蒙特卡羅(Monte Carlo)方法，也稱為計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于”隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。

一、起源

這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的”曼哈頓計(jì)劃”。Monte Carlo方法創(chuàng)始人主要是這四位：Stanislaw Marcin Ulam、Enrico Fermi、John von Neumann（學(xué)計(jì)算機(jī)的肯定都認(rèn)識這個(gè)牛人吧）和 Nicholas Metropolis。

• Stanislaw Marcin Ulam是波蘭裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，早年是研究拓?fù)涞模笠騾⑴c曼哈頓工程，興趣遂轉(zhuǎn)向應(yīng)用數(shù)學(xué)，他首先提出用Monte Carlo方法解決計(jì)算數(shù)學(xué)中的一些問題，然后又將其應(yīng)用到解決鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的理論中去，可以說是MC方法的奠基人；
• Enrico Fermi是個(gè)物理大牛，理論和實(shí)驗(yàn)同時(shí)都是大牛，這在物理界很少見，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到這個(gè)人很多次，對于這么牛的人只能是英年早逝了（別說我嘴損啊，上帝都嫉妒！）；
• John von Neumann（馮·諾依曼）可以說是計(jì)算機(jī)界的牛頓吧，太牛了，結(jié)果和Fermi一樣，被上帝嫉妒了；
• Nicholas Metropolis，希臘裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，物理學(xué)家，計(jì)算機(jī)科學(xué)家，這個(gè)人對Monte Carlo方法做的貢獻(xiàn)相當(dāng)大，正式由于他提出的一種什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能夠得到如此廣泛的應(yīng)用，這人現(xiàn)在還活著，與前幾位牛人不同，Metropolis很專一，他一生主要的貢獻(xiàn)就是Monte Carlo方法。

蒙特卡羅方法的名字來源于摩納哥的一個(gè)城市蒙地卡羅，該城市以賭博業(yè)聞名，而蒙特·卡羅方法正是以概率為基礎(chǔ)的方法。與它對應(yīng)的是確定性算法。

二、解決問題的基本思路

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的”頻率”來決定事件的”概率”。19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來決定圓周率π。本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。

為了說明Monte Carlo方法的基本思想，讓我們先來看一個(gè)簡單的例子，從此例中你可以感受如何用Monte Carlo方法考慮問題。

例1:比如y=x^2(對x)從0積到1。結(jié)果就是下圖紅色部分的面積：

注意到函數(shù)在(1,1)點(diǎn)的取值為1，所以整個(gè)紅色區(qū)域在一個(gè)面積為1的正方形里面。所以所求區(qū)域的面積即為 在正方形區(qū)域內(nèi)任取點(diǎn)，點(diǎn)落在所求區(qū)域的概率。這個(gè)限制條件是y^2。用matlab模擬，做一百萬次(即共取1000000個(gè)點(diǎn))，結(jié)果為0.3328。

1）總結(jié)Monte Carlo方法的基本思想：所求解問題是某隨機(jī)事件A出現(xiàn)的概率（或者是某隨機(jī)變量B的期望值）。通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法，得出A事件出現(xiàn)的頻率，以此估計(jì)出A事件出現(xiàn)的概率（或者得到隨機(jī)變量B的某些數(shù)字特征，得出B的期望值）。

2）工作過程
在解決實(shí)際問題的時(shí)候應(yīng)用蒙特卡羅方法主要有兩部分工作：

• 用蒙特卡羅方法模擬某一過程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。
• 用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)出來，從而得到實(shí)際問題的數(shù)值解。

3）蒙特卡羅解題三個(gè)主要步驟：

① 構(gòu)造或描述概率過程： 對于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問題，如粒子輸運(yùn)問題，主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過程，對于本來不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問題，比如計(jì)算定積分，就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問題。

