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2012年01月10日 20:49 “達·芬奇密碼”——黃金分割與分形幾何學(xué)  小說中重點提到了一個廣泛存在于自然界的神秘比例——“黃金分割”，從開場盧浮宮館長索尼埃臨死前留下的那一串斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21……，到他將身體擺成的維特魯維人圖案（圖2 左），從基督教認為的“異教徒”符號，古老宗教中代表宇宙和諧之美 的五角星（圖2 右，相鄰線段間比例為黃金分割），到《最后的晚餐》中象征耶穌和摸大拉之間象征圣杯圖案的“V”子位置（圖2 中），都無一例外詮釋了“ 黃金分割”——這個大自然最為神秘的“達?芬奇密碼”。 一、無所不在的黃金分割 黃金分割是我們在初中學(xué)習(xí)平面幾何的時候就接觸到的知識。設(shè)線段AB 長度為1，在上面取一點C 使得AC/BC = AB/AC ，C點被稱為線段AB的“黃金分割”點。 設(shè)AC 部分長為X，則x/(1-x)=1/x，即x^2+x-1 =0 。解這個方程得： x=(-1±√5)/2。因為X>0，所以x=(-1+√5)/2≈0.618，1/x=(1+√5)/2≈1.618 這兩個數(shù)就是自然界普遍存在的“黃金分割”數(shù)。 《達?芬奇密碼》中反復(fù)提到的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，其特點為數(shù)列中每一項為前兩項之和，即 A(n+1)=A(n)+A(n-1),n≥2 這個數(shù)列廣泛存在于自然界中。 樹枝上的分枝數(shù)，大多數(shù)花的花瓣都是斐波那契數(shù)列中的數(shù)：例如百合為3，梅花5，桔梗常為8，金盞花13…等等，玫瑰更是按著斐波那契數(shù)列由內(nèi)而外排列（上圖中）。斐波那契數(shù)列也出現(xiàn)在松果上。如上圖右，一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺旋線排列：一組呈順時針螺旋，另一組為逆時針螺旋，順時針螺旋的排列數(shù)目是８，而逆時針螺旋方向則為13。向日葵也是一樣（上圖左），常見的螺旋線數(shù)目為34 及55，較大的向日葵的螺旋線數(shù)目為89 及 144，更大的甚至還有144 及233，這些全都是斐波那契數(shù)列中相鄰兩項的數(shù)值。 那么斐波那契數(shù)列和黃金分割有什么聯(lián)系呢？用數(shù)列中任意一項比上前一項，1/1 = 1，2/1 = 2，3/2 = 1.5, 5 /3 = 1.666……, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538……我們發(fā)現(xiàn)項數(shù)越大，這個比值越接近黃金數(shù)1.618。下圖是計算機模擬分布的結(jié)果，綠線為黃金數(shù)1.618。  除了植物世界外，在動物世界甚至我們?nèi)梭w本身中，黃金分割更是不斷地出現(xiàn)。從外觀上看大多出現(xiàn)在動物的形體中。 如下圖，人四肢后肢與前肢的比，身高與肚臍到腿之間距離的比，甚至手指每一節(jié)骨頭與后面一節(jié)骨頭的比，都接近黃金數(shù)1.618。芭蕾舞演員顛起腳尖跳舞，就是為了讓身體的比例更接近黃金分割。小說中提到的達?芬奇作品《維特魯維人》（見圖2）就是他嚴格按照人體的黃金分割比例繪制成的。  黃金分割在自然界和人體中如此廣泛地存在，因此成為人類潛意識中的審美標(biāo)準(zhǔn)，成為了人類藝術(shù)的寵兒。繪畫和照片中如果把主要景物放在黃金分割位置，將給人一種最美的視覺感受。從古至今許多建筑有遵循著黃金分割的規(guī)律，包括金字塔的斜面三角形高與底面半邊長之比，雅典神廟和巴黎圣母院的外觀，甚至像東方明珠一樣許許多多電視塔的觀光層位置，都利用黃金分割比給人以美的享受。  細心的讀者也許會發(fā)現(xiàn)，黃金分割有一種幾何上的自相似性，部分與部分的比等于部分與整體的比，等于整體與更大整體的比……20 世紀70 年代，數(shù)學(xué)家曼德勃羅（Benoit Mandelbrot）提出了“分形”的概念，用來描述自相似性，并首先引入了“分數(shù)維”的概念。 二、分形幾何學(xué) 分形概念最早出現(xiàn)于Mandelbrot 對海岸線測量問題的研究中。  對于謀國家海岸線這種不規(guī)則圖形，如果選取的測量尺度不一樣，測量結(jié)果將相差甚遠。當(dāng)選擇測量尺度很大時，細小的地方?jīng)]有測量，得到的值會比較小。