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你好. 很多人做了很多年的輔助線,都沒有想清楚做輔助線的目的是什么,其實(shí),輔助線的目的,就是將題目中的已知之間建立聯(lián)系. 做輔助線的方法多種多樣,具體題要具體分析,但是也有他自己的套路.這是我?guī)湍銖膭e的地方找的,總結(jié)的很全面. （1）三角形中： ①等腰Δ：常連底邊上的中線或高或頂角的平分線（構(gòu)造兩個全等的直角Δ,或便于運(yùn)用等腰Δ三線合一的性質(zhì).如圖1） ②直角Δ斜邊上有中點(diǎn)：連中線（構(gòu)造兩個等腰Δ,或便于運(yùn)用直角Δ斜邊上的中線的特殊性質(zhì).如圖2） ③斜Δ有中點(diǎn)或中線：連中線(構(gòu)造兩個等底同高的等積Δ.如圖3）； 或自左右兩頂點(diǎn)分別作中線的垂線（構(gòu)造兩個全等直角三角形.如圖4）； 或連中位線、或過一中點(diǎn)作另一邊的平行線（構(gòu)造兩個相似比為1：2的相似Δ,或便于運(yùn)用Δ中位線定理.如圖5、6）；或延長中位線或中線的一倍（構(gòu)造兩個全等Δ或補(bǔ)全為一個平行四邊形.如圖7、8）.或延長中線的1/3（構(gòu)造兩個全等Δ或補(bǔ)全為一個平行四邊形.如圖9）. ④有角平分線：過其上某一交點(diǎn)作角兩邊的垂線（構(gòu)造兩全等的直角Δ.如圖10）或一邊或兩邊的平行線（構(gòu)造一個或兩個等腰Δ或一菱形.如圖11）. ⑤有角平分線：在此角的一邊上自頂點(diǎn)取一段等于另一邊并作相關(guān)連線（構(gòu)造兩個全等Δ.如圖12、13） ⑥有角平分線遇垂線：常延長垂線（構(gòu)造等腰Δ.如圖14）. （二）梯形： ①延長兩腰交于一點(diǎn)（構(gòu)造兩相似Δ.如圖15）, ②由小底的一端作一腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的Δ和一平行四邊形.如圖16）. ③由小底的兩端作大底的垂線（構(gòu)造兩直角Δ和一矩形.如圖17）. ④有對角線時(shí)：由小底的一端作另一對角線的平行線（構(gòu)造一集中有兩對角線及上下兩底和的Δ和一平行四邊形.如圖18）. ⑤連小底一端與另一腰中點(diǎn)并與大腰的延長線相交（構(gòu)造兩全等Δ及一與梯形等高等積的Δ.如圖19）. ⑥過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線（構(gòu)造兩全等Δ及與梯形等積的平行四邊形.如圖20）. ⑦過小底的中點(diǎn)分別作兩腰的平行線（構(gòu)造一集中有兩腰及上下兩底差的Δ和兩個平行四邊形.如圖21）. （三）圓： ①有弦：連過弦端點(diǎn)的半徑,連垂直于弦的直徑或弦心距（構(gòu)造直角Δ,便于運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)解題）；或作過弦一端點(diǎn)的切線及相關(guān)的圓心角、圓周角（便于運(yùn)用弦切角定理.如圖22）. ②有直徑及垂直直徑的弦或半弦,連結(jié)弦與直徑的端點(diǎn)（構(gòu)造三個相似的直角Δ,便于運(yùn)用直角Δ的性質(zhì)及射影定理.如圖23）. ③有圓內(nèi)接四邊形：連對角線（構(gòu)造較多相等的圓周角.如圖24）；或延長四邊形的某一邊（構(gòu)造與內(nèi)對角相等的外角.如圖25）. ④圓外有切線：連過切點(diǎn)的半徑或直徑（構(gòu)造垂直關(guān)系）；或作過切點(diǎn)的弦及相關(guān)的圓心角、圓周角（便于運(yùn)用弦切角定理.如圖26）. ⑤圓外有兩條相交切線：連過切點(diǎn)的半徑,并作切線交點(diǎn)與圓心的連線（構(gòu)造兩全等的直角三角形）；或作過交點(diǎn)和加以的割線（便于運(yùn)用切線割線定理）；或連結(jié)兩切點(diǎn)（構(gòu)造一等腰Δ、三對全等的直角Δ、被切線交點(diǎn)與圓心的連線垂直平分的弦,便于運(yùn)用等腰Δ、直角Δ、全等Δ以及射影定理.如圖27）. ⑥有相交弦或相交于圓外的割線\切線：連結(jié)不同弦的端點(diǎn)或不同割線在圓上的交點(diǎn)（構(gòu)造相似Δ,便于運(yùn)用比例線段及Δ外角定理.