方差分析(方差分析,總體均數(shù),變異,樣本均數(shù))

豆包規(guī)劃 2016-01-21

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方差分析

方差分析（analysis of variance,簡寫為ANOV或ANOVA）可用于兩個或兩個以上樣本均數(shù)的比較。應用時要求各樣本是相互獨立的隨機樣本；各樣本來自正態(tài)分布總體且各總體方差相等。方差分析的基本思想是按實驗設計和分析目的把全部觀察值之間的總變異分為兩部分或更多部分，然后再作分析。常用的設計有完全隨機設計和隨機區(qū)組設計的多個樣本均數(shù)的比較。

一、完全隨機設計的多個樣本均數(shù)的比較

又稱單因素方差分析。把總變異分解為組間（處理間）變異和組內變異（誤差）兩部分。目的是推斷k個樣本所分別代表的μ₁ ，μ₂ ，……μ_k 是否相等，以便比較多個處理的差別有無統(tǒng)計學意義。其計算公式見表19-6。

表19-6 完全隨機設計的多個樣本均數(shù)比較的方差分析公式

變異來源	離均差平方和SS	自由度v	均方MS	F
總	ΣX² -C*	N-1
組間（處理組間）		k-1	SS_組間 /v_組間	MS_組間 /MS_組間
組內（誤差）	SS_總 -SS_組間	N-k	SS_組內 /v_組內

*C=（ΣX）² /N=Σ_ni ,k為處理組數(shù)

表19-7 F值、P值與統(tǒng)計結論

α	F值	P值	統(tǒng)計結論
0.05	＜F_0.05(v1.V2)	＞0.05	不拒絕H₀ ，差別無統(tǒng)計學意義
0.05	≥F_0.05(v1.V2)	≤0.05	拒絕H₀ ，接受H₁ ，差別有統(tǒng)計學意義
0.01	≥F_0.01(v1.V2)	≤0.01	拒絕H₀ ，接受H₁ ，差別有高度統(tǒng)計學意義

方差分析計算的統(tǒng)計量為F，按表19-7所示關系作判斷。

例19.9 某湖水不同季節(jié)氯化物含量測量值如表19-8，問不同季節(jié)氯化物含量有無差別？

表19-8 某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L）

X_ij		春		夏		秋		冬
		22.6		19.1		18.9		19.0
		22.8		22.8		13.6		16.9
		21.0		24.5		17.2		17.6
		16.9		18.0		15.1		14.8
		20.0		15.2		16.6		13.1
		21.9		18.4		14.2		16.9
		21.5		20.1		16.7		16.2
		21.2		21.2		19.6		14.8
ΣX_ij j	167.9		159.3		131.9		129.3		588.4(ΣX)
n_i	8		8		8		8		32(N)
X_i	20.99		19.91		16.49		16.16
ΣX² _ijj	3548.51		3231.95		2206.27		2114.11		11100.84(ΣX² )

H₀ ：湖水四個季節(jié)氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ₁ =μ₂ =μ₃ =μ₄

H₁ ：四個總體均數(shù)不等或不全相等

α=0.05

先作表19-8下半部分的基礎計算。

C= （Σx）² /N=(588.4)² /32=10819.205

SS_總 =Σx² -C=11100.84-10819.205=281.635

V_總 =N-1=31

V_組間 =k-1=4-1=3

SS_組內 =SS_總 -SS_組間 =281.635-141.107=140.465

V_組內 =N-k=32-4=28

MS_組間 =SS_組間 /v_組間 =141.107/3=47.057

MS_組內 =SS_組內 /v_組內 =140.465/28=5.017

F=MS_組間 /MS_組內 =47.057/5.017=9.380

以v₁ （即組間自由度）=3，v₂ （即組內自由度）=28查附表19-2，F(xiàn)界值表，得F_0.05(3,28) =2.95,F_0.01(3,28) =4.57。本例算得的F=9.380＞F_0.01(3,28) ,P＜0.01,按α=0.05檢驗水準拒絕H₀ ，接受H₁ ，可認為湖水不同季節(jié)的氯化物含量不等或不全相等。必要時可進一步和兩兩比較的q檢驗，以確定是否任兩總體均數(shù)間不等。

