【知識(shí)要點(diǎn)歸納】

1．比例的意義

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。它是判定兩個(gè)比能否組成比例的依據(jù)之一。組成比例的四個(gè)數(shù)叫做它的項(xiàng)，分為內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)。

2．比例的基本性質(zhì)

在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。它是判定兩個(gè)比能否組成比例的另一重要依據(jù)。運(yùn)用比例的基本性質(zhì)可以解比例。

3．解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)，叫做解比例。

4．比例尺

（1）比例尺的意義。

圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。表示如下：

圖上距離：實(shí)際距離=比例尺    或=比例尺

比例尺一般寫成“1∶a”或“a∶1”的形式，分為數(shù)字比例尺和線段比例尺兩種。

5．比例尺的作用

在繪地圖和其它平面圖的時(shí)候，需要把實(shí)際距離縮小一定的倍數(shù)；在制造精密儀器時(shí)，需要把實(shí)際尺寸擴(kuò)大一定倍數(shù)后，再畫在圖紙上。

6．求圖上距離和實(shí)際距離的方法

一般用方程來(lái)解答。即設(shè)定要求的量為未知數(shù)，然后列成比例式，再用解比例的方式求出未知數(shù)。如果計(jì)算熟練，也可以直接運(yùn)用公式解答：

圖上距離=實(shí)際距離×比例尺   實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺

【典型范例剖析】

例1 如果兩個(gè)比的比值和互為倒數(shù)，那么a、b、c、d這四個(gè)數(shù)可以組成怎樣的比例？寫出比例式？

分析：由與互為倒數(shù)，且的倒數(shù)是，可知。

解：a、b、c、d四個(gè)數(shù)可能組成的比例式為：

①　　?、?sub>　　?、?sub>　　?、?sub>

例2 判定、、、四個(gè)數(shù)能否組成比例。

分析：判定兩個(gè)比能否組成比例的方法有兩種：一是定義；二是比例的基本性質(zhì)。運(yùn)用比例的基本性質(zhì)判定時(shí)，可以將四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)組成一組，剩下的兩個(gè)數(shù)組成一組，看它們的乘積是不是相等；運(yùn)用定義作判定時(shí)，可以將四個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)比、讓剩下的兩個(gè)較大的數(shù)組成一個(gè)比，看它們的比值是否相等。

則、、、可以組成比例

答：、、、四個(gè)數(shù)可以組成比例。

例3 在比例尺是1：2000的圖紙上，量得一個(gè)長(zhǎng)方形花園的長(zhǎng)是2．4厘米，寬是1．8厘米，這個(gè)花園的實(shí)際面積是多少平方米？

分析：長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬，題中告訴了比例尺和圖上距離，我們可以直接運(yùn)用關(guān)系式來(lái)求出長(zhǎng)與寬的實(shí)際距離，然后計(jì)算花園的實(shí)際面積。

解：設(shè)長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米則有：

③長(zhǎng)方形的面積為：48×36＝1728（平方米）

答：這個(gè)花園的實(shí)際面積是1728平方米

例4 甲的等于乙數(shù)的，那么甲比乙少幾分之幾？

分析：根據(jù)比例的基本性質(zhì)將甲×=乙×寫成比例的形式，然后，看甲、乙的分?jǐn)?shù)，最后用“甲比乙少幾分之幾”的關(guān)系式（乙-甲）÷乙，得出結(jié)果。

解：由甲×=乙×得，　　　　甲：乙=：=

則甲=乙×，也就是把乙看成單位“1”平均分成21份，甲相當(dāng)于其中的8份。則

（21-8）÷21=

答：甲比乙少。

【解題技巧指點(diǎn)】

1．用求比值的方法組成比例時(shí)，注意四個(gè)數(shù)如何分成兩組：一是將較小的兩個(gè)數(shù)分成一組，將較大的兩個(gè)數(shù)分成一組；二是將較小和較大的兩組數(shù)中的較小的分成一組，較大的分成一組。如：1，2，4，8。可以將1、2和4、8分成兩組，即1∶2＝4∶8或2∶1=8∶4，也可以將1、4和2、8分成兩組即1∶4＝2∶8或4∶1=8∶2。

