引言
    徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡具有結構簡單，學習速度快等優(yōu)點，在函數(shù)逼近、系統(tǒng)辨識、模式識別等領域得到了廣泛應用。
    構造RBF網(wǎng)絡的關鍵是合理選取徑向基函數(shù)的數(shù)量和中心向量。目前，比較常用的方法主要有K均值聚類法、C-Means算法等。這些方法都是在人為確定徑向基函數(shù)的數(shù)量和初始向量之后，采用基于歐氏距離的最近鄰方法來實現(xiàn)聚類的。對于類間距離大，類內(nèi)距離小的樣本可以得到比較不錯的結果，而對于類間交錯較大，類內(nèi)距離大的情形，這種方法的分類能力將嚴重減弱，從而不利于網(wǎng)絡的泛化應用。另外，網(wǎng)絡的訓練過程和工作過程完全獨立，如果外部環(huán)境發(fā)生變化，系統(tǒng)的特性會隨之發(fā)生變化，由此需要重新對網(wǎng)絡進行訓練，這使問題變得更加復雜，也使網(wǎng)絡的應用領域受到限制。
    針對以上算法存在的問題，本文提出了一種RBF網(wǎng)絡的自適應學習算法。該算法事先不需要確定RBF的數(shù)量和中心向量，而是在學習過程中，根據(jù)誤差在輸入空間的分布，自適應地增加RBF的數(shù)量，并適當調(diào)節(jié)中心向量。為了不使RBF的數(shù)量過于膨脹，還制定了相應的刪除策略，該策略通過綜合評價每個RBF對網(wǎng)絡所作的貢獻，然后刪除貢獻小的RBF，使網(wǎng)絡結構始終保持簡潔。

1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡
    RBF網(wǎng)絡是一種三層前饋網(wǎng)絡，由輸入層、輸出層和隱層組成。其中，輸入層和輸出層皆由線性神經(jīng)元組成；隱層的激活函數(shù)(核函數(shù))采用中心徑向對稱衰減的非負非線性函數(shù)，其作用是對輸入信號在局部產(chǎn)生響應。輸入層與隱層之間的權值固定為1，只有隱層與輸出層之間的權值可調(diào)。
    設輸入矢量x=(x1，x2，…，xn)T，隱層節(jié)點個數(shù)為m，RBF網(wǎng)絡的輸出可表示為：
   
    式中：ωi是第i個隱層節(jié)點與輸出層之間的權值；φi(‖x—ci‖)，i=1，2，…，m為隱層激活函數(shù)。通常采用如下高斯函數(shù)：
   
    式中：σi和ci分別表示該隱層節(jié)點的寬度和中心矢量；‖·‖是歐氏范數(shù)。

2 RBF網(wǎng)絡自適應學習算法
    RBF選取得越多，網(wǎng)絡的逼近精度越高，但同時也會使網(wǎng)絡的泛化能力下降，因此，在滿足一定逼近精度的條件下，應選取盡可能少的中心向量，以保證網(wǎng)絡有較好的泛化能力。本文提出的算法，根據(jù)網(wǎng)絡的輸出誤差在輸入空間的非均勻分布，以及每個RBF對網(wǎng)絡所作貢獻的大小，通過相應的添加和刪除策略對網(wǎng)絡參數(shù)進行自適應調(diào)整，使網(wǎng)絡的逼近性能和泛化能力都達到較高的要求。同時，網(wǎng)絡的訓練和工作可以交替進行，所以它能夠適應外界環(huán)境的緩慢變化。
2．1 添加策略
    添加策略綜合考慮了網(wǎng)絡輸出誤差在輸入空間的非均勻分布。需要統(tǒng)計每個輸入矢量產(chǎn)生的輸出誤差，然后通過比較找出誤差相對較大的點，再在這些點附近適當?shù)夭迦腚[層節(jié)點。
    設(xk，yk)，k=1，2，…，N是一組訓練樣本，初始時刻，隱層節(jié)點數(shù)為零，每次執(zhí)行添加操作，依據(jù)以下準則判斷是否添加隱層節(jié)點：
   
    式中：是網(wǎng)絡輸出均方誤差；ck,nearest和xk,nearest分別對應與輸入向量xk最接近的隱層節(jié)點中心和輸入向量。如果滿足添加條件，則將(xk+xk,nearest)／2設為新的隱層節(jié)點中心，將ek設為新節(jié)點的權值，中心寬度取。
2．2 刪除策略
    由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡是一種局部感知場網(wǎng)絡，網(wǎng)絡總的輸出取決于隱層與輸出層之間的權值和隱層節(jié)點中心與輸入矢量之間的距離。進行訓練時，所選取的訓練樣本相對比較稀疏。當某一個隱層節(jié)點中心離每一個輸入矢量都很遠時，即使其權值是一個較大的數(shù)，也不會對輸出產(chǎn)生太大的影響。在訓練結束后進行檢驗的過程中，檢驗的數(shù)據(jù)一般都比較密集，若某些輸入矢量離該隱層中心較近，則輸出會受到很大的影響，這使網(wǎng)絡的泛化能力變差。因此需要制定一種策略來刪除這樣的隱層節(jié)點，由此引入了刪除策略。
    刪除策略是針對每個隱層節(jié)點對整個網(wǎng)絡所作貢獻的大小不同而提出的。貢獻大的節(jié)點，繼續(xù)保留；貢獻小的節(jié)點，則刪除。對任意隱層節(jié)點i，用Ai來表示它對整個網(wǎng)絡所作的貢獻。Ai定義為：
   
