顧名思義，時(shí)間序列是時(shí)間間隔不變的情況下收集的時(shí)間點(diǎn)集合。這些集合被分析用來(lái)了解長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)，為了預(yù)測(cè)未來(lái)或者表現(xiàn)分析的其他形式。但是是什么令時(shí)間序列與常見的回歸問(wèn)題的不同？

有兩個(gè)原因：

1、時(shí)間序列是跟時(shí)間有關(guān)的。所以基于線性回歸模型的假設(shè)：觀察結(jié)果是獨(dú)立的在這種情況下是不成立的。

2、隨著上升或者下降的趨勢(shì)，更多的時(shí)間序列出現(xiàn)季節(jié)性趨勢(shì)的形式，如：特定時(shí)間框架的具體變化。即：如果你看到羊毛夾克的銷售上升，你就一定會(huì)在冬季做更多銷售。

常用的時(shí)間序列模型有AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型等。

一、時(shí)間序列的預(yù)處理

拿到一個(gè)觀察值序列之后，首先要對(duì)它的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)，這兩個(gè)重要的檢驗(yàn)稱為序列的預(yù)處理。根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果可以將序列分為不同的類型，對(duì)不同類型的序列我們會(huì)采用不同的分析方法。

先說(shuō)下什么是平穩(wěn)，平穩(wěn)就是圍繞著一個(gè)常數(shù)上下波動(dòng)且波動(dòng)范圍有限，即有常數(shù)均值和常數(shù)方差。如果有明顯的趨勢(shì)或周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。序列平穩(wěn)不平穩(wěn)，一般采用三種方法檢驗(yàn)：

（1）時(shí)序圖檢驗(yàn)

看看上面這個(gè)圖，很明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，不平穩(wěn)。

（2）自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)

還以上面的序列為例：用SPSS得到自相關(guān)和偏相關(guān)圖。

分析：左邊第一個(gè)為自相關(guān)圖（Autocorrelation），第二個(gè)偏相關(guān)圖(Partial Correlation)。

平穩(wěn)的序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖要么拖尾，要么是截尾。截尾就是在某階之后，系數(shù)都為 0 ，怎么理解呢，看上面偏相關(guān)的圖，當(dāng)階數(shù)為 1 的時(shí)候，系數(shù)值還是很大， 0.914. 二階長(zhǎng)的時(shí)候突然就變成了 0.050. 后面的值都很小，認(rèn)為是趨于 0 ，這種狀況就是截尾。什么是拖尾，拖尾就是有一個(gè)緩慢衰減的趨勢(shì)，但是不都為 0 。

自相關(guān)圖既不是拖尾也不是截尾。以上的圖的自相關(guān)是一個(gè)三角對(duì)稱的形式，這種趨勢(shì)是單調(diào)趨勢(shì)的典型圖形，說(shuō)明這個(gè)序列不是平穩(wěn)序列。

（3）單位根檢驗(yàn)

單位根檢驗(yàn)是指檢驗(yàn)序列中是否存在單位根，如果存在單位根就是非平穩(wěn)時(shí)間序列。

不平穩(wěn)，怎么辦？

答案是差分，轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。什么是差分？一階差分指原序列值相距一期的兩個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算；k階差分就是相距k期的兩個(gè)序列值之間相減。如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)差分運(yùn)算后具有平穩(wěn)性，則該序列為差分平穩(wěn)序列，可以使用ARIMA模型進(jìn)行分析。

還是上面那個(gè)序列，兩種方法都證明他是不靠譜的，不平穩(wěn)的。確定不平穩(wěn)后，依次進(jìn)行1階、2階、3階...差分，直到平穩(wěn)為止。先來(lái)個(gè)一階差分，上圖:

 從圖上看，一階差分的效果不錯(cuò)，看著是平穩(wěn)的。

平穩(wěn)性檢驗(yàn)過(guò)后，下一步是純隨機(jī)性檢驗(yàn)。

對(duì)于純隨機(jī)序列，又稱白噪聲序列，序列的各項(xiàng)數(shù)值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，序列在進(jìn)行完全無(wú)序的隨機(jī)波動(dòng)，可以終止對(duì)該序列的分析。白噪聲序列是沒有信息可提取的平穩(wěn)序列。

對(duì)于平穩(wěn)非白噪聲序列，它的均值和方差是常數(shù)。通常是建立一個(gè)線性模型來(lái)擬合該序列的發(fā)展，借此提取該序列的有用信息。ARMA模型是最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。