2．用比例的基本性質(zhì)組比例時(shí)，分組的方法只有一種，那就是用最小的和最大的組成一組，其余兩個(gè)組成一組：如3、4、6、8四個(gè)數(shù)：可以將3、8和4、6組成兩組。即：3×8＝4×6

3．利用比例的基本性質(zhì)判定四個(gè)數(shù)能組成比例后，一般可以得到四個(gè)比例式，這四個(gè)比例式的表現(xiàn)形式雖不一樣，但都滿足“兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積”。

4．運(yùn)用比例尺解題時(shí)，要特別注意單位的統(tǒng)一。如求用60厘米表示30千米的比例尺時(shí)，就是用60厘米：30千米=60厘米∶3000000厘米=1∶50000。

【課本難題解答】

練習(xí)一第8題

分析：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，我們可以用等號(hào)左邊的一個(gè)因式分別比等號(hào)右邊的一個(gè)因式，再用等號(hào)右邊剩下的一個(gè)因式比等號(hào)左邊剩下的一個(gè)因式：

解：（1）由3×40＝8×15得3∶8＝15∶40  3∶15＝8∶40  40∶8＝15∶3

40∶15=8∶3 （上述四個(gè)比例式的左、右兩邊還可以調(diào)換位置）

（2）由得

練習(xí)一思考題

分析與答案：三人進(jìn)行田徑比賽，有五個(gè)項(xiàng)目，就有五個(gè)第一名、五個(gè)第二名和五個(gè)第三名，三人的總分為：

（1+2+5）×5＝40（分）。乙得800米賽跑的第一名，得到5分，那么他其它四項(xiàng)就一共得4分，所以乙得到其它四項(xiàng)的第三名。丙一共得到9分，他不能再得到某項(xiàng)的第一名，所以丙得到100米、400米、跳高、跳遠(yuǎn)的第二名和800米的第三名。則甲得到800米的第二名和其它四項(xiàng)的第一名。

練習(xí)二第10題

分析：題中要求的是平行四邊形的實(shí)際面積，但未告訴圖上距離，我們可以用刻度尺量出平行四邊形的底邊和高大約為2.5厘米、1.5厘米，再根據(jù)求實(shí)際距離的公式，求出平行四邊形的實(shí)際底邊和高的長(zhǎng)度，最后計(jì)算其實(shí)際面積。

解：量得平行四邊形的底邊長(zhǎng)2.5厘米，高為1.5厘米，則

①平行四邊形的實(shí)際底長(zhǎng)為：2.5÷=1250厘米

②平行四邊形的實(shí)際高為：1.5÷=750厘米

1250厘米=12.5米　　　　　　750厘米=7.5米

③平行四邊形的面積為： 12.5×7.5＝93.75平方米。

答：實(shí)際面積為93.75平方米。

練習(xí)二思考題

分析與答案：從圖中可以看出：三角形的內(nèi)角和是180°，即180×（3-2）度；四邊形引一條對(duì)角線，可以看作兩個(gè)三角形，所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2＝360°，即180×（4-2）度；依此類推，發(fā)現(xiàn)n邊形的內(nèi)角和是180×（n-2）度。

【發(fā)散思維導(dǎo)訓(xùn)】

導(dǎo)1 把“”改成比例的形式，一共能得到哪些不同的比例？

分析：根據(jù)比例的定義，要想將乘法關(guān)系的兩個(gè)相等式子，改成相比關(guān)系的兩個(gè)相等式子，我們可以運(yùn)用乘除互逆的原則來(lái)進(jìn)行變形。即，由“”得“=×2.5÷4.5”進(jìn)一步，得到“”也就是：。

