如果我只有一次機(jī)會(huì)給朋友講數(shù)學(xué)，考慮到所講的東西既要不失數(shù)學(xué)的重要性和趣味性，同時(shí)也不能有損我在對(duì)方心目中的形象、我們的交情，我想我會(huì)從“三七二十一”開始講起。

它表達(dá)的是一個(gè)眾所周知的事實(shí)，3×7＝21

如果我們把這個(gè)等式換一個(gè)寫法，21=3×7

那么可以得到新的理解：21可以寫成3和7的乘積。事實(shí)上，21=3×7＝7×3是21唯一的非平凡的因子分解。除此之外，21還有一個(gè)平凡的因子分解：21＝1×21＝21×1。

聰明的讀者大概猜到我要講什么了。對(duì)了，就是初等數(shù)論。

初等數(shù)論是研究整數(shù)的一門學(xué)問，其中一個(gè)極重要的概念是素?cái)?shù)。對(duì)于一個(gè)大于1的整數(shù)，如果只存在平凡的因子分解（換言之，其因子只有1和它本身），那么就稱為素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù)。（注意，1既不看成素?cái)?shù)、也不看成合數(shù)，這種約定，只是為了讓理論更簡(jiǎn)單。）

例如，2, 3, 5, 7, 11…是素?cái)?shù)；而6, 8, 9, 10,12…是合數(shù)。

在某種意義下，你可以認(rèn)為素?cái)?shù)比合數(shù)更簡(jiǎn)單。事實(shí)上，素?cái)?shù)是構(gòu)造合數(shù)的基本積木。例如，21是合數(shù)，因?yàn)樗蟹瞧椒驳囊蜃臃纸?span>21=3×7＝7×3，而其中的兩個(gè)因子3和7都是素?cái)?shù)。再如，12也是合數(shù)，它的素因子是2,2, 3，因?yàn)?2＝2×2×3。

數(shù)論中一個(gè)基本的結(jié)果是算術(shù)基本定理：任何一個(gè)合數(shù)都可以分解為素?cái)?shù)的乘積，而且在不計(jì)因子的次序的意義下，其分解是唯一的。

這個(gè)定理有時(shí)也稱為素因子的唯一分解定理。

對(duì)于具體給定的合數(shù)，比如21或者12，這是很容易驗(yàn)證的。我們來看12的情況，雖然12還有兩種非平凡的分解12＝3×4＝2×6，但是注意到，其中的因子4和6并不是素?cái)?shù)。因此這兩個(gè)分解都不是素因子分解。

上述定理的威力在于，素因子分解的存在性與唯一性，對(duì)任意的合數(shù)都成立。

我們不妨?xí)簳r(shí)先承認(rèn)這個(gè)定理的正確性（事實(shí)上早在2000多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家就證明了這個(gè)定理）。這樣一個(gè)存在性定理立即會(huì)引出一個(gè)問題：對(duì)于任意給定的一個(gè)大于1的數(shù)，如何判定它是否為素?cái)?shù)；如果它不是素?cái)?shù)，那么作為合數(shù)，如何求出它的素因子分解？

第一個(gè)問題又稱素性檢驗(yàn)問題，也許你會(huì)冒出一個(gè)天真的想法，可以一勞永逸地解決它：如果我們能夠列舉出所有的素?cái)?shù)，那么對(duì)一個(gè)給定的數(shù)，判定它是否為素?cái)?shù)就是小菜一碟了！

然而，我們大概永遠(yuǎn)也無法做到這一點(diǎn)——比天空中星羅棋布的點(diǎn)點(diǎn)繁星，素?cái)?shù)的分布更加令人難以捉摸！雖然目前尚不清楚，大大小小的星體是否有無限多個(gè)，但存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)這一點(diǎn)則是毫無疑問的！因此，素?cái)?shù)序列“ 2,3, 5, 7, 11…”中的省略號(hào)，所表示的其實(shí)是一種無奈（而非偷懶）：“凡是我們不能言說的，我們必須保持沉默。”（引自奧地利哲學(xué)家維特根斯坦）

原則上，你可以繼續(xù)往下寫出更大的素?cái)?shù)，13,17,19,23… 然而遲早在某一步（比如，當(dāng)你掛掉時(shí)），你會(huì)感嘆，還是素?cái)?shù)更永垂不朽。也許那時(shí)你會(huì)修改曹丕的話：“年壽有時(shí)而盡，榮樂止乎其身，未若素?cái)?shù)之無窮”。（在曹丕的原文中，最后一句是“未若文章之無窮”。）

