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設(shè)a=（x,y）,b=(x',y'). 1、向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的運(yùn)算律： 交換律：a+b=b+a； 結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的減法 如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn),指向被減” a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y'). 4、數(shù)乘向量 實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 當(dāng)λ＞0時(shí),λa與a同方向； 當(dāng)λ＜0時(shí),λa與a反方向； 當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,方向任意. 當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ,都有λa=0. 注：按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮. 當(dāng)∣λ∣＞1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍； 當(dāng)∣λ∣＜1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍. 數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律 結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb). 向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的數(shù)量積 定義：已知兩個(gè)非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'. 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 a·b=b·a（交換律）； (λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的數(shù)量積的性質(zhì) a·a=|a|的平方. a⊥b 〈=〉a·b=0. |a·b|≤|a|·|b|. 向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn) 1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2. 2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c. 3、|a·b|≠|(zhì)a|·|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b. 4、向量的向量積 定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0. 向量的向量積性質(zhì)： ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積. a×a=0. a‖b〈=〉a×b=0. 向量的向量積運(yùn)算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量沒(méi)有除法,“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的. 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí),左邊取等號(hào)； ② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí),右邊取等號(hào). 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣. ① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí),左邊取等號(hào)； ② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí),右邊取等號(hào). 定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ·向量PP2） 設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn),P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn).則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比. 若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式） 我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式 三點(diǎn)共線定理 若OC=λOA +μO(píng)B ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線 三角形重心判斷式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心 [編輯本段]向量共線的重要條件 若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb. a//b的重要條件是 xy'-x'y=0. 零向量0平行于任何向量. [編輯本段]向量垂直的充要條件 a⊥b的充要條件是 a·b=0. a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0. 零向量0垂直于任何向量. |
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來(lái)自： 潯_ > 《數(shù)學(xué)》