資料分析時，常把上述計算結果列入方差分析表內，如表19-9。

表19-9 例19.9資料的方差分析表

變異來源	SS	v	MS	F	P
組間	141.170	3	47.057	9.38	＜0.01
組內	140.465	28	5.017
總	281.635	31

二、隨機區(qū)組（配伍組）設計的多個樣本均數(shù)比較

又稱兩因素方差分析。把總變異分解為處理間變異、區(qū)組間變異及誤差三部分。除推斷k個樣本所代表的總體均數(shù)，μ₁ ，μ₂ ，……μ_k 是否相等外，還要推斷b個區(qū)組所代表的總體均數(shù)是否相等。也就是說，除比較多個處理的差別有無統(tǒng)計學意義外，還要比較區(qū)組間的差別有無統(tǒng)計學意義。該設計考慮了個體變異對處理的影響，故可提高檢驗效率。

表19-10隨機區(qū)組設計的多個樣本均數(shù)比較的方差分析公式

變異來源	離均差平方和SS	自由度v	均方MS	F
總	ΣX² -C	N-1
處理間		k-1	SS_處理 /v_處理	MS_處理 /MS_誤差
區(qū)組間		b-1	SS_區(qū)組 /v_區(qū)組	MS_區(qū)組 MS_誤差
誤差	SS_總 -SS_處理 -SS_區(qū)組	V_總 -v_處理 -v_區(qū)組	SS_誤差 /v_誤差

C、k、N的意義同表19-6，b為區(qū)組數(shù)

例19.10為研究酵解作用對血糖濃度的影響，從8名健康人中抽血并制成血濾液。每個受試者的血濾液被分成4份，再隨機地把4份血濾液分別放置0，45，90，135分鐘，測定其血溏濃度（表19-11），試問放置不同時間的血糖濃度有無差別？

處理間：

H₀ ：四個不同時間血糖濃度的總體均數(shù)相等，即μ₁ =μ₂ =μ₃ =μ₄

表19-11 血濾放置不同時間的血糖濃度（mmol/L）

區(qū)組號	放置時間（分）				受試者小計 ΣX_ij j
區(qū)組號	0	45	90	135	受試者小計 ΣX_ij j
1	5.27	5.27	4.94	4.61	20.09
2	5.27	5.22	4.88	4.66	20.03
3	5.88	5.83	5.38	5.00	22.09
4	5.44	5.38	5.27	5.00	21.09
5	5.66	5.44	5.38	4.88	21.36
6	6.22	6.22	5.61	5.22	23.27
7	5.83	5.72	5.38	4.88	21.81
8	5.27	5.11	5.00	4.44	19.82
ΣX_ij j	44.84	44.19	41.84	38.69	169.56(ΣX)
N_i	8	8	8	8	32(N)
X_i	5.6050	5.5238	5.2300	4.8363
ΣX² _ij j	252.1996	245.0671	219.2962	187.5585	904.1214(ΣX² )

H₁ ：四個總體均數(shù)不等或不全相等

α=0.05

區(qū)組間：

H₀ ：八個區(qū)組的總體均數(shù)相等，即μ₁ =μ₂ =……μ₈

H₁ ：八個區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全相等

α=0.05

先作表19-11下半部分和右側一欄的基本計算。

C=(ΣX)² /N=(169.56)² /32=898.45605

SS_總 =ΣX² -C=904.1214-898.45605=5.66535

V_總 =N-1=32-1=31

V_處理 =k-1=4-1=3

V_區(qū)組 =b-1=8-1=7

SS_誤差 =SS_總 -SS_處理 -SS_區(qū)組 =5.66535-2.90438-2.49800=0.26297

V_誤差 =（k-1）(b-1)=3×7=21

MS_處理 =SS_處理 /v_處理 =2.90438/3=0.9681

MS_區(qū)組 =SS_區(qū)組 /v_區(qū)組 =2.49800/7=0.3569

MS_誤差 =SS_誤差 /v_誤差 =0.26297/21=0.0125

F_處理 =MS_處理 /MS_誤差 =0.9681/0.0125=77.448

F_區(qū)組 =MS_區(qū)組 /MS_誤差 =0.3569/0.0125=28.552

推斷處理間的差別，按v₁ =3，v₂ =21查F界值表，得F_0.005(3,21) =3.07,F_0.01(3,21) =4.87,P＜0.01；推斷區(qū)組間的差別，按v₁ =7，v₂ =21查F界值表，得F_0.05(7,21) =2.49,F_0.01(7,21) =3.64,P＜0.01。按α=0.05檢驗水準皆拒絕H₀ ，接受H₁ ，可認為放置時間長短會影響血糖濃度且不同受試者的血糖濃度亦有差別。但尚不能認為任兩個不同放置時間的血糖濃度總體均數(shù)皆有差別，必要時可進一步作兩兩比較的q檢驗。