而用小尺度測量，得到的結(jié)果會大得多。用的尺度越小，得到的值將越大。也就是說，現(xiàn)實中這種復(fù)雜的不規(guī)則邊界的圖形，沒有準(zhǔn)確的周長。隨著測量尺度的減小它的周長將趨于無窮。如果這種不規(guī)則邊界呈現(xiàn)出一種小尺度和大尺度相似的特征，并且無限細分下去都存在這種自相似性，我們稱這種幾何形狀為“分形 ”。下圖是最典型的分形——Koch 曲線，  Koch 曲線就是在一個等邊三角形一條邊上截取中間1/3 邊長，生成新的等邊三角形，然后一直一層一層無限生成下去。 定量描述分形結(jié)構(gòu)，需要引入“分數(shù)維”這個超越人類整數(shù)維思維的概念。我們知道，線的維度是一維，平面維度為二維，立體為三維，物理學(xué)中最有希望統(tǒng)一所有 基本粒子及其相互作用的理論——超弦理論需要在更高維度的空間中建立，我們暫且不去討論它。 就維度性質(zhì)而言，1 維相對于2 維來說，是在一個維度上與其相同，在另一個維度上值為無限小，。因此在2 維平面內(nèi)無限區(qū)域一條無限長的直線，他的維度是1。同理如果2 維平面內(nèi)一個有限區(qū)域內(nèi)一條線的維度為1，它必須是一個有限長的線段，這樣才能保證它另一個維度值為無限小。那么如果一條無線長的線束縛在平面上一個有限的區(qū)域內(nèi)，另一個維度的值不再是無限小，它的維度將大于1，但是這條無線長的線并沒有填滿一個平面，因此它的維度也小于 2，一維分形就是這樣一個束縛在有限平面區(qū)域內(nèi)無限長的線，它的維度是介于1 和2 之間的分數(shù)維度。 分形維度計算法則： 一、倍形法 這是計算分形維數(shù)一個最簡單有效的方法，讀者可以利用它來計算相對簡單規(guī)則的分形維數(shù)。另S 為分形的一個層次結(jié)構(gòu)單元邊長，ε為上一層次分形結(jié)構(gòu)長度和S 的比值，若令上一層次邊長為單位長度1，則ε＝1/s， N（ε）為層次分形結(jié)構(gòu)內(nèi)包含邊長S 層次結(jié)構(gòu)單元的數(shù)目。 那么分形維度的計算公式為：D=log(N(ε))/log(ε) 如下圖，實心平面和立體無論如何分割，帶入這個公式計算結(jié)果都是2 和3。而空心（即沒有填滿整個平面）的分形結(jié)構(gòu)會得到分數(shù)維。  二、取格法（盒子維度） 這種方法適用于各種復(fù)雜不規(guī)則的分形圖形，但是一種近似的數(shù)值方法。其思想類似于有限元分析，將分形所在的平面分割成眾多的小格子，令整個大平面維單位平 面，S 為小格子邊長，ε為ε＝1/s， N（ε）分形圖案占據(jù)的小格子數(shù)。 那么分形維度的計算公式為：D=log(N(ε))/log(ε) 隨著S 的減小，即格點數(shù)選取的越多，Ds 越接近于分形實際的分數(shù)維度。 如果是一維線段，則顯而易見隨著格點數(shù)目的增加線段占據(jù)格點數(shù)N（ε）于ε的比趨近于零，Ds 趨近于1。如果圖形占據(jù)了所有小格子，那么它自然占據(jù)了所有平面，是二維。一個分形結(jié)構(gòu)自然不會占據(jù)平面內(nèi)所有小格，隨著格子取得越小，N（ε）與ε的比會趨近某一個特定值。  關(guān)于二維分形結(jié)構(gòu)（即有限空間區(qū)域內(nèi)無限面積的幾何面），其分數(shù)維數(shù)位于整數(shù)2 和3 之間，可以同樣利用以上兩種計算方法來計算其維度。 三， “黃金分割”的分形解密 科學(xué)家們經(jīng)過廣泛計算，發(fā)現(xiàn)自然界的一維分形維度大多集中在1.6—1.7 附近，這讓人很自然想起神秘的黃金分割率“1.618”。理論上講，一維分形分數(shù)維度可以有無窮多個取值，但自然卻唯獨偏愛這些近似黃金分割的這些取值， 這跟黃金分割本身又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 黃金分割實際上是一種特殊的自相似結(jié)構(gòu)，如果把一條線段AB 連接上它的黃金分割線段BC=0.618…×AB 排列，BC 再連接 CD＝0.618…×BC，無限下去，用等比數(shù)列求和公式很容易證明，線段的總長度為AB 乘上黃金分數(shù)，即1.618…×AB。黃金分割充分體現(xiàn)了部分 和整體“依次排列”的自相似性。 如下圖，這種長邊與短邊比值是黃金數(shù)1.618…的矩形稱為黃金矩形，是黃金分割自相似性最好的體現(xiàn)。矩形內(nèi)截取掉一個正方形，剩下的小矩形仍然為黃金矩形。