數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)的核心邏輯悖論最終證實對真實世界也有影響，從而使一個關(guān)于物質(zhì)的基本問題變得從根本上無法回答。

1931年，在澳大利亞出生的數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽栒痼@了整個學(xué)術(shù)界。當(dāng)時，他宣布一些數(shù)學(xué)命題是“不可判定的”，而這意味著證明它們的對或錯是不可能的事情。如今，3位研究人員發(fā)現(xiàn)，相同的定理使計算一種材料的重要屬性——理想原子模型中電子最低能級之間的間隙——變得不可能。

該研究作者之一、英國倫敦大學(xué)學(xué)院量子信息理論學(xué)家Toby Cubitt介紹說，上述成果還引發(fā)了一種可能性，即粒子物理學(xué)中一個有著100萬美元賞金的相關(guān)問題同樣無法得到解決。

這項發(fā)現(xiàn)日前發(fā)表于《自然》雜志，140頁的更長版本則發(fā)表在arXiv預(yù)印本服務(wù)器上。西班牙巴塞羅那光子科學(xué)研究所量子信息理論學(xué)家Christian Gogolin表示，該成果“的確令人震驚，對致力于凝聚態(tài)理論研究的每個人來說可能都是一個巨大驚喜”。

1936年，英國數(shù)學(xué)家阿蘭·圖靈首次將哥德爾的發(fā)現(xiàn)同物理世界聯(lián)系起來。“對于物理和邏輯之間的關(guān)系，圖靈比哥德爾想得更加清楚?！弊珜懥烁绲聽杺饔浀拿绹骷襌ebecca Goldstein認(rèn)為。

圖靈從算法的角度將哥德爾的成果重新用公式表示出來。這些算法由一臺每次能讀或?qū)?比特數(shù)據(jù)的理想化計算機(jī)執(zhí)行。他證實，一些算法無法被此類“圖靈機(jī)”判定。也就是說，不可能知道這臺機(jī)器能否在有限的時間里完成計算，也沒有通用測試來判斷某個特定算法是否不可判定。相同的限制也適用于真實的計算機(jī)，因為任何此類設(shè)備在數(shù)學(xué)上和圖靈機(jī)是對等的。

從上世紀(jì)90年代起，理論物理學(xué)家便試圖在物理現(xiàn)象的理想化模型中體現(xiàn)圖靈的研究。不過，加拿大韋仕敦大學(xué)理論物理學(xué)家Markus Müller表示：“他們得出的不可判定問題無法直接同物理學(xué)家感興趣的具體問題聯(lián)系起來?！盡üller同Gogolin和另一位合作者在2012年發(fā)表了一個此類模型。

“我認(rèn)為，可以恰當(dāng)?shù)卣f，我們的模型是對人們會真正試圖解決的一個重要物理問題產(chǎn)生的首個不可判定性結(jié)果。”Cubitt表示。

Cubitt和合作者關(guān)注的是譜隙的計算。譜隙是電子在一種材料中能占據(jù)的最低能級和下一個能級之間的間隙，而這決定了某種材料的一些基本屬性。例如，在一些材料中，降低溫度能讓譜隙關(guān)閉，從而使這種材料變成超導(dǎo)體。

該團(tuán)隊從一種材料的理論模型——無窮二維原子晶格入手。晶格中原子的量子態(tài)可視為一臺具體化的圖靈機(jī)，包含著發(fā)現(xiàn)材料譜隙的每個計算步驟的信息。

Cubitt和同事證實，對于一個無窮晶格來說，不可能知道計算是否會終止，因此譜隙是否存在的問題就變得不可判定。

然而，對于有限的大量二維晶格而言，計算總是在有限的時間里終止，從而產(chǎn)生一個明確的答案。因此，第一眼看上去，該結(jié)果似乎同真實世界幾乎沒有關(guān)聯(lián)。真實材料的大小總是有限的，它們的屬性能通過實驗測量得到或者被計算機(jī)模擬出來。

不過，“無窮情況”的不可判定性意味著，即使知道了某個有限大小晶格的譜隙，當(dāng)材料尺寸增大時——哪怕只是單個額外原子的增加，也會發(fā)生急劇的變化，從沒有譜隙變成有譜隙，反之亦然。Cubitt表示，由于研究已經(jīng)證明不可能預(yù)測何時或者是否將發(fā)生這種情況，因此從實驗或模擬中得出普遍的結(jié)論非常困難。

他還介紹說，該團(tuán)隊最終想研究粒子物理中一個被稱為“楊—米爾斯質(zhì)量間隙問題”的相關(guān)問題。這一問題被新罕布什爾州克雷數(shù)學(xué)研究所提名為“千禧年大獎難題”之一。該研究所正提供100萬美元，尋找能解決該問題的人。

質(zhì)量間隙問題同對攜帶弱核力和強(qiáng)核力的粒子擁有質(zhì)量的觀察相關(guān)。這也解釋了為何弱核力和強(qiáng)核力擁有有限范圍，而不是像引力和電磁作用那樣以及為何夸克只是作為諸如質(zhì)子或中子的復(fù)合粒子一部分被找到，而不是單獨存在。問題在于并未有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論能解釋為何核力的載體擁有質(zhì)量，以及電磁力的載體——質(zhì)子何時變得沒有質(zhì)量。

Cubitt希望，其團(tuán)隊的方法和想法最終能證實，“楊—米爾斯質(zhì)量間隙問題”是不可判定的。不過，他認(rèn)為，如何解決這一難題目前似乎還沒有明顯的思路。“我們離贏取100萬美元還有很長的路要走。”