② 實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣： 構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量），就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的原因。最簡單、最基本、最重要的一個(gè)概率分布是(0,1)上的均勻分布（或稱矩形分布）。隨機(jī)數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個(gè)簡單子樣，也就是一個(gè)具有這種分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問題，就是從這個(gè)分布的抽樣問題。在計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)，或偽隨機(jī)數(shù)序列。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來使用。由已知分布隨機(jī)抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機(jī)序列來實(shí)現(xiàn)的，也就是說，都是以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)為前提的。由此可見，隨機(jī)數(shù)是我們實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。 建立各種估計(jì)量： 一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計(jì)。

③ 建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問題的解。 例如：檢驗(yàn)產(chǎn)品的正品率問題，我們可以用1表示正品，0表示次品，于是對每個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)可以定義如下的隨機(jī)變數(shù)Ti，作為正品率的估計(jì)量： 于是，在N次實(shí)驗(yàn)后，正品個(gè)數(shù)為： 顯然，正品率p為： 不難看出，Ti為無偏估計(jì)。當(dāng)然，還可以引入其它類型的估計(jì)，如最大似然估計(jì)，漸進(jìn)有偏估計(jì)等。但是，在蒙特卡羅計(jì)算中，使用最多的是無偏估計(jì)。 用比較抽象的概率語言描述蒙特卡羅方法解題的手續(xù)如下：構(gòu)造一個(gè)概率空間(W ,A,P)，其中，W 是一個(gè)事件集合，A是集合W 的子集的s 體，P是在A上建立的某個(gè)概率測度；在這個(gè)概率空間中，選取一個(gè)隨機(jī)變量q (w ),w ? W ,使得這個(gè)隨機(jī)變量的期望值 正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的簡單子樣的算術(shù)平均值作為Q 的近似值。

三、本方法特點(diǎn)

直接追蹤粒子，物理思路清晰，易于理解。

• 采用隨機(jī)抽樣的方法，較真切的模擬粒子輸運(yùn)的過程，反映了統(tǒng)計(jì)漲落的規(guī)律。
• 不受系統(tǒng)多維、多因素等復(fù)雜性的限制，是解決復(fù)雜系統(tǒng)粒子輸運(yùn)問題的好方法。
• MC程序結(jié)構(gòu)清晰簡單。
• 研究人員采用MC方法編寫程序來解決粒子輸運(yùn)問題，比較容易得到自己想得到的任意中間結(jié)果，應(yīng)用靈活性強(qiáng)。
• MC方法主要弱點(diǎn)是收斂速度較慢和誤差的概率性質(zhì)，其概率誤差正比于，如果單純以增大抽樣粒子個(gè)數(shù)N來減小誤差，就要增加很大的計(jì)算量。

另一類形式與Monte Carlo方法相似，但理論基礎(chǔ)不同的方法-”擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)-近年來也獲得迅速發(fā)展。我國數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的”華-王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是”用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學(xué)上稱為Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的隨機(jī)數(shù)序列。對某些問題該方法的實(shí)際速度一般可比Monte Carlo方法提出高數(shù)百倍，并可計(jì)算精確度。

蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動力學(xué)計(jì)算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

四、Monte Carlo方法的計(jì)算程序

關(guān)于蒙特卡羅方法的計(jì)算程序已經(jīng)有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。這些程序大多經(jīng)過了多年的發(fā)展，花費(fèi)了幾百人年的工作量。除歐洲核子研究中心（CERN）發(fā)行的GEANT主要用于高能物理探測器響應(yīng)和粒子徑跡的模擬外，其它程序都深入到低能領(lǐng)域，并被廣泛應(yīng)用。就電子和光子輸運(yùn)的模擬而言，這些程序可被分為兩個(gè)系列：

1. EGS4、FLUKA、GRANT
2. ETRAN、ITS、MCNP 這兩個(gè)系列的區(qū)別在于：對于電子輸運(yùn)過程的模擬根據(jù)不同的理論采用了不同的算法。

EGS4和ETRAN分別為兩個(gè)系列的基礎(chǔ)，其它程序都采用了它們的核心算法。

ETRAN(for Electron Transport)由美國國家標(biāo)準(zhǔn)局輻射研究中心開發(fā)，主要模擬光子和電子，能量范圍可從1KeV到1GeV。

ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes )是由美國圣地亞哥（Sandia）國家實(shí)驗(yàn)室在ETRAN的基礎(chǔ)上開發(fā)的一系列模擬計(jì)算程序，包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等，它們的主要差別在于幾何模型的不同。

TIGER研究的是一維多層的問題，CYLTRAN研究的是粒子在圓柱形介質(zhì)中的輸運(yùn)問題，ACCEPT是解決粒子在三維空間輸運(yùn)的通用程序。
NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美國橡樹林國家實(shí)驗(yàn)室(Oak Ridge National Laboratory)開發(fā)的一套模擬中子、光子和電子在物質(zhì)中輸運(yùn)過程的通用MC 計(jì)算程序，在它早期的版本中并不包含對電子輸運(yùn)過程的模擬，只模擬中子和光子，較新的版本（如MCNP4A）則引進(jìn)了ETRAN，加入了對電子的模擬。

FLUKA 是一個(gè)可以模擬包括中子、電子、光子和質(zhì)子等30余種粒子的大型MC計(jì)算程序，它把EGS4容納進(jìn)來以完成對光子和電子輸運(yùn)過程的模擬，并且對低能電子的輸運(yùn)算法進(jìn)行了改進(jìn)。

五、Monte Carlo方法相關(guān)的一些資料

• 一個(gè)網(wǎng)站：http://csep1.phy./mc/mc.html
• 《蒙特卡羅方法》 徐鐘濟(jì)著 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社
• 《科學(xué)計(jì)算中的蒙特卡羅策略》(當(dāng)代科學(xué)前沿論叢)(Monte Carlo Strategies in Scientific Computing) 作者:劉軍  譯者:唐年勝 周勇 徐亮
• 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的蒙特卡羅模擬方法  ( 德) 賓德(Binder,K.),赫爾曼(Heermann,D.W.) 著  北京大學(xué)出版社  1994.2
• 小尺寸半導(dǎo)體器件的蒙特卡羅模擬  葉良修編著  科學(xué)出版社  1997.2
• 蒙特卡羅方法及其在粒子輸運(yùn)問題中的應(yīng)用  裴鹿成, 張孝澤著  科學(xué)出版社  1980.10
• 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法:( 蒙特卡羅法) 及其在電子數(shù)字計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)  (蘇) 布斯連科( Н. П. Бусленко), (蘇) 施  上海科學(xué)技術(shù)出版社
• 若干本書：人大經(jīng)濟(jì)論壇http://www./bbs/thread-445802-1-1.html
• 高分子科學(xué)中的Monte Carlo方法  楊玉良  復(fù)旦大學(xué)出版社  1993.12  7-309-01361-1
• Monte Carlo simulation of semiconductor devices  C. Moglestue.  Chapman & Hall，  1993.  041247770X
• Monte Carlo methods in statistical physics  with contributions by K. Binder … [et al.] ; edi  Springer-Verlag,  1979.
• guide to Monte Carlo simulations in statistical physics  David P. Landau, Kurt Binder.  Cambridge University Press,  c2000.
• Monte Carlo methods in statistical physics  edited by K. Binder ; with contributions by K. Bin  Springer-Verlag,  c1986.
• Applications of the Monte Carlo method in statistical physics  edited by K. Binder.  Springer,  1984.
• Monte Carlo Device Simulation  Karl Hess  Kluwer Acadmic

參考資料：

1、http://baike.baidu.com/view/1675475.htm?fr=ala0_1
2、http://baike.baidu.com/view/42460.htm?fr=ala0_1_1
3、http://gorilla./logs/4669.html
4、http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e8154170100cgc4.html
5、http://www./?p=121