依次無限截取下去，會獲得鄰近邊長比為黃金數(shù)，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果將這些正方形內(nèi)的1/4 圓弧連接起來，會構(gòu) 成一個平滑的自相似螺旋，即黃金螺旋。  如圖，黃金螺旋便是一個典型的一維分形，我們大致計算一下它的分形維度。用上節(jié)提到的取格法，將黃金矩形分成8×8＝64 個小的黃金矩形。一般情況下自然界的黃金螺旋有一定粗細，上面有更細微的分形結(jié)構(gòu)，基本能占滿它所經(jīng)過的小格，因此將包含黃金螺旋和與之相切的方格都納入其中，數(shù)得，N（ε）＝29，因此有一定粗細的黃金螺旋分形維度為 log 29/log8=1.619327....，很接近黃金數(shù)1.618。 生物界中螺旋形狀大多為近似的黃金螺旋——如海螺殼，海馬的尾巴，植物葉子，花和果實表面排列等等。  通過研究海螺發(fā)現(xiàn)，用一條直線穿過它的螺旋中心，這條直線上它的螺旋相鄰圈粗細比值很接近黃金分割（如圖11 左下）。 那么為什么自然界中的螺旋傾向于選擇黃金螺旋呢？我們從圖10 的黃金矩形出發(fā)，將黃金矩形每一個小矩形沿對角線向外移動1/2 個邊長，依次類推，如圖12，這些黃金矩形會圍成一個基本填滿平面區(qū)域的螺旋，例如圖中紅矩形和藍矩形之間的距離很小。有興趣的讀者不妨畫圖證明，任何其他矩形以這種方式自相似排列，都會重疊或者在平面上留下很大縫隙。只有黃金矩形會趨向于排滿平面。 圖12 中黃金矩形的排列可看成黃金螺旋的離散化，如果將其收縮邊緣連續(xù)起來，就會出現(xiàn)海螺的那種布滿整個平面區(qū)域的黃金螺旋。也就是說，只有黃金螺旋這種“依次排列”的自相似才會占滿平面區(qū)域。 看到這里的讀者請伸出自己的左手與紙面垂直，然后握拳，看一下你的食指圍成的螺旋是不是和圖12 很像？人體眾多骨骼之所以被各個關(guān)節(jié)黃金分割，正是由于這些骨骼能夠圍成這種螺旋形狀。  見圖5，人體處于黃金分割的關(guān)節(jié)都是能夠蜷縮的位置，如手指骨節(jié)，肘部，膝蓋，頸部，腰腹等等（身體蜷縮時候，蜷縮點位于人體黃金分割——肚臍處），許多哺乳動物關(guān)節(jié)都具有這種特點，這都是生物經(jīng)過幾十億年進化的結(jié)果，能讓身體和四肢完全地蜷縮來抓住東西和自我保護，因此生物界選擇了這種沒有縫隙的蜷縮——黃金螺旋。 如下圖，將一個圓周進行黃金分割，它的短弧所對應(yīng)的角度成為“黃金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5° 將黃金螺旋上取距離相等的一系列點，發(fā)現(xiàn)點于點連線之間的夾角(發(fā)散角)都為黃金角。 下圖計算機模擬結(jié)果可看出，發(fā)散角為137.4°和137.6°的螺旋都無法填滿平面，而恰好發(fā)散角為137.5°的黃金螺旋可以填滿平面，做到點于點之 間距離相等。向日葵和菊花（圖3 與圖11）都滿足這樣的排布，這樣可以使單位面積內(nèi)花瓣或種子排列數(shù)目最多。 除了黃金螺旋之外，生物界其他的分形大多遵循黃金分割原則，其分形維數(shù)也很接近黃金數(shù)1.618… 如數(shù)的生長。按照黃金分割比例生長樹枝和樹葉，會使單位面積接收到最多的陽光，其原理與黃金螺旋相似，即能夠布滿平面的分形結(jié)構(gòu)。 從上面幾個例子的分析可以看出，“黃金分割”這種分形是生物進化的一個“極值”，是生物界自然選擇的結(jié)果。目前的研究發(fā)現(xiàn)，不僅僅是生物界，在自然界很多領(lǐng)域都存在這種自相似倍數(shù)為黃金數(shù)的分形，諸如一些準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，高分子，太陽系間行星距離，海浪漩渦等等，都是黃金螺旋分形。 分形是研究復(fù)雜性科學(xué)的一個起始點，復(fù)雜性科學(xué)自上世紀70 年代誕生以來，經(jīng)歷了蓬勃的發(fā)展。從分形幾何學(xué)到非線性動力學(xué)，再結(jié)合信息論，系統(tǒng)論和控制論，復(fù)雜性科學(xué)正逐漸超越“還原論”成為現(xiàn)代科學(xué)的主流。一個復(fù)雜自適應(yīng)系統(tǒng)（如軟物質(zhì)，生物體，社會模型等等）必然存在更多的自相似性，黃金分割的比例也會在其中發(fā)揮更重要的作用。這個世界有更多的“達芬奇密碼”依然在那里等待著人類去破解，讓我們拭目以待。 |
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