如圖28、29、30）. ⑦兩圓相交：作連心線、公共弦,甚至兩圓心到公共弦兩端點(diǎn)的連線（構(gòu)造兩 等腰Δ、補(bǔ)全一箏形,便于運(yùn)用連心線垂直平分公共弦的定理.如圖31）. ⑧兩圓外切：作連心線及內(nèi)、外公切線、連切點(diǎn)、連半徑（構(gòu)造一集中有兩條弦及外公切線長 的直角Δ、一集中有兩圓半徑、半徑之和及外公切線長的直角梯形.如圖32）. ⑨兩圓內(nèi)切：作連心線及外公切線（便于運(yùn)用連心線與公切線的垂直關(guān)系.如圖33）. ⑩兩圓外離：作連心線及個公切線或內(nèi)公切線,并過小圓圓心作公切線的平行線（構(gòu)造一集中連心線長、公切線長、兩圓半徑差或和的直角Δ.如圖34、35）. 1圖中已知有中線,倍長中線把線連. 旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等形,等線段角可代換. 多條中線連中點(diǎn),便可得到中位線. 倘若知角平分線,既可兩邊作垂線. 也可沿線去翻折,全等圖形立呈現(xiàn). 角分線若加垂線,等腰三角形可見. 角分線加平行線,等線段角位置變. 已知線段中垂線,連接兩端等線段. 2人說幾何很困難,難點(diǎn)就在輔助線. 輔助線,如何添?把握定理和概念. 還要刻苦加鉆研,找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn). 題中有角平分線,可向兩邊作垂線. 線段垂直平分線,可向兩端把線連. 三角形中兩中點(diǎn),連結(jié)則成中位線. 三角形中有中線,延長中線同樣長. 成比例,正相似,經(jīng)常要作平行線. 圓外若有一切線,切點(diǎn)圓心把線連. 如果兩圓內(nèi)外切,經(jīng)過切點(diǎn)作切線. 兩圓相交于兩點(diǎn),一般作它公共弦. 是直徑,成半圓,想做直角把線連. 作等角,添個圓,證明題目少困難. 輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變. 圖中有角平分線,可向兩邊作垂線. 也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn). 角平分線平行線,等腰三角形來添. 角平分線加垂線,三線合一試試看. 線段垂直平分線,常向兩端把線連. 要證線段倍與半,延長縮短可試驗(yàn). 三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線. 三角形中有中線,延長中線等中線. 平行四邊形出現(xiàn),對稱中心等分點(diǎn). 梯形里面作高線,平移一腰試試看. 平行移動對角線,補(bǔ)成三角形常見. 證相似,比線段,添線平行成習(xí)慣. 等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵. 直接證明有困難,等量代換少麻煩. 斜邊上面作高線,比例中項(xiàng)一大片. 半徑與弦長計(jì)算,弦心距來中間站. 圓上若有一切線,切點(diǎn)圓心半徑連. 切線長度的計(jì)算,勾股定理最方便. 要想證明是切線,半徑垂線仔細(xì)辨. 是直徑,成半圓,想成直角徑連弦. 弧有中點(diǎn)圓心連,垂徑定理要記全. 圓周角邊兩條弦,直徑和弦端點(diǎn)連. 弦切角邊切線弦,同弧對角等找完. 要想作個外接圓,各邊作出中垂線. 還要作個內(nèi)接圓,內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓,不要忘作公共弦. 內(nèi)外相切的兩圓,經(jīng)過切點(diǎn)公切線. 若是添上連心線,切點(diǎn)肯定在上面. 要作等角添個圓,證明題目少困難. 輔助線,是虛線,畫圖注意勿改變. 假如圖形較分散,對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn). 基本作圖很關(guān)鍵,平時(shí)掌握要熟練. 解題還要多心眼,經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯. 切勿盲目亂添線,方法靈活應(yīng)多變. 分析綜合方法選,困難再多也會減. 虛心勤學(xué)加苦練,成績上升成直線 |
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