概念教學連載（3）“概念教學”微論壇（上）

我心飛揚695 2016-01-15

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上海市五區(qū)五校初中數(shù)學教研聯(lián)合體在徐匯中學舉行《研究課程標準，關注概念教學，促進數(shù)學理解》的主題研討活動。

以下刊登的就是蔡春梅老師(格致初級中學)、徐蕊老師(建平中學西校)概念教學'微論壇'發(fā)言摘要及全程視頻，供大家借鑒

數(shù)學概念教學設計情景引入

蔡春梅老師

在初中數(shù)學教學過程中，數(shù)學概念的引入是課堂教學的起始環(huán)節(jié)。常言所說“良好的開端是成功的一半”，數(shù)學概念的合理引入對一堂課的教學起著重要的作用。

數(shù)學課堂教學引入方式大致可以歸納為以下幾種方式：

（1）創(chuàng)設情景，引發(fā)思考；

（2）活動體驗，感悟新知；

（3）復習舊知，類比遷移；

（4）開門見山，直奔主題等。

今天我舉三個例子來說明怎樣更有效的進行課堂教學的情景引入。

一、故事情景引入

案例1、在講解“《有理數(shù)的乘方》”一節(jié)時，我們會講到國王與象棋的故事。故事的本身是為了引入乘方這一概念。主要是引發(fā)思考，怎樣將2×2×2…繁瑣的式子能用簡潔的式子表示出來。

在這節(jié)引入時要講清楚（1）乘方的表達形式；（2）底數(shù)、指數(shù)；（3）運算符號；（4）運算結果為冪

通過上述情境創(chuàng)設，讓學生通過已有的知識，歸納出特殊到一般的數(shù)學規(guī)律，使學生在原有的知識結構中得以同化與構建。這樣既符合學生的認知規(guī)律，更有利于學生的思維能力的培養(yǎng)。

二、生活情景引入

案例2、在講解“《平移》”時，讓學生觀看圖片時，教師應該適當?shù)囊龑?。首先它是一個平面在移動，其次在移動的過程中平面上所有的點都在移動，再次平面上所有的點都按相同的方向移動，最后這些點都移動相同的距離。這就是平移所具備的條件。

從而得到平移的定義：在平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動。

通過上述情境創(chuàng)設，生活中處處有數(shù)學。吸引學生的注意力，激發(fā)他們的求知欲，活躍他們的思維，同時加深對數(shù)學概念的理解。

三、問題情景引入

案例3、在講解“《二次根式》”時，提出問題：

1.已知正方形的面積為'c-5'，則正方形的邊長如何表示？

2.要修建一個面積為6.28m^2的圓形噴水池，

它的半徑為m（π取3.14）為多少？

3.在關系式中h=7t^2，如何用含有h的式子表示t？

這樣設置情景問題，讓學生從不同的式子中探尋規(guī)律，為二次根式的引入作好鋪墊。同時，注重新舊知識的連貫性，使學生有一個由淺入深的學習過程，并體會到新舊知識的學習內容應該融會貫通。

總之，引入數(shù)學概念是理解和運用數(shù)學概念的前提。數(shù)學概念形成的學習方式，主要是通過實例來引入數(shù)學概念，并通過這些實例概括出它們的共同屬性。

在選擇實例時應注意以下幾方面：

（1）針對性；應圍繞數(shù)學概念的本質屬性選擇實例，要淡化這些實例中的非本質屬性，以免干擾數(shù)學概念的形成；

（2）可比性。在概念引入階段，正例與反例應當容易識別，能明顯區(qū)分它們的某些不同屬性；

（3）適量性。實例要有一定的數(shù)量，實例的數(shù)量應因人而異，為此應充分了解學生的學習水平與接受能力；

（4）趣味性。實例應盡可能生動、有趣，語言要簡練，以利于激發(fā)學生的學習興趣，還可借助錄像、多謀體課件等多種形式引入概念；

（5）參與性。組織學生對所列舉的實例進行比較、分類，并進一步展開討論，找出它們的本質屬性。

無論設計什么樣的情境引入，都應從學生的生活經驗和已有的知識背景出發(fā)，以激發(fā)學生好奇心，引起學生學習興趣為目標，引入要自然、合情合理，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和提高自信心，使學生的思維能力、分析問題、解決問題的能力都得到提高。

辨析相關概念促進概念理解

徐蕊老師

在數(shù)學概念的新授課教學過程中，我們往往需要把多個相關概念進行新舊概念的同化和辨析，從而抽象出概念的本質屬性進而得出確切的定義。因此我把常見的、相近且容易混淆的一些重要的概念和概念之間的關系分為三類：互補式、包含式、交互式。我想就“無理數(shù)”的概念和“二次根式”的概念教學為例，闡述以上所說的三種關系。

“無理數(shù)”與“有理數(shù)”是互補關系，即一個實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)。因此我對待“無理數(shù)”這一概念的講課思路是：首先由數(shù)學故事引入：希帕斯發(fā)現(xiàn)了無法用兩個整數(shù)之比來表示的數(shù)的存在。再用實例，面積為2的正方形怎樣表示邊長，引發(fā)學生的思考。從而體現(xiàn)出，表示“無理數(shù)”這一概念的存在是有現(xiàn)實需求和存在的合理性的。進而教師可以詢問如何將面積為3、5、6、7等的正方形邊長表示出來呢？此時引入√3、√5、√6、√7的書寫形式。

