作者: 寒江雪

　　有一種叫“24點”的游戲深受青少年朋友的喜愛。這種游戲將兩張王牌去掉，把A、J、Q、K分別看作1點，11點、12點、13點，或者將它們均看1點，其余牌面是幾點，就是幾點。

　　玩的規(guī)則不盡相同，其中有一種方法是：

　　(1)四個人每人抓到13張牌，每人每次從手中任意抽取一張牌。

　　(2)參加游戲者對這四張牌所代表的數(shù)值進行+、-、×、÷、()運算，使結果為24。

　　(3)誰先列出，誰就得1分，牌入底；若四人均無法列出，則無人得分，牌也入底。

　　(4)再次每人任意抽取一張牌，再次按(2)(3)規(guī)則進行。

　　(5)重復(2)、(3)、(4)，直至每人手中13張牌全部用完為一局，得分多者為勝。

　　例如，抽出的四張牌為3、4、7、11，可以這樣計算：

　　(7-4)×(11-3)=3×8=24，或(7+11)÷3×4=18÷3×4=6×4=24

　　這是一種非常有趣的游戲，下面我們一起來試一試：

　　例1  抽出下面四組牌：(A，J，Q，K分別為1點，11點，12點，13點)

　　(1)2，3，4，5         (2)3，4，5，10

　　(3)K，7，9，5         (4)J，6，Q，5

　　你能算出24點嗎？

　　分別：要想比賽獲勝，必須有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎樣的兩個數(shù)求得，如2×12=24，4×6=24，3×8=24，18+6=24，30-6=24……這樣就可以把問題轉化成怎樣使用4個數(shù)，湊出兩個數(shù)的問題，其中有一點值得大家注意，就是四個數(shù)的順序可以依據(jù)需要任意安排。

　　解：(1)依據(jù)2×12=24，可得2×(3+4+5)=24，

　　(2)依據(jù)3×8=12，可得3×(10÷5×4)=24，

　　(3)依據(jù)4×6=24，可得(13-7)×(9-5)=24，

　　(4)依據(jù)18+6=24，可得(11-5)+(6+12)=24

　　說明：上面各題的解法并不一定是唯一的，如依據(jù)4×6=24，也可得第(2)組為4×(10×3÷5)=24，可是，就因為這樣，才非常激烈、刺激。

　　例2  如果恰巧四個人抽出的撲克牌是“1～9”中的同一數(shù)字的牌，請你幫忙想一想哪種情況可以算出“24”？怎樣算？

　　分析：四人抽出同一數(shù)字的牌有9種情況，4個1，4個3，4個4……4個8，4個9，現(xiàn)在的問題轉化為如何使四個相同的數(shù)字(1~9中的一個)填加運算符號，得“24”的問題。由于4個數(shù)字相同，用乘法關系最后求得“24”就不太容易，應考慮+、-關系，27-3=24，25-1=24，20+4=24，12+12=24……經(jīng)過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)，4個1，4個2，由于數(shù)太小，無法算出“24”，而4個7，4個8，4個9由于太大，也無法算出。其余可以實現(xiàn)。

