayley定理成立。自從1843年在Hamilton發(fā)現(xiàn)四元數(shù)以后10年，1854年A.Caylel進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了八元數(shù)，1857年又證明了在環(huán)R 上可除代數(shù)僅有的可能維數(shù)為1、2、4、8的代數(shù)，即8維是最大的可能維數(shù)。因此，八元數(shù)可用于表示4個(gè)獨(dú)立實(shí)變量和4個(gè)獨(dú)立虛變量。在這個(gè)8維時(shí)空中，能夠保持算術(shù)定律和函數(shù)理論的有效性，因而其中的物理量能夠滿足經(jīng)典物理的守恒律。
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