盡管如此，我們還是有一個(gè)方法來處理素性檢驗(yàn)問題。它是基于這樣的想法，對(duì)給定的有待檢驗(yàn)的數(shù)，如果它是合數(shù)，那么其素因子必定小于它（其實(shí)是不超過它的平方根），而我們有一個(gè)方法可以列出所有不超過某個(gè)給定數(shù)的素?cái)?shù)，然而逐一判定這些素?cái)?shù)是否是它的因子，如果發(fā)現(xiàn)了一個(gè)素因子，那么這個(gè)被檢驗(yàn)的數(shù)就是合數(shù)，否則就是素?cái)?shù)。這個(gè)方法是基于這樣的想法：羅列出一定范圍內(nèi)的所有合數(shù)是相對(duì)容易的，于是剩下的就是素?cái)?shù)了。

比如說，我們要選出2到144之間的所有素?cái)?shù)，那么就只需要去掉其中所有的合數(shù)，也就是那些是2,3,…144的倍數(shù)的數(shù)。然而事實(shí)上，真正需要考慮的數(shù)并沒有那么多，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)介于2和144之間的數(shù)是合數(shù)，那么它一定有一個(gè)因子不超過√144＝12（請(qǐng)思考為什么）。因此，我們只需要去掉2,3,…12的那些倍數(shù)。更進(jìn)一步，我們只要考慮2,3,…12的中的素?cái)?shù)，即2,3,5,7,11?，F(xiàn)在我們就來做這件事。

在2到144的這143個(gè)數(shù)中，首先去掉2的所有真倍數(shù)，即所有大于2的偶數(shù)。得到的數(shù)很容易看出來：

因此，我們的任務(wù)化簡(jiǎn)為在3到143的所有奇數(shù)中依次去掉3,5,7,9,11的真倍數(shù)。例如，在去掉3的所有真倍數(shù)以后，我們得到

因?yàn)?的一個(gè)倍數(shù)自動(dòng)就是3的倍數(shù)，所以我們只需要去掉5,7,11的真倍數(shù)就可以得到所有小于等于144的素?cái)?shù)了。 5的所有真倍數(shù)很容易被識(shí)別（我們用方框把它們標(biāo)記出來）：

同樣的，我們?cè)偃サ?和11的真倍數(shù)。最后，我們將得到不超過144的所有素?cái)?shù)，共有34個(gè)：

這個(gè)得到素?cái)?shù)的方法被稱為埃拉托色尼(Eratosthenes)篩法。之所以稱為篩法，是因?yàn)樗巡灰暮蠑?shù)都篩掉了，剩下的正是所需的素?cái)?shù)。

埃拉托色尼（公元前276‐194年）是與阿基米德（Archimedes）同時(shí)代的古希臘人。他既是數(shù)學(xué)家，又是天文學(xué)家。埃拉托色尼的一個(gè)最有名的成就是，在大約2300年前，他對(duì)地球半徑做出了一個(gè)非常精準(zhǔn)的測(cè)量，誤差在11%以內(nèi)。考慮到當(dāng)時(shí)科學(xué)測(cè)量所處的原始狀態(tài)，這樣的精度是引人注目的。

這方法人工操作起來當(dāng)然有點(diǎn)繁瑣，也容易出差錯(cuò)，但交給計(jì)算機(jī)來做，完全可以放心。盡管如此，在尋找大素?cái)?shù)和對(duì)較大的數(shù)求素因子分解方面，計(jì)算機(jī)的效率和能力也是有限的。正是這一固有的困難，確保了將素?cái)?shù)應(yīng)用于密碼的安全可靠性。其想法是很簡(jiǎn)單的：如果我用了你不知道的超級(jí)大的素?cái)?shù)，那么計(jì)算機(jī)在它有生之年破解的幾率小得可憐。

哪怕是對(duì)于比計(jì)算機(jī)算得還快的人，在對(duì)超級(jí)大的數(shù)求因子分解這個(gè)問題面前，也絕不可能顯出其高明來。如果你碰到一個(gè)在數(shù)學(xué)方面自以為是、狂妄自大的人，想要打擊他或者打發(fā)他，很容易——你隨便寫一個(gè)比較大的數(shù)，比如，12345678910111213（只要你樂意，還可以往下寫，甚至寫得更復(fù)雜），然后只需問他：這個(gè)數(shù)是不是素?cái)?shù)，如果是，何以見得；如果不是，其素因子分解是怎樣的。