　　解：依據(jù)27-3=24 ，可得3×3×3-3=24，

　　依據(jù)20+4=24 ，可得4×4+4+4=24，

　　依據(jù)25-1=24 ，可得5×5-5÷5=24，

　　依據(jù)12+12=24 ，可得(6+6)+(6+6)=24，

　　說明：有些不能算出24，可能是由于我們知識水平的限制，而并非真的不能，如請同學們想一想4個10，4個11，4個12，4個13你能求解嗎？

　　由上面的例子，我們可以很自然地想到這種游戲可以發(fā)展成一類專門的數(shù)學的問題，下面我們就來研究。

　　例3  填上適當?shù)倪\算符號，使算式成立

　　(1)4 4 4 4=5

　　(2)4 4 4 4=6

　　(3)4 4 4 4=7

　　(4)4 4 4 4=8

　　(5)4 4 4 4=9

　　(6)4 4 4 4=10

　　分析：(1)4 4 4 4=5，最后一個4前面是三個4，如可湊出1，1+4=5，如可湊出20，20÷4=5，4×4 +4=20，因此可求解。

　　(2)4 4 4 4=6，最后一個4前面是三個4，如可湊出2，2+4=6；即(4+4)÷4=2，因此可求解。

　　(3)4 4 4 4=7，前面兩個4+4=8，后面兩個4得1即可求解，4÷4=1剛剛好。

　　(4)和(6)可利用(3)的思路稍加變化就可以求解。

　　(5)4 4 4 4=10，最后一個4，前面如是6，6+4=10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4=10也可以求解，44-4=40，數(shù)字連用在這類題目中是常用的一種技巧。(題目中沒有限制，當然是可以這樣做的)。

　　解：

　　(1)(4×4+4)÷ 4=5

　　(2)(4+4)÷4+4=6

　　(3)(4+4)-4÷4=7

　　(4)(4+4)×4÷4=8

　　(5)(4+4)+4÷4=9

　　(6)(44-4)÷4=10

　　說明：(1)，(2)，(6)中的解題思路是一種倒推的方法，這是一種常用的，行之有效的方法同學們加以掌握。(4)，(5)中解題思路是依據(jù)數(shù)字的特點，這種方法，依賴于良好的數(shù)感，需要大家經(jīng)過一段時間的訓練才能獲得。

　　例4  不用()，且運算符號不超過三次，添在適當位置，使下面的算式成立。

　　9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

　　分析：不使用()，運算順序只能從左往右，先×、÷后+、-；運算符號不超過三次，就會得到一些多位數(shù)。首先選一個多位數(shù)盡可能接近1000，可選999，1000-999=1，后面6個 9要得到“1”，就很簡單了999÷999，問題可求解；還可以用另一種方法接近1000，9999÷9=1111，1111-1000=111，后面9999想辦法等于111，999÷9=111，問題也可解出。

　　解：999+999÷999=1000

　　9999÷9-999÷9=1000

　　說明：先靠近所求數(shù)，再進行適當調整，這是一種非常行之有效的方法，在數(shù)字比較多時常常用到。當然此題還有其它方法，同學們

　　可以用上面的思路再試一試。

　　例5  填入適當運算符號，使下式成立。

　　9 8 7 6 5 4 3 2 1=1000

　　分析：此題中9~1九個數(shù)字各不相同，位置固定，初看與前面的例題有很大不同，但是經(jīng)仔細讀題，認真分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，做此題時，+、-、×、÷()均可使用，運算符號用多少次沒有限制，數(shù)字可以連用，也可以分開，條件很寬松。由于1000數(shù)比較大，我們也采用例4中靠近結果，再湊較小數(shù)的方法解決?？梢杂?87+6=993，再用5 4 3 2 1湊成7即可，這個方法就很多了。還可以取前邊987和后邊的21相加得1008，中間的6 5 4 3 湊成8就行了。

　　解：987+6+5-4+3×2×1=1000

　　987+6+5+4-3+2-1=1000

　　987+6+(5-4)×(3×2+1)=1000

　　987+6+5+(4-3)×2×1=1000

　　987-(6-5+4+3)+21=1000

　　說明：此題還有許多解決，但不論哪種方法，都遵循先靠近結果，再湊較少數(shù)的原則，大家可以再想想，你還能想到什么方法？

　　例6  在下列算式中合適的地方，填上括號，使算式成立。

　　(1)4+5×6+8÷4-2=30

　　(2)4+5×6+8÷4-2=39

　　(3)4+5×6+8÷4-2=21

　　(4)4+5×6+8÷4-2=140

　　分析：(1)從最后一步逆推，減2前面的式子得32，還從后面入手，這就需要4+5×6+8，填上適當?shù)睦ㄌ柕?28，嘗試發(fā)現(xiàn)括號的填法有兩種(4+5)×6+8，4+5×(6+8)，分別得128，74，因此括號的填法為[(4+5)×6+8] ÷4-2=30

