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摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出10個(gè)核心素養(yǎng)，從學(xué)生發(fā)展和數(shù)學(xué)課程教學(xué)的角度理解，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的四方面內(nèi)容有密切關(guān)系。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有綜合性、階段性和持久性的特征。數(shù)學(xué)基本思想統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深層次目標(biāo)，數(shù)學(xué)思想方法更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中運(yùn)用的反映一定數(shù)學(xué)思想的具有操作性的方法。 關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思想方法 中圖分類號:G623.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1000-0186(2015)09-0036-04 隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們越來越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，更關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，特別是有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問題更引起廣泛的討論。如何理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思想方法等之間的關(guān)系如何，本文試對這些問題談一談自己的理解。 一、對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出10個(gè)核心素養(yǎng)，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。在《〈義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程教準(zhǔn)（2011年版)〉解讀》等一些材料中，曾把這些表述稱為核心概念，但嚴(yán)格意義上講，把這些表述稱為'概念'并不合適，它們是思想、方法或者關(guān)于數(shù)學(xué)的整體理解與把握，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)。因此，把這10個(gè)表述稱為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)摹?shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力。核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān)，對于理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，以及開展數(shù)學(xué)評價(jià)等有著重要的意義和價(jià)值。 '數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個(gè)人成為一個(gè)會關(guān)心、會思考的市民的需要而具備的認(rèn)識，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會生活中的地位和能力，作出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動的能力。'[1]可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來的認(rèn)識、理解和處理周圍事物時(shí)所具備的品質(zhì)，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略。人們所遇到的問題可能是數(shù)學(xué)問題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問題，而具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人可以從數(shù)學(xué)的角度看待問題，可以用數(shù)學(xué)的思維方法思考問題，可以用數(shù)學(xué)的方法解決問題。比如，人們在超市購物時(shí)常常發(fā)現(xiàn)這樣的情境，收銀臺前排了長長的隊(duì)等待結(jié)賬，而只買一兩樣?xùn)|西的人也同樣和買多樣?xùn)|西的人排隊(duì)等候。有位數(shù)學(xué)家看到這種情境馬上想到，能否考慮為買東西少的人單獨(dú)設(shè)一個(gè)出口，這樣可以免去這些人長時(shí)間地等候，會大大提高效率。那么問題就出現(xiàn)了，什么叫買東西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少？設(shè)定不同件數(shù)會對收銀的整體情況產(chǎn)生什么影響？因此，會想到用統(tǒng)計(jì)的方法，收集不同時(shí)段買不同件數(shù)東西人的數(shù)量，用這個(gè)數(shù)據(jù)可以幫助人們作出判斷。在這個(gè)過程中，至少從兩個(gè)方面反映面對這樣的情境，具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有助于幫助人們提出問題和解決問題。首先是數(shù)感，具有數(shù)感的人會有意識地把一些事情與數(shù)和數(shù)量建立起聯(lián)系，認(rèn)識到排隊(duì)結(jié)賬這件事中有數(shù)學(xué)問題，人們買東西的數(shù)量(個(gè)數(shù)）與結(jié)賬的速度有關(guān)系。買很少的東西也同樣排很長時(shí)間隊(duì)，一方面會顯得交款處排很長的隊(duì)，另一方面這些只買很少東西的人在心理上會產(chǎn)生焦慮。其次是數(shù)據(jù)分析觀念，解決這個(gè)問題時(shí)需要數(shù)據(jù)分析觀念，用具體的數(shù)據(jù)說話會有說服力地解決這個(gè)問題。從這個(gè)例子中可以了解到，具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)可能有助于人們在具體的情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。而這個(gè)情境本身可能并非有明顯的數(shù)學(xué)問題。 《標(biāo)準(zhǔn)》提出的這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一般與一個(gè)或幾個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)容有密切的關(guān)系。某些核心素養(yǎng)與單一的學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)容相關(guān)。例如，數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力與'數(shù)與代數(shù)'領(lǐng)域直接相關(guān)。在學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算、字母表示數(shù)等內(nèi)容時(shí)與這些核心素養(yǎng)直接聯(lián)系。