三

集合對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)作大體有三類。一是有限集的對(duì)應(yīng)邏輯運(yùn)作，二是無限集的對(duì)應(yīng)邏輯運(yùn)作，三是無限集與有限集對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)作。

所謂集合對(duì)應(yīng)，就是指兩個(gè)或若干不同集合的互為對(duì)應(yīng)。并由此綻出各種集合對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系，即集合對(duì)應(yīng)的概念運(yùn)作。

第一，有限集對(duì)應(yīng)的邏輯。

例如，一輛旅行車有50個(gè)座位，這是一個(gè)有限集合；相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)有限集合是一批游客。這兩個(gè)有限集合的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是，每個(gè)游客都占有一個(gè)座位。在這樣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系中，這輛旅行車的滿員是50名游客。如果發(fā)現(xiàn)有2個(gè)座位空著，那就可以必然推定車上只有48個(gè)游客。如果發(fā)現(xiàn)有3個(gè)座位空著，那么就可以必然推定車上只有47個(gè)游客。這樣的必然推定的有效性是，在旅途中旅客下車再上車，就可以從座位是否有空缺上，邏輯必然地推定旅客是否全部上車或還少了幾個(gè)旅客沒有上車，以此決定是按時(shí)開車還是等人全上車了再開車。

又如，以一箱10個(gè)盒子為有限集合，每個(gè)盒子有十個(gè)格子裝10支針劑，一箱10個(gè)盒子則以100支針劑為數(shù)量合格。以此為有限集合進(jìn)行檢查驗(yàn)收時(shí)，10個(gè)盒子全裝滿了針劑，那么有限集合對(duì)應(yīng)的邏輯必然判斷是，10個(gè)盒子里實(shí)有針劑100支。如果發(fā)現(xiàn)有8個(gè)盒子裝滿了針劑，另有2個(gè)盒子，一個(gè)缺少了1支針劑，一個(gè)缺少了2支針劑，那么有限集合對(duì)應(yīng)的邏輯必然判斷是，這箱10個(gè)盒子里只有97支針劑，數(shù)量不合格，需補(bǔ)上3支針劑。

再如，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的顏色，以2的多少次方為表達(dá)。2的8次方為256種顏色，2的16次方為65536種顏色，2的24次方為 16777216種顏色，2的32次方為4294967296種顏色。在這里，256種顏色的有限集對(duì)應(yīng)2的8次方有限集，65536種顏色的有限集對(duì)應(yīng)2的16次方有限集， 16777216種顏色的有限集對(duì)應(yīng)2的24次方有限集，4294967296種顏色的有限集對(duì)應(yīng)2的32次方有限集。

這樣的實(shí)際例子可以舉出很多很多，它們都屬于有限集合對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)作和能動(dòng)。有限集合對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)作和能動(dòng)比較簡(jiǎn)單，在生活中處處發(fā)生，一說就能明了。

第二，無限集對(duì)應(yīng)的邏輯。

無限集合對(duì)應(yīng)產(chǎn)生許多復(fù)雜的概念抽象和邏輯關(guān)系，甚至出現(xiàn)相反的疑難。

如，在與自然數(shù)整體的無限展開對(duì)應(yīng)中，奇數(shù)和偶數(shù)等子集的無限展開可以一一對(duì)應(yīng)自然數(shù)的無限展開，在這樣的無限展開中自然數(shù)整體集和它的各個(gè)子集沒有大小之分。人們似乎可以由此得出一個(gè)結(jié)論，即無限集是沒有大小之分的。

然而，在深入的研究中，人們發(fā)現(xiàn)情況并不完全這樣。在數(shù)學(xué)中，實(shí)數(shù)集和自然數(shù)集是不能一一對(duì)應(yīng)的。如， π 這個(gè)實(shí)數(shù)在自然數(shù)的數(shù)軸無限延伸中是找不到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的，也就是說在自然數(shù)集的數(shù)軸上是無法標(biāo)出的。于是就出現(xiàn)了實(shí)數(shù)集大于自然數(shù)集的邏輯必然。這樣，不同的無限集，因不能一一對(duì)應(yīng)而產(chǎn)生了大小不同的邏輯必然。