　　(2)從最后一步逆推，減號前面的式子要得41，還從后面入手要求4+5×6+8=41×4這是無法實現(xiàn)的。從前面入手考慮，就應設法使5×6+8÷4-2=35，還從前面想這就需要6+8÷4-2=7，可從這樣實現(xiàn)(6+8)÷(4-2)。因此括號的填法為4+5×(6+8)÷(4-2)=39

　　(3)從后面減2前面的式子得23才能有解，可4+5×6+8÷4無論如何填加括號，都不可能現(xiàn)實。把4-2放在一個括號里等于2，i除號前面的式子就要得42，通過觀察容易發(fā)現(xiàn)，4+5×6+8按順序計算就可得42，所以此題括號的填法是(4+5×6+8)÷(4-2)=21

　　(4)140比較大，應充分發(fā)揮“×”的作用，使“×”左右兩側的因數(shù)盡可能大，即(4×5)×(6+8)=280，再縮小2倍，就是所求結果，正好“÷”后面4-2=2，所以此題括號的填法是(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140

　　解：

　　(1)[(4+5)×6+8]÷4-2=30

　　(2)4+5×(6+8)÷(4-2)=39

　　(3)(4+5×6+8)÷(4-2)=21

　　(4)(4×5)×(6+8)÷(4-2)=140

　　說明：填括號時既可以用“()”，也可以根據(jù)需要用“[]”，從一端想起經(jīng)過嘗試，淘汰，最終可以找到解題方法。

　　閱讀材料

　　數(shù)學符號的起源

　　數(shù)學除了記數(shù)以外，還需要一套數(shù)學符號來表示數(shù)和數(shù)、數(shù)和形的相互關系。數(shù)學符號的發(fā)明和使用比數(shù)字晚，但數(shù)量多得多?，F(xiàn)在常用的200多個，初中數(shù)學書里就不下20多種。他們都有一段有趣的經(jīng)歷。例如：(1)加號曾經(jīng)有好幾種，現(xiàn)在通用“+”號?！?”號是由拉丁文“et”(“和”的意思)演變而來的。也有人說，賣酒的商人用“-”表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當把新酒灌入大桶的時候，就在“-”上加一豎，意思是把原線條勾銷。這樣就成了個“+”號。到了十五世紀，德國數(shù)學家魏德美正式確定：“+”用作加號，“-”號用作減號。(2)乘號曾經(jīng)用過十幾種，現(xiàn)在通用兩種。一個是“×”，最早是英國數(shù)學家奧屈特1631年提出的；一個是“•”，最早是英國數(shù)學家赫銳奧特首創(chuàng)的。德國數(shù)學家萊布尼茨認為：“×”向拉丁字母“X”，加以反對，而贊成用“• ”號。到了十八世紀，美國數(shù)學家歐德萊確定，把“×”作為乘號，他認為“×”是“+”斜起來寫，是另一種表示增加的符號。(3)“÷”最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數(shù)學家奧屈特用“：”表示除或比，另外有人用“-”(除線)表示除。后來瑞士數(shù)學家拉哈在他所著的《代數(shù)學》里，才根據(jù)群眾創(chuàng)造，正式將“÷”作為除號。(4)十六世紀法國數(shù)學家維葉特用“=”表示兩個量的差別?？墒怯＝虼髮W數(shù)學、修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)量相等是最合適不過的了，于是等于符號“=”就從1540年開始使用起來。1591年，法國數(shù)學家韋達大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。