表19-12 例19.10資料的方差分析表

變異來源	SS	v	MS	F	P
處理間	2.90438	3	0.9681	77.448	＜0.01
區(qū)組間	2.49800	7	0.3569	28.552	＜0.01
誤差	0.26297	21	0.0125
總	5.66538	31

三、多個樣本均數(shù)間的兩兩比較的q檢驗

經方差分析后，若按α=0.05檢驗水準不拒絕H₀ ，通常就不再作進一步分析；若按α=0.05甚至α=0.01檢驗水準拒絕H₀ ，且需了解任兩個總體均數(shù)間是否都存在差別，可進一步作多個樣本均數(shù)間的兩兩比較。兩兩比較的方法較多，在此僅介紹較常用的q檢驗（Newman-Keuls法）

公式（19.13）

(各組n_i 相等) 公式（19.14）

（各組n_i 不等) 公式（19.15）

式中，x_Ａ -x_Ｂ為兩兩對比中，任兩個對比組A、B的樣本均數(shù)之差；sx_A -x_B 為兩樣本均數(shù)差的標準誤；n_i 為各處理組的樣本含量；n_A ,n_B 分別為A、B兩對比組的樣本含量；MS_誤差為單因素方差分析中的組內均方（MS_組內）或兩因素方差分析中的誤差均方（MS_誤差）。

計算的統(tǒng)計量為q，按表19-13所示關系作判斷。

例19.11 對例19.9資料作兩兩比較

H₀ :任兩個季節(jié)的湖水氯化物含量的總體均數(shù)相等，即μ_A =μ_B

H₁ ：任兩總體均數(shù)不等，即μ_A ≠μ_B

表19-13 |q| 值、P值與統(tǒng)計結論

α	\|q\|	P值	統(tǒng)計結論
0.05	＜q_0.05(v.a)	＞0.05	不拒絕H₀ ，差別無統(tǒng)計學意義
0.05	≥q_0.05(v.a)	≤0.05	拒絕H₀ 。接受H₁ ，差別有統(tǒng)計學意義
0.01	≥q_0.01(v.a)	≤0.01	拒絕H₀ ，接受H₁ ，差別有高度統(tǒng)計學意義

α= 0.05

1．將四個樣本的均數(shù)由大到小排列編秩，注明處理組。

x_i	167.9	159.3	131.9	129.3
處理組	春	夏	秋	冬
秩次	1	2	3	4

2．計算 sx_A -x_B 本例各處理組的樣本含量n₁ 相等，按式（19，14）計算兩均數(shù)差的標準誤。已知MS_組內= 5.017,n=8

3．列兩兩比較的q檢驗計算表（表19-14）

表19-14 兩兩比較的q檢驗計算表

A與B （1）	x_Ａ -x_Ｂ（2）	組數(shù)，a （3）	q值（4）=（2）/0.7919	q_0.05(v.a) (5)	q_0.01(v.a) (6)	P值（7）
（1）與（4）	38.6	4	48.744	3.85	4.80	＜0.01
（1）與（3）	36.0	3	45.460	3.49	4.45	＜0.01
（1）與（2）	8.6	2	10.860	2.89	3.89	＜0.01
（2）與（4）	30.0	3	37.884	3.49	4.45	＜0.01
（2）與（3）	27.4	2	34.600	2.89	3.89	＜0.01
（2）與（4）	2.6	2	3.283	2.89	3.89	＜0.05

表中第（1）欄為各對比組，如第一行1與4，指A為第1組，B為第4組。第（2）欄為兩對比組均數(shù)之差，如第一行為X₁ 與X₄ 之差，余類推。第（3）欄為四個樣本均數(shù)按大小排列時，A、B兩對比組范圍內所包含的組數(shù)a，如第一“1與4”范圍內包含4個組，故a=4。第（4）欄是按式（19.13）計算的統(tǒng)計量q值，式中的分母0.7919是按式（19.14）計算出來的S^X _A -^X _B 。第（5）、（6）欄是根據(jù)誤差自由度v與組數(shù)a查附表19-3q界值表所得的q界值,本例v_誤差 =28，因q界值表中自由度一欄無28，可用近似值30或用內插法得出q界值，本例用近似值30查表，當a=4時，q_{0.05(30,4)=3.85,} q_{0.01(30,4)=4.80} ,余類推。第（7）欄是按表19-13判定的。

4．結論由表19-14可見，除秋季與冬季為P＜0.05外，其它任兩對比組皆為P＜0.01，按α=0.05檢驗水準均拒絕H₀ ，接受H₁ ，可認為不同季節(jié)的湖水氯化物含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。