數(shù)的認(rèn)識的學(xué)習(xí)過程有利于形成學(xué)生的數(shù)感，數(shù)感的建立有助于學(xué)生對數(shù)的理解和把握?？臻g觀念與'圖形與幾何'領(lǐng)域密切相關(guān)。學(xué)習(xí)圖形的認(rèn)識和圖形的關(guān)系等內(nèi)容應(yīng)注重學(xué)生空間觀念的發(fā)展。學(xué)生探索一個(gè)正方體有多少個(gè)面，怎樣求易拉耀的表面積等內(nèi)容時(shí)都需要空間觀念的支撐。數(shù)據(jù)分析觀念與'統(tǒng)計(jì)與概率'領(lǐng)域直接相關(guān)，數(shù)據(jù)的收集、整理、呈現(xiàn)和判斷的整體過程是形成學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念的過程。 有些核心素養(yǎng)與幾個(gè)領(lǐng)域都有密切的關(guān)系，不直接指向某個(gè)單一的領(lǐng)域，包括幾何直觀、推理能力和模型思想。幾何直觀在學(xué)習(xí)圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)等領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)都會用到。在解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以采用畫圖的方法幫助理解數(shù)與代數(shù)問題中的數(shù)量關(guān)系。推理能力在幾個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中都會用到。推理在幾何中經(jīng)常運(yùn)用，特別是初中階段的平面幾何的證明。在數(shù)與代數(shù)中也常常用到推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中歸納是常用的思維方式。演繹也會經(jīng)常用到，最簡單的在表述一些運(yùn)算的算理時(shí)，其實(shí)用到了演擇推理的方法。如在學(xué)習(xí)'20以內(nèi)退位減法'時(shí)，'看減法，想加法'是用加減之間互為逆運(yùn)算的方法來算的。而這個(gè)過程通常表述為，'因?yàn)?span lang='EN-US'>9 6=15,所以15-9=6'，這里事實(shí)上沒有把'加減之間互為逆運(yùn)算'這個(gè)大前提表述出來，加上這個(gè)大前提就是一個(gè)完整的演繹推理的過程。 模型思想同樣在'數(shù)與代數(shù)''圖形與幾何'以及'統(tǒng)計(jì)與概率'中都會用到。如'時(shí)、分、秒'可以從建立時(shí)間模型的角度理解。方程的學(xué)習(xí)更是一個(gè)建模的過程。數(shù)軸和直角坐標(biāo)系都是刻畫空間位置的模型。'最簡單的一維幾何模型是一條線，如果在線上標(biāo)出原點(diǎn)、單位、方向，則稱這樣的線為數(shù)軸?！?span lang='EN-US'>[2] '實(shí)踐意識'與'創(chuàng)新意識'具有綜合性、整體性，在'綜合與實(shí)踐'領(lǐng)域中有突出的表現(xiàn)，但不局限于這個(gè)方面的內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)是貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教育全過程。 二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征 按照上述對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有綜合性、階段性和持久性的特征。 我們不妨用一個(gè)與'幾何直觀'有關(guān)的例子來說明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)特征。在2013年第十一屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)觀摩課中一節(jié)'分?jǐn)?shù)乘法'的教學(xué)中，要解決的問題是'每小時(shí)織圍巾1/5米，1/2小時(shí)織多少米？'。教師引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法解決1/5*1/2=。教師引導(dǎo)學(xué)生：'如果用一個(gè)長方形表示
兩種方法的不同在于第二步，方法1在第二次分的時(shí)候仍然是按第一次分的同樣方式把一個(gè)小長方形平均分成2份；方法2卻用畫一條小橫線的方式來分。兩種方法看起來沒有差別，但當(dāng)教師問：為什么得到的結(jié)果是1/10的時(shí)候，第2種方法就顯得比第1種方法更清楚。一個(gè)男生說了一句關(guān)鍵性的話'加一個(gè)輔助線'，形成下面的情況。 在這個(gè)圖中可—地看到1/5的1/2是1/10，也就,1/5*1/2=1/10. 借助上面的案例，我們來分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征。 首先是綜合性。綜合性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本能力、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)態(tài)度等的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本能力可以看等的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本能力可以看作數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn)。在上面用幾何直觀表示分?jǐn)?shù)乘法的過程中，需要運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義、乘法的意義、乘法運(yùn)算、用圖表示分?jǐn)?shù)等基礎(chǔ)知識和基本技能。同時(shí)，學(xué)生要思考用什么樣的方式可以更好地表示出這樣一種數(shù)量關(guān)系。這是一種綜合的能力。核心素養(yǎng)總是基于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本能力實(shí)現(xiàn)的，并且外化于運(yùn)用基礎(chǔ)知識和基本能力解決問題的過程。同時(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也促進(jìn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的深刻理解和數(shù)學(xué)基本能力的提升。數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)態(tài)度作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)隱特質(zhì)。核心素養(yǎng)的形成需要對數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部之間的各種關(guān)系進(jìn)行深入理解和綜合運(yùn)用，在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)的思考能力和思考方式以及數(shù)學(xué)態(tài)度起著重要作用，而這種作用往往不是直接看到的，是內(nèi)隱于解決問題過程之中的。在上面的例子中，教師已經(jīng)事先提示學(xué)生，用一個(gè)長方形表示一個(gè) 其次是階段性。階段性是指學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)為不同層次水平、不同階段。在上面的例子中，學(xué)生用不同的方式表現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘法的過程。