二、平穩(wěn)時(shí)間序列建模

某個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)預(yù)處理，被判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，就可以進(jìn)行時(shí)間序列建模。

建模步驟：

（1）計(jì)算出該序列的自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏相關(guān)系數(shù)（PACF）；

（2）模型識(shí)別，也稱模型定階。根據(jù)系數(shù)情況從AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p，q)模型、ARIMA（p，d，q）模型中選擇合適模型，其中p為自回歸項(xiàng)，d為差分階數(shù)，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)。

下面是平穩(wěn)序列的模型選擇：

 ARIMA 是 ARMA 算法的擴(kuò)展版，用法類似 。

（3）估計(jì)模型中的未知參數(shù)的值并對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)；

（4）模型檢驗(yàn)；

（5）模型優(yōu)化；

（6）模型應(yīng)用：進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。

三、python實(shí)例操作

以下為某店鋪2015/1/1~2015/2/6的銷售數(shù)據(jù),以此建模預(yù)測(cè)2015/2/7~2015/2/11的銷售數(shù)據(jù)。

#-*- coding: utf-8 -*-
#arima時(shí)序模型

import pandas as pd

#參數(shù)初始化
discfile = 'E:/destop/text/arima_data.xls'
forecastnum = 5

#讀取數(shù)據(jù)，指定日期列為指標(biāo)，Pandas自動(dòng)將“日期”列識(shí)別為Datetime格式
data = pd.read_excel(discfile, index_col = u'日期')

#時(shí)序圖
import matplotlib.pyplot as plt

#用來(lái)正常顯示中文標(biāo)簽

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 

#用來(lái)正常顯示負(fù)號(hào)

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
data.plot()
plt.show()

#自相關(guān)圖
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(data).show()

#平穩(wěn)性檢測(cè)
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
print(u'原始序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果為：', ADF(data[u'銷量']))

#返回值依次為adf、pvalue、usedlag、nobs、critical values、icbest、regresults、resstore

Pdf值大于三個(gè)水平值，p值顯著大于0.05，該序列為非平穩(wěn)序列。

#差分后的結(jié)果
D_data = data.diff().dropna()
D_data.columns = [u'銷量差分']

#時(shí)序圖

D_data.plot()
plt.show()

#自相關(guān)圖

plot_acf(D_data).show()

plt.show()

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf

#偏自相關(guān)圖

plot_pacf(D_data).show()

#平穩(wěn)性檢測(cè)

print(u'差分序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果為：', ADF(D_data[u'銷量差分']))

Pdf值小于兩個(gè)水平值，p值顯著小于0.05，一階差分后序列為平穩(wěn)序列。

#白噪聲檢驗(yàn)
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

#返回統(tǒng)計(jì)量和p值

print(u'差分序列的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果為：', acorr_ljungbox(D_data, lags=1))

P值小于0.05，所以一階差分后的序列為平穩(wěn)非白噪聲序列。

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
#定階

#一般階數(shù)不超過(guò)length/10

pmax = int(len(D_data)/10) 

#一般階數(shù)不超過(guò)length/10

qmax = int(len(D_data)/10) 

#bic矩陣

bic_matrix = []
for p in range(pmax+1):
  tmp = []
  for q in range(qmax+1):

#存在部分報(bào)錯(cuò)，所以用try來(lái)跳過(guò)報(bào)錯(cuò)。

    try:
      tmp.append(ARIMA(data, (p,1,q)).fit().bic)
    except:
      tmp.append(None)
  bic_matrix.append(tmp)

#從中可以找出最小值

bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix)

#先用stack展平，然后用idxmin找出最小值位置。

p,q = bic_matrix.stack().idxmin() 

print(u'BIC最小的p值和q值為：%s、%s' %(p,q))

取BIC信息量達(dá)到最小的模型階數(shù)，結(jié)果p為0，q為1，定階完成。

 #建立ARIMA(0, 1, 1)模型

model = ARIMA(data, (p,1,q)).fit() 

#給出一份模型報(bào)告

model.summary2() 

#作為期5天的預(yù)測(cè)，返回預(yù)測(cè)結(jié)果、標(biāo)準(zhǔn)誤差、置信區(qū)間。

model.forecast(5)

最終模型預(yù)測(cè)值如下:

利用模型向前預(yù)測(cè)的時(shí)間越長(zhǎng)，預(yù)測(cè)的誤差將會(huì)越大，這是時(shí)間預(yù)測(cè)的典型特點(diǎn)。

參數(shù)檢驗(yàn)如下：

從檢驗(yàn)結(jié)果p值來(lái)看，建立的模型效果良好。