    執(zhí)行刪除操作前，先對Ai進行歸一化處理，即。最后的判斷規(guī)則為：若，則刪除第i個隱層節(jié)點，其中θ為判決門限。
    在采用梯度下降法調(diào)整隱層節(jié)點中心位置和權值的過程中，需要計算每個輸入矢量對應的輸出誤差ek，以及每個隱層節(jié)點的輸出值φ(‖xk-ci‖)。而執(zhí)行添加和刪除操作時也需要計算ek和φ(‖xk-ci‖)。為了減小計算量，提高運算效率，可以在調(diào)整隱層的中心位置和權值的過程中先保存ek和φ(‖xk-ci‖)的值。
2．3 算法流程
    自適應RBF神經(jīng)網(wǎng)絡學習算法的具體流程如圖1所示。對RBF進行訓練之前，先確定最大訓練次數(shù)M和訓練允許誤差Er，作為訓練結束的條件。

    整個算法的流程大體可分成三個部分。第一個部分是調(diào)節(jié)隱層節(jié)點的中心位置和隱層與輸出層之間的權值。本文采用梯度下降法，每循環(huán)一次，相應地調(diào)節(jié)一次。第二個部分是執(zhí)行添加操作。添加的策略是根據(jù)輸出誤差在輸入空間分布的不均勻性而提出的。如果執(zhí)行該操作過頻，不但會減小隱層節(jié)點的中心位置和權值的調(diào)節(jié)速度，而且會造成隱層節(jié)點數(shù)目過多，計算量增大，導致過度擬合。考慮到以上因素，采用間歇的方式執(zhí)行添加操作，只有當i=4n+1(n=0，1，2，…)時，才執(zhí)行添加操作。第三個部分是執(zhí)行刪除操作。如果執(zhí)行該操作過頻，對于一些新增加的隱層節(jié)點，其中心位置和權值有可能還沒來得及調(diào)整就已經(jīng)被刪除了，所以也采用間歇的方式執(zhí)行。當i=8m+7(m=0，1，2，…)時，才執(zhí)行刪除操作。
2．4 RBF網(wǎng)絡參數(shù)調(diào)整算法
    本文采用梯度下降法調(diào)整RBF的隱層節(jié)點中心位置和權值。設隱層節(jié)點的數(shù)目為m，一共有N組訓練樣本：(x，y)={(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xN，yN)}。神經(jīng)網(wǎng)絡的實際輸出為：。選取均方差為誤差函數(shù)，取ρ1和ρ2為學習率。
    (1)調(diào)整隱層節(jié)點的權值
   
    (2)調(diào)整隱層節(jié)點中心的位置

3 仿真實例
    (1)對隨機曲面進行恢復
    仿真中定義曲面方程如下：
   
    原始數(shù)據(jù)集所得曲面圖像如圖2所示。

    以x(x=x1，x2)為輸入矢量，其中，x1和x2分別以1為間隔在區(qū)間[0，9]內(nèi)均勻取值，一共得到100組輸入數(shù)據(jù)(x1，x2)。選取ε=0．02，θ=0．3，ρ1=0．1，ρ2=0．05。經(jīng)過20次訓練，最后得到的網(wǎng)絡具有41個隱層節(jié)點，系統(tǒng)的均方誤差為0．023 3。擬合后的曲面圖像如圖3所示。

    (2)對θ取不同值時的比較，結果如表1～表3所示。

4 結語
    針對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡隱層節(jié)點的參數(shù)和數(shù)量難以確定的問題，提出了一種自適應的學習算法。該算法事先不需要確定隱層節(jié)點的中心位置和數(shù)量，而是通過相應的添加和刪除策略實現(xiàn)的。添加策略是根據(jù)輸出誤差在輸入空間分布的不均勻而提出的，通過執(zhí)行相應的操作可以使隱層節(jié)點的數(shù)目在學習過程中自適應的增加。同時，為了使隱層節(jié)點數(shù)目不過于膨脹，還制定了刪除策略。它先分析每個隱層節(jié)點對整個網(wǎng)絡所作的貢獻，然后刪除貢獻小的節(jié)點，以保持網(wǎng)絡結構簡單。仿真研究表明，該網(wǎng)絡不僅靈活性高，結構簡單，精度高，而且具有較好的泛化能力。