　　練習題

　　1.在“24”點游戲中提出了下面幾組牌，你能很快求出“24”嗎？

　　(1)1，3，5，7      (2)2，5，7，9

　　(3)1，3，9，10     (4)10，4，10，4

　　(5)K，Q，J，J      (6)Q，10，Q，1

　　分析：(4)10×10=100是4的25倍，100-4=96，正好是4的24倍，所以可以這樣做(10×10-4)÷4=24

　　(5)K，Q，J，J即13，12，11，11，依據(jù)25-1=24可得13+12-11÷11=24

　　(6)Q，10，Q，1即12，10，12，1，依據(jù)12×2=24可得12×(12-10)×1=24

　　解：

　　(1)(5+7)×(3-1)=24  (2)5×7-9-2=24

　　(3)(1+10)×3-9=24     (4)(10×10-4)÷4=24

　　(5)13+12-11÷11=24     (6)12×(12-10)×1=24

　　2.在“24”點游戲中，抽出了下面兩組牌，你能求出“24”嗎？

　　(1)3，3，7，7  (2)1，5，5，5

　　分析：(1)用常用的方法無論怎么求都不能得出“24”，是否就沒有辦法了呢？當然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

　　(3+3÷7)×7

　　=3×7+3÷7×7

　　=24

　　(2)用同樣的方法求解

　　(5-1÷5)×5

　　=5×5-1÷5×5

　　=24

　　解：(1)(3+3÷7)×7=24

　　(2)(5-1÷5)×5=24

　　說明：熟練地掌握運算定律可以把題目化難為易，這里安排這兩個題是為了開闊同學們的眼界，拓寬同學們的思路。

　　3.抽的四張牌恰好是“1～9”中從大到小連續(xù)排列的四張，這樣的牌能算出“24”嗎？

　　分析：符合要求的組合有六組：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不難發(fā)現(xiàn)它們均可求出24點。

　　解：

　　(1)依據(jù)4×6=24得8÷(9-7)×6=24

　　(2)依據(jù)2×12=24得(7+5)×(8-6)=24

　　(3)依據(jù)2×12=24得(5+7)×(6-4)=24

　　(4)依據(jù)4×6=24得2×(3+4+5)=24

　　(5)依據(jù)4×6=24得1×2×3×4=24

　　說明：這個例子告訴我們不論從大到小，還是從小到大，連續(xù)取“1~9”中任意四個數(shù)均可湊成“24”。

　　4.添上適當?shù)倪\算符號，使算式成立。

　　(1)6 6 6 6=1  (2)6 6 6 6=2

　　(3)6 6 6 6=3  (4)6 6 6 6=4

　　(5)6 6 6 6=5  (6)6 6 6 6=6

　　分析：(1)根據(jù)A÷A=1，可得許多種解，如(6+6)÷(6+6)=1或(6×6)÷(6×6)=1……

　　(2)根據(jù)1+1=2，可得6÷6+6÷6=2

　　(3)根據(jù)18÷6=3，可得(6+6+6)÷6=3

　　(4)根據(jù)6-2=4，可得6-[(6+6)÷6]=4

　　(5)根據(jù)30÷6=5，可得(6×6-6)=5

　　(6)根據(jù)0+6=6，可得6×(6-6)+6=6或(6-6)×6+6=0……

　　解：

　　(1)(6+6)÷(6+6)=1   (2)(6÷6)+(6÷6)=2

　　(3)(6+6+6)÷6=3       (4)6-[(6+6)÷6]=4

　　(5)(6×6-6)÷6=5       (6)(6-6)×6+6=0

　　5.用7個7組成4個數(shù)，并使運算結果為100

　　7，7，7，7，7，7，7=100

　　分析：首先要使一部分接近100，777÷7=111，111-100=11，后面的777湊成11就可以了77÷7=11，所以可以這樣解：

　　777÷7-77÷7=100

　　6.在9個9之間填適當?shù)倪\算符號，使下面算式成立。

　　9 9 9 9 9 9 9 9 9=2008

　　分析：先要想辦法使一部分靠近“2000”，999+999=1998，2008-1998=10，后面的三個9湊成10即可。

　　解：999+999+9÷9+9=2008

　　說明：前六個數(shù)也可以用其他方法求得1998，如999×[(9+9)÷9]=1998這種題目往往不只一種解法。

　　7.填上適當?shù)倪\算符號，使算式成立。

　　9 8 7 6 5 4 3 2 1=2007

　　分析：結果較大，先用一部分湊出與2007相接近的數(shù)，即654×3=1962而2007-1962=45，現(xiàn)在我們要辦法使9，8，7，2，1湊成45，而45-21=24，9+8+7=24。