接下來，對(duì)于那些可能會(huì)問“為什么素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”的朋友，我想介紹一個(gè)經(jīng)典的證明。在給出這個(gè)證明之前，我先要說明一下，證明在數(shù)學(xué)中的含義。

在數(shù)學(xué)中，證明是一串邏輯推導(dǎo)（因?yàn)椤浴┑逆?，每一步推?dǎo)（即給出從“因?yàn)椤钡健八浴钡睦碛桑┧淼?，是一種無懈可擊、唯一的邏輯必然。雖然數(shù)學(xué)家常常“言必稱證明”，但正如英國著名的物理學(xué)家愛丁頓（Eddington）一針見血指出的：“證明是數(shù)學(xué)家自己折磨自己的幽靈?！?/span>

在實(shí)際生活中，所發(fā)生的一切都只是選擇，其選項(xiàng)往往很多，所謂邏輯上的必然性與數(shù)學(xué)上的正確性，在生活中根本不存在（請(qǐng)你不要絕望，這是好事）。這么說吧，生活被機(jī)遇和偶然所主宰（合情即可理解），而數(shù)學(xué)則聽命于邏輯和必然（必須合理）。

聽起來好像生活比數(shù)學(xué)容易，因?yàn)閿?shù)學(xué)需要講道理，生活中的事情則未必。比如《大話西游》里頭，至尊寶與菩提有段經(jīng)典的對(duì)白：

事實(shí)上，也許講道理的數(shù)學(xué)更簡(jiǎn)單。20世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家馮·諾依曼（von Neumann）曾說：“如果有人不同意數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的，那僅僅是因?yàn)椋麄儧]有意識(shí)到生活是何等復(fù)雜。”

也許你并不這么認(rèn)為，那么接下來我就來介紹一下“素?cái)?shù)之無窮”的證明，讓你感受一下數(shù)學(xué)家是如何通過講道理而讓你明白隱藏的事實(shí)，讓你領(lǐng)略一下數(shù)學(xué)中無懈可擊的證明的威力。

證明一：這個(gè)證明基于反證法。假定只存在有限多個(gè)素?cái)?shù)，比方說P1，P2，......,Pk是所有的素?cái)?shù)。我們將證明這一假定將導(dǎo)出矛盾?？紤]自然數(shù)N=（P1，P2，......,Pk）+1。只有兩種可能：第一種可能是N本身是素?cái)?shù)；第二種可能N是是合數(shù)，從而含有一個(gè)素因子。第一種可能是不成立的，因?yàn)镹大于P1，P2，......,Pk中的任何一個(gè)，所以它不是素?cái)?shù)（因?yàn)樵凇?span>P1，P2，......,Pk是所有的素?cái)?shù)”的假定下，每一個(gè)素?cái)?shù)必等于某個(gè)）。我們?nèi)菀卓闯觯恳粋€(gè)素?cái)?shù)Pi 都不整除N，這說明N沒有素因子，第二種可能也不成立。因此，假定不成立。從而素?cái)?shù)有無限多個(gè)。

反證法是基于這樣的想法：一個(gè)命題與其否命題，有且僅有一個(gè)成立（勢(shì)不兩立）。因此要證明某個(gè)命題（素?cái)?shù)有無窮多個(gè)）成立，只要證明其否命題（素?cái)?shù)至多有有限多個(gè)）不成立。也許有人不喜歡反證法，認(rèn)為它繞，不直接。在本例的情況，很容易把上述證明寫成一個(gè)直接的證明。如下：

證明二：設(shè)我們已經(jīng)有素?cái)?shù)P1，P2，......,Pk。我們將證明，存在一個(gè)新的素?cái)?shù)?？紤]自然數(shù)N=（P1，P2，......,Pk）+1。只有兩種可能：第一種可能N是本身是素?cái)?shù)，那么此時(shí)它就是新的素?cái)?shù)；第二種可能N是是合數(shù)，從而含有一個(gè)素因子，而這個(gè)素因子一定不是P1，P2，......,Pk之一，從而也是一個(gè)新的素?cái)?shù)。將新得到的素?cái)?shù)記為Pk+1，考慮素?cái)?shù)P1，P2，......,Pk，Pk+1，重復(fù)之前的操作，我們繼續(xù)得到新的素?cái)?shù) Pk+2；按照這種方式，我們可以列出無窮多個(gè)素?cái)?shù)。

