遞推公式描述了由數(shù)列中的已知項(xiàng)獲得數(shù)列中新的項(xiàng)的方式，確定新的項(xiàng)所需要的已知項(xiàng)的數(shù)目就是遞推公式的階數(shù)．如遞推公式 的階數(shù)為．要確定一個(gè)數(shù)列，通常需要給出與階數(shù)相同的初始值，如由二階遞推公式給出的數(shù)列通常需要給定的值．

如果一個(gè)數(shù)列的遞推公式形如

其中 ，那么這個(gè)數(shù)列稱為二階線性遞推數(shù)列．它的通項(xiàng)公式可以用特征根法求出．下面我們以2008年廣東高考理科最后一題的數(shù)列為例看看特征根法：

例 已知 ，，，求．

分析我們希望將這個(gè)遞推公式變形成可以用累加法或累乘法求通項(xiàng)的形式．設(shè)

與遞推公式對(duì)比得到

即 與為一元二次方程的兩個(gè)根．我們將方程稱為遞推公式 的特征方程．

一般地，對(duì)于遞推公式

來說，定義它的特征方程為 ，若特征方程有兩個(gè)根（可以相等，也可以為復(fù)根），則有

從而

整理得

于是

兩邊同時(shí)除以 得

再通過累加法即求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

在前面的問題中 ，于是得到

從而有

由累加法（或直接由 是公差為的等差數(shù)列）得

著名的契波那契數(shù)列就是二階線性遞推數(shù)列．

斐波那契（Fibonacci Leonardo)是意大利著名的數(shù)學(xué)家，他提出了著名的＂兔子問題＂：如果每對(duì)兔子每月繁殖一對(duì)小兔子，而這對(duì)兔子在出生后第二個(gè)月長成大兔子，并可以再繁殖一對(duì)新的小兔子，在不考慮兔子死亡的前提下，從一對(duì)小兔子開始，到第 個(gè)月共有多少對(duì)兔子．

記第 個(gè)月有 對(duì)兔子，那么我們就得到一個(gè)數(shù)列 ，如圖：

因?yàn)榈?個(gè)月的兔子由兩部分組成，一部分是大兔子，與第個(gè)月的兔子數(shù)相同；另一部分是小兔子，是由第 個(gè)月的大兔子繁殖得到的，其數(shù)量正好等于第 個(gè)月的兔子數(shù)．所以有

這個(gè)數(shù)列 ： 就稱為斐波那契數(shù)列．從第三項(xiàng)起，它的每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和．

大家可以試試用特征根法求出它的通項(xiàng)公式

雖然斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式看上去很復(fù)雜，但別忘了它的每一項(xiàng)其實(shí)都是正整數(shù)．另外，波那契數(shù)列還有很多特點(diǎn)，比如它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越接近 ，也就是黃金分割數(shù)，所以斐波那契數(shù)列也被稱為黃金數(shù)列．

由 數(shù)海拾貝 供稿。

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