解：根據(jù)題意，能得到的比例是：

①　　　　　　　?、?sub>

③4.5：　　　　　　　 ④4.5：2.5=

說(shuō)明：檢驗(yàn)比例是否正確的原則是比例的基本性質(zhì)。通過上例的檢驗(yàn)，我們可以發(fā)現(xiàn)：四個(gè)比例所變成的兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積都滿足一個(gè)式子：。

導(dǎo)2 在比例尺是1：6000000的地圖上，量得兩地距離是5厘米。甲、乙兩輛汽車同時(shí)從兩地相向而行，3小時(shí)后兩車相遇。已知甲汽車與乙汽車的速度比是2：3，求甲、乙兩輛汽車的速度各是多少千米/時(shí)？

分析：這道題實(shí)際上是行程問題中的相遇問題，我們要根據(jù)題中的比例尺和圖上距離，先求出甲、乙兩地之間的實(shí)際距離：5÷=30000000厘米=300千米。然后運(yùn)用相遇問題的關(guān)系式：S_甲+S_乙＝S_總（S_甲、S_乙、S_總分別表示甲、乙行駛的路程和總路程）來(lái)解答問題。

解：甲、乙兩地之間的實(shí)際距離為：

5÷=30000000厘米=300千米。

設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為x千米/時(shí)，則

3x+3×=300     （x=60）

則x=（千米/時(shí)）

答：甲車速度為每小時(shí)40千米，乙車速度為每小時(shí)60千米。

導(dǎo)3 青山區(qū)小學(xué)六年級(jí)學(xué)生分三組參加植樹活動(dòng)，第一組和第二組人數(shù)的比是5：4，第二組和第三組人數(shù)的比是3：2，已知第一組人數(shù)比第二、三組人數(shù)的總和少15人。求六年級(jí)參加植樹的共有多少人？

分析：先根據(jù)各小組之間的比例關(guān)系，找出三個(gè)組之間的具體比例關(guān)系，然后找出與15相對(duì)應(yīng)的分率，從而找出對(duì)應(yīng)的總量：

解：由

得三個(gè)組之間的比例關(guān)系是：甲：乙：丙=15：12：8。

解法一：15÷（）=105（人）

解法二：設(shè)六年級(jí)的總?cè)藬?shù)為x人，則：

     （x=105）

答：六年級(jí)共有人數(shù)105人。

訓(xùn)1 三人共儲(chǔ)蓄780元，現(xiàn)甲從自己的存款中取出100元；乙從自己的存款中取出80元，丙取出本人儲(chǔ)蓄的，則三人余下的存款有這樣的關(guān)系；甲是乙的倍，乙與丙的比是3：2，則甲、乙、丙三人原各有多少存款？

訓(xùn)2 甲、乙兩人騎自行車各從一地同時(shí)相向而行，甲行全程要6小時(shí)，兩人相遇時(shí)所行的路程比是3：2，這時(shí)甲比乙多行18千米，求乙每小時(shí)行多少千米。

訓(xùn)3 甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)原有水泥袋數(shù)的比是4：3，甲倉(cāng)庫(kù)用去48袋后，甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)水泥袋數(shù)的比是2：3，甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)原有水泥各多少袋？

【同步達(dá)綱練習(xí)】

【作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)】

1．填空。

（1）4∶0.5的比值是（    ），12∶15的比值是（    ）。

（2）的比值是（    ），與它的比值相等的最簡(jiǎn)比是（    ），兩個(gè)比組成的比例是（    ）。

（3）如果5a＝8b，那么（    ）：（    ）＝5：8。

（4）如果，那么m∶n＝（    ）：（    ）。

（5）用3、6、2、9四個(gè)數(shù)組成兩個(gè)不同的比例是（              ）。

（6）圖上20厘米表示實(shí)際10千米，這幅地圖的比例尺是（          ）。

（7）比例尺1：5000000，表示地圖上1厘米的距離表示地面上實(shí)際上（    ）千米。

（8）這是（    ）例尺，它表示圖上（    ）的距離，相當(dāng)于實(shí)際距離（    ）千米。

（9）比例尺4：1是表示把實(shí)際距離（    ）。

（10）圖上的距離是實(shí)際距離的10倍，畫在地圖上、所用的比例尺是（    ），如畫一個(gè)零件在圖紙上是20厘米，實(shí)際上這個(gè)零件的長(zhǎng)度為（        ）。