接著教師可以進行辨析舉例，從小數(shù)的角度來看，“有理數(shù)”是可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)來表示的，而“無理數(shù)”則是無限不循環(huán)小數(shù)。此時可以讓學生舉出一些無限不循環(huán)小數(shù)的例子，如，π，0.1234567891011…（連續(xù)不斷地依次寫正整數(shù)）；從數(shù)的表示形式來看，“有理數(shù)”可以用分數(shù)表示，而“無理數(shù)”還可以用根號的形式來表示，此時可以例舉√7、√10、√13等。通過這些例子，學生已經初步形成了“無理數(shù)”的概念，對“無理數(shù)”不同于“有理數(shù)”的特征有了直觀認識。然后教師可以給出-π、-√3、-√5、2π、2√3、-0.101001000100001…（它的位數(shù)無限，相鄰兩個1之間0的個數(shù)依次加1）等“無理數(shù)”實例，讓學生發(fā)現(xiàn)“無理數(shù)”和“有理數(shù)”一樣也存在正負性。這兩組實例辨析，學生可以分析出“有理數(shù)”與“無理數(shù)”之間存在的共同屬性和不同屬性，從而抽象出了“無理數(shù)”概念的本質屬性：它是這樣一類小數(shù)，（1）無限；（2）不循環(huán)，它是無法用整數(shù)比表示的一類數(shù)，從而揭示了無理數(shù)的內涵，拓展出了“實數(shù)”的概念。

從-4π這個實例，我們發(fā)現(xiàn)它其實是“無理數(shù)”概念的應用，將“無理數(shù)”概念外延到“有理數(shù)”與“無理數(shù)”的加減乘除運算結果的屬性上，這樣的一個概念延伸可以使學生對“無理數(shù)”的概念有完整的認識，并且有利于對“實數(shù)”概念的準確理解。體會“實數(shù)”可以分為“有理數(shù)”和“無理數(shù)”這兩個互補式概念。

與此同時，這種互補關系還可以完善數(shù)軸上的點與數(shù)的對應關系，有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，它們所對應的點都可以相對準確的在數(shù)軸上找到，而數(shù)軸上剩下的那些點所對應的數(shù)就是無理數(shù)了。從而形成了“數(shù)軸上的每一個點都與一個實數(shù)一一對應”。

這種互補式概念的教學方式，還可以用在幾何教學上，例如：三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。它們互不包含，但可以完整包括所有的三角形。

相對于“無理數(shù)”概念的互補式特點，“二次根式”這一概念是從屬于“根式”這一概念的，它與“根式”之間的關系是屬于“包含式”的。

在實數(shù)單元章節(jié)，學生已學習了開平方運算，我的講課思路是直接引入含有根號的代數(shù)式給出定義：形如√a（a≥0）的代數(shù)式叫做“二次根式”。這個概念有三個本質屬性：（1）根指數(shù)是“2”，開平方時我們只是省略不寫，這是對“根式”這一概念中根指數(shù)加了限制條件；（2）被開方數(shù)非負，由于根指數(shù)為“2”這一特點，在“根式”的概念中當根指數(shù)是偶數(shù)時，是需要對被開方數(shù)加限制條件的；（3）這是一個“代數(shù)式”，與“根式”的形式是統(tǒng)一的。

而我們發(fā)現(xiàn)“無理數(shù)”和“二次根式”之間還存在著“交互式”關系。例如√2、√3、√7這一類被開方數(shù)為數(shù)字的“無理數(shù)”，它們從書寫形式上既滿足“無理數(shù)”中的帶根號類型，又滿足“二次根式”的三大本質屬性，根指數(shù)為2、被開方數(shù)非負且是代數(shù)式。這就是兩個概念間的重疊部分，但是由于被開方數(shù)的“數(shù)”與“式”之間本質屬性的差異，兩個概念并非完全互相包含的，比如π就不屬于“二次根式”，反之√(1+x^2)又不屬于“無理數(shù)”，由此體現(xiàn)出了兩個概念間的交互關系。

同樣，在幾何教學過程中，也有“包含式”和“交互式”概念教學的體現(xiàn)。例如，在“平行四邊形”這個單元中，“菱形”和“矩形”這兩個概念與“平行四邊形”是包含關系，而“菱形”和“矩形”這兩個概念又是交互式的，它們的重疊部分就是“正方形”?！叭切巍比绻催叿诸?，又分為“不等邊三角形”和“等腰三角形”，它們是互補式的，但“等腰三角形”與“等邊三角形”又有著包含關系，等邊三角形只是等腰三角形的一種特殊情況。

有了這樣三種概念關系的分類，我們在概念課的設計思路上就可以有針對性的設計新課引入、實例辨析和概念應用這三個環(huán)節(jié)，讓學生對概念的學習經歷從特殊到一般，從一般再到特殊的過程，從而能夠更加準確地理解概念的內涵以及它的外延。