　　解：9+8+7+654×3+21=2007

　　8.在11～15之間，選擇恰當位置，填上適合的運算符號，使算式結果為100。

　　11 12 13 14 15=100

　　分析：原題的意思是使下式成立：

　　1 1 1 2 13 14 15 =100

　　取121靠近100，11+121-31=101，415湊成“1”即可有解，(4+1)÷5=1。還可以取111靠近100，111-21=90，3 1 4 1 5 湊成10即可有解，3-1+4-1+5=10此題還有許多方法，請同學們自己試一試。

　　解：11+121-31-(4+1)÷5=100或111-21+3-1+4-1 +5=100

　　9.現(xiàn)有的牌為1～10，請從中選牌，每張牌只用一次，使下列“24”點游戲成立。

　　(1)□+□×6+11=24  

　　(2)(□+5)×2+□=24

　　(3)(□×10-□)÷4+11=24

　　(4)□×3-□÷2=24

　　(5)□×5-4÷4=24

　　(6)13+□×3-10=24

　　分析：觀察這六個算式，我們發(fā)現(xiàn)(5)，(6)很好確定所選牌是5和7。再觀察余下的四個算式，(4)□×3-□÷2=24，□×3>24，□可取9，10，取10時，□÷2的方塊在1~10中無值可取，所以□×3只能取9，另一個□中可以取6。

　　再來觀察(3)(□×10-□)÷4=24  24×4=96，所以□×10-□=96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一個方□中就只能取4。

　　接下來看(1)□+□×6+11=24，24-11=13，□+□×6=13，□×6<13的方格中可取1和2；取1時有7+1×6=13，7在(6)中已經(jīng)用過，所以□×6的方格中只能取2，另一個□中取1。

　　最后觀察(2)式，現(xiàn)在只剩下3、8，(□+5)×2為偶數(shù)，24為偶數(shù)，所以第二個□只能取8，第一個方面中取3。

　　解：

　　(1) ×6+11=24      (2)( +5)×2+ =24

　　(3)( ×10- )÷4=24  (4) ×3- ÷2=24

　　(5) ×5-4÷4=24         (6)13+□×3-10=24

　　10.在適當?shù)奈恢弥校钌侠ㄌ?，使下列算式成立?

　　(1)9+60÷3+2×4-1=30

　　(2)9+60÷3+2×4-1=56

　　(3)9+60÷3+2×4-1=15

　　(4)9+60÷3+2×4-1=45

　　分析：(1)題中只有÷3，-1兩處可以使數(shù)值變小，特別值得注意的是“-”后面只有1，所以要想辦法使算式中數(shù)靠近30，又要小于30，(9+60)÷3=23，再使后面得7即可，2×4-1正好得7。

　　(2)56是個較大的數(shù)，我們還要先靠近56，再湊小數(shù)，在中間的÷、×之間想辦法，60÷(3+2)×4=48，再加8就得結果了，9-1=8。

　　(3)從前端想15-9=6，想辦法使后面部分得6，60÷10=6，3+2×4-1正好得10。

　　(4)從前端想45-9=36，36=12×3=9×4，60÷(3+2)=12，4-1=3，可求解。

　　解：(1)(9+60)÷3+2×4-1=30

　　(2)9+60÷(3+2)×4-1=56

　　(3)9+60÷(3+2×4-1)=15

　　(4)9+60÷(3+2)×(4-1)=45