2．判斷。（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）兩個(gè)比組成的式子叫比例。（    ）

（2）由2、3、4、5四個(gè)數(shù)可以組成比例。（    ）

（3）因?yàn)?x=4y，所以。（    ）

（4）在比例尺是的圖紙上量得一條小路長(zhǎng)1厘米，這條小路實(shí)際長(zhǎng)1千米。（    ）

（5）圖上長(zhǎng)4厘米的線段表示實(shí)際長(zhǎng)20千米，則這幅圖的比例尺是1：5000。（    ）

3．選擇題。

（1）能與組成比例的是（    ）。

①2：3

②3：2

③

④

（2）下列各組數(shù)中可以組成比例的是（    ）。

①0、1、3、6

②2、3、4、6

③5、6、8、9

④1、2、3、4

（3）能與、1、組成比例的數(shù)有（    ）個(gè)。

①0

②1

③2

④3

（4）在比例尺是的地圖上量得兩地之間的距離是4厘米，則兩地之間的實(shí)際距離是（    ）千米。

①24000000

②24000

③2400

④240

（5）一個(gè)工廠的長(zhǎng)是600米，畫在比例尺是的地圖上是（    ）厘米。

①6

②15

③4

④1

（6）在一個(gè)比例式中，兩個(gè)比的比值是4，這兩個(gè)比的內(nèi)項(xiàng)都是6，這個(gè)比例式是（    ）。

①24：6＝6：65

②1.5：6＝6：24

③6：1.5＝24：6

（7）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是2：3：5，這個(gè)三角形是（    ）三角形。

①直角

②銳角

③鈍角

④等腰

（8）在中，x等于（    ）才能組成比例。

①1.5

②

③2

④1

4．根據(jù)下列要求寫出比例式。

（1）使它的各項(xiàng)都是整數(shù)，而且兩個(gè)比的比值是5。

（2）使它的內(nèi)項(xiàng)相等，而且兩個(gè)比的比值都是。

（3）使它的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)互為倒數(shù)。

5．解比例。

（1）                  （2）

（3）              （4）x:

6．應(yīng)用題。

(1)兩地之間的距離是600千米，畫在地圖上用3厘米的線段來(lái)表示，那么這幅地圖的比例尺是多少？

（2）在比例尺為1：20000的圖紙上，量出一個(gè)操場(chǎng)的寬為2厘米，長(zhǎng)為3厘米，它的實(shí)際面積是多少平方米？

(3)在比例尺為1：3000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為3.6厘米，如果汽車以每小時(shí)60千米的速度從甲地到乙地，多少小時(shí)可以到達(dá)？

（4）在一幅比例尺是1：200000O的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是20厘米。如果在另一幅地圖上，甲、乙兩地的距離是10厘米，另一幅地圖的比例尺是多少？

【快樂大本營(yíng)】

放大比例尺

在比例尺為100：1的圖紙上，量得一個(gè)零件的長(zhǎng)是15厘米，這個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)度是多少厘米？試比較這個(gè)零件圖上長(zhǎng)度和實(shí)際長(zhǎng)度的大小。

【作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)】

1．（1）8，   （2），3：160，：20=3：160  （3）b：a  （4）7:11  （5）略  （6）  （7）50  （8）線段比，1 ，20  （9）擴(kuò)大4倍  （10）10：1，2厘米

2．（1）×  （2）×  （3）√  （4）×  （5）×

3．（1）①  （2）②  （3）④  （4）④  （5）②  （6）②  （7）②

4．略

5．（1）x=30  （2）x=1  （3）  （4）x=

6．（1）1：20000000  （2）240000平方米  （3）1.8小時(shí)  （4）1：4000000

【快樂大本營(yíng)】

0.15厘米，圖上長(zhǎng)度大于實(shí)際長(zhǎng)度