原則上講，數(shù)學(xué)中只需要一個(gè)證明。相比于第一個(gè)證明，第二個(gè)證明的好處在于，讓你更容易理解、更心安。正是因?yàn)橛辛诉@種一勞永逸的證明，數(shù)學(xué)中的許多微妙事實(shí)（比如算術(shù)基本定理）才放之四海而皆準(zhǔn)。

為了避免你誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一堆證明，我要立即指出，數(shù)學(xué)最有活力的部分在于，猜出所要證明的東西，也就是猜想。本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)家所做的事情，就是基于部分已知的事實(shí)，猜出一些美妙的一般事實(shí)，然后想辦法證明。

比起《大話西游》里紫霞仙子對(duì)理想的堅(jiān)定追求，數(shù)學(xué)家對(duì)猜想的執(zhí)著，有過之而無不及。

在這里，我想借此機(jī)會(huì)介紹數(shù)論中的幾個(gè)猜想（更多有趣的猜想，可見美國數(shù)學(xué)家蓋伊所寫的《數(shù)論中未解決的問題》），一個(gè)是哥德巴赫猜想，一個(gè)是孿生素?cái)?shù)猜想。

哥德巴赫（Goldbach）是18世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家，他曾猜想，任意一個(gè)大于2的偶數(shù)（雙數(shù)）都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。這個(gè)猜想至今未必證明，而取得的最好結(jié)果屬于中國數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)，他在1973年證明了：每個(gè)充分大的偶數(shù)或者是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，或者是一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)“半素?cái)?shù)”之和。所謂“半素?cái)?shù)”，就是可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之乘積的數(shù)，如6，它本身不是素?cái)?shù)，不過可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)2與3的乘積。

另一個(gè)著名的猜想叫孿生素?cái)?shù)猜想。如果兩個(gè)素?cái)?shù)之間相差2（相差1的只有唯一可能：2與3），那么這樣的一對(duì)素?cái)?shù)稱為孿生素?cái)?shù)對(duì)，例如，5與7，11與13，17與19。孿生素?cái)?shù)猜想說，存在無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)對(duì)。這個(gè)猜想至今也是懸而未決，不過幾年前，華裔數(shù)學(xué)家張益唐對(duì)此作出了突破性進(jìn)展，這是當(dāng)代的數(shù)學(xué)傳奇。對(duì)此有興趣的讀者，很容易從網(wǎng)上獲得了解。

最后我愿意補(bǔ)充一個(gè)猜想，它未必有意思，但與我們對(duì)“素?cái)?shù)之無窮”的證明有關(guān)。我斗膽猜想：對(duì)任意的大于或等于2的整數(shù)k，形如P₁P₂...P_k +1 的素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，其中P1，P2，......，Pk是兩兩不同的素?cái)?shù)。

在最簡(jiǎn)單的情況（k=2），這個(gè)猜想相當(dāng)于說，形如2p+1的素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，其中p是素?cái)?shù)。

老實(shí)講，對(duì)于這個(gè)猜想的正確性，我并沒有多大把握，至于它是否重要、是否有趣，我就更沒有信心了（不過有朋友告訴我，他們認(rèn)為挺有趣）。畢竟，只是在準(zhǔn)備寫這篇文章時(shí)，我偶然想到這個(gè)問題。說不定，與此同時(shí)，你也想到了一些問題、做出了一些猜想，這就是數(shù)學(xué)的真正樂趣之一：數(shù)學(xué)是思維的體操，它能引發(fā)你思考。

我想說，正是對(duì)那些未解決的問題的深入思考，引導(dǎo)著數(shù)學(xué)家在廣袤無垠深不可測(cè)的數(shù)學(xué)天地中繼續(xù)開拓，讓他們最終能夠確定地回答一些極其簡(jiǎn)單的問題，如“素?cái)?shù)之無窮”。

也許可以這么說，不論是在生活中還是數(shù)學(xué)中，都存在許許多多問起來簡(jiǎn)單而回答則不易的問題，數(shù)學(xué)家研究、發(fā)展數(shù)學(xué)，一個(gè)重要的動(dòng)機(jī)，就是要回答那些問題。正如20世紀(jì)的德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）所說：我們必須知道，我們必將知道。

如果你是第一次見到我的名字，并且“不管三七二十一”讀完了這篇文章，此時(shí)我希望你的表情是這樣的：

* 本文作者林開亮，首都師范大學(xué)博士畢業(yè)，現(xiàn)任教于西北農(nóng)林科技大學(xué)，原載于“超級(jí)數(shù)學(xué)建?！?。