分一個(gè)長方形的方式和順序不同，表現(xiàn)了學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的不同水平。五年級的學(xué)生可以在一個(gè)圖中表示出兩種不同的數(shù)量關(guān)系，并理解它們之間的聯(lián)系。而低年級的學(xué)生可能達(dá)不到這種水平。在一個(gè)圖中只表達(dá)一種數(shù)量關(guān)系。到了初中，學(xué)生可以用更復(fù)雜的方式表達(dá)數(shù)量關(guān)系，幾何直觀的水平會更高。這反映了幾何直觀的不同階段。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平和層次劃分，是一個(gè)復(fù)雜的問題，不同的核心素養(yǎng)也有各自的特點(diǎn)。這將是一個(gè)值得深入研究的問題。 最后是持久性。持久性是指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與把握，還是伴隨學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)，以及將來走向生活和工作的歷程。在上面的例子中，運(yùn)用圖表等直觀的形式表達(dá)復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的能力，作為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以一直伴隨他的學(xué)習(xí)和生活。學(xué)生到中學(xué)、大學(xué)，乃至走向生活和工作，也會有意識地運(yùn)用幾何直觀的方式解決問題，包括數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)以外的問題。這體現(xiàn)了這一核心素養(yǎng)的持久性。 三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與相關(guān)概念的關(guān)系 與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著密切關(guān)系的還有數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)思想方法等概念。按照上述對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解，我們可以嘗試分析這幾個(gè)概念之間的關(guān)系。 數(shù)學(xué)基本思想是《標(biāo)準(zhǔn)》提出的'四基'之一，也義務(wù)教育階段學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)科學(xué)本質(zhì)特征的反映，是數(shù)學(xué)科學(xué)的基石。史寧中認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本思想'是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴、所依靠的思想'。[3]數(shù)學(xué)基本思想是研究數(shù)學(xué)科學(xué)不可缺少的思想，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解和掌握數(shù)學(xué)所應(yīng)追求和達(dá)成的目標(biāo)。'數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系'。[3]把抽象、推理和模型作為數(shù)學(xué)的基本思想與數(shù)學(xué)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性的基本特征是一致的。抽象性就是抽象思想的體現(xiàn)，嚴(yán)謹(jǐn)性來自合乎邏輯的推理，廣泛的應(yīng)用性恰是通過建立數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)中的問題建立聯(lián)系，解決更廣泛的實(shí)際問題。對于數(shù)學(xué)教育而言，了解數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展所依賴的數(shù)學(xué)基本思想是必要的，也是最基本的目標(biāo)。這體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)科的基本理解與把握，及對數(shù)學(xué)這門學(xué)科基本的思維方式的理解。 數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，特別是解決數(shù)學(xué)問題所運(yùn)用的方法。這些方法一般來講是具有一定的可操作性，同時(shí)反映數(shù)學(xué)的某些思想，不是一般意義上的具體方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題過程中，人們形成了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)換的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、等量替換的思想方法、特殊化的方法、窮舉的方法等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，經(jīng)常運(yùn)用這些思想方法解決一類數(shù)學(xué)問題。如用轉(zhuǎn)換的思想方法學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式，將平行四邊形轉(zhuǎn)換成長方形，由長方形的面積=長*寬，得知平行四邊形的面積=底邊*高。用等量替換的方法解方程等。 從上述的理解中，可以嘗試分析這三個(gè)概念之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)基本思想是統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的思想，對于研究數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人都有重要指導(dǎo)意義。同樣，數(shù)學(xué)基本思想對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也是上位的具有指導(dǎo)性的?；蛘呖梢岳斫鈹?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)基本思想在學(xué)習(xí)某一個(gè)或幾個(gè)領(lǐng)域內(nèi)容中的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想方法則是體現(xiàn)如何從操作層面上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的方法或能力。（作者馬云鵬，東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林長春130024） 參考文獻(xiàn)： [1]馬云鵬，張春莉.數(shù)學(xué)教育評價(jià)[M].北京：高等教育出版社，2003:199. [2]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第5輯）：自然界中的數(shù)學(xué)模型[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2012:118. [3]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008:1. |
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