無限集的深入探究，進(jìn)一步帶來了超限序數(shù)，實(shí)無限以及集合悖論等等的邏輯概念，絞盡了許多優(yōu)秀邏輯學(xué)家的腦汁。

怎樣來理解這些的問題呢？

例如，如果在一個(gè)線性的平行軸上，把奇數(shù)和偶數(shù)二個(gè)自然數(shù)子集，同自然數(shù)全集一一對(duì)應(yīng)，由于奇數(shù)這個(gè)自然數(shù)子集是一個(gè)無限伸展，就會(huì)在這樣的對(duì)應(yīng)中無限伸展而永遠(yuǎn)輪不到后位序列的偶數(shù)子集同自然數(shù)全集發(fā)生對(duì)應(yīng)。為解決這個(gè)問題，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾設(shè)想和創(chuàng)立了一個(gè)超限序數(shù)的概念抽象，并用希臘字母的最后一位ω 為符號(hào)標(biāo)識(shí)。康托爾試圖通過超限序數(shù)ω，以連續(xù)統(tǒng)的方式實(shí)現(xiàn)奇數(shù)子集和偶數(shù)子集與自然數(shù)全集的對(duì)應(yīng)展開。

康托爾所設(shè)想和創(chuàng)立的超限序數(shù)，其目的是力求從全體所在上實(shí)現(xiàn)潛無限到實(shí)無限映現(xiàn)。能否給出潛無限到實(shí)無限的證明呢？康托爾充滿了信心，但羅素提出了一個(gè)集合的本身是否是這個(gè)集合中的一個(gè)成員呢？這個(gè)疑難重重低給了康托爾一擊，造成了一場(chǎng)無以實(shí)現(xiàn)集合全體所在的邏輯危機(jī)。

羅素的集合邏輯悖論盡管被現(xiàn)代邏輯學(xué)“解決”掉了，但這個(gè)解決一直沒有得到真正的說明和透徹的理解。

這里關(guān)鍵是兩點(diǎn)：

一是，任何一個(gè)無限集，無論是無限集的全集還是子集，都是建立在有限之態(tài)的基礎(chǔ)上的。如：收斂級(jí)數(shù)的無限展開是建立在收斂級(jí)數(shù)這個(gè)有限之態(tài)基礎(chǔ)上的，以此為界限；圓周率的不循環(huán)小數(shù)的無限展開是建立在圓周率這個(gè)有限之態(tài)基礎(chǔ)上的，以此為界限；實(shí)數(shù)集的無限展開是建立在實(shí)數(shù)這個(gè)有限之態(tài)基礎(chǔ)上的，以此為界限；自然數(shù)集的無限展開是建立在自然數(shù)這個(gè)有限之態(tài)上的，以此為界限；偶數(shù)集和奇數(shù)集的無限展開是建立在偶數(shù)和奇數(shù)各自的有限之態(tài)基礎(chǔ)上的，以此為界限；宇宙集的無限擴(kuò)展是建立在宇宙這個(gè)有限之態(tài)基礎(chǔ)上的，以此為界限；分子集的無限深入展開是建立在分子這個(gè)有限之態(tài)基礎(chǔ)上的，以此為界限；等等，各種無限集的概念抽象都是建立在各自的有限之態(tài)的對(duì)象統(tǒng)攝基礎(chǔ)上的，并以此為它們各自的界限。而這樣的有限之態(tài)的界限規(guī)定在本質(zhì)上就是無限的全體所在，在概念方式上就是一種標(biāo)志著全體所在的實(shí)無限。如，在收斂級(jí)數(shù)1 = 1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/64+1/128···中，1就是這個(gè)收斂級(jí)數(shù)的有限之態(tài)，也就是這個(gè)收斂級(jí)數(shù)的全體所在和實(shí)無限，當(dāng)我們把1 = 1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/64+1/128···倒過來就可以十分清晰地從這個(gè)倒置···1/128+1/64++1/64+1/32+1/16+8/1+1/4+ 1/2=1 中看到，1 就是這個(gè)收斂級(jí)數(shù)的全體所在和從潛無限到實(shí)無限的標(biāo)志。

二是，人類概念抽象的基本原理：

1、任何一個(gè)概念抽象都是建立在符號(hào)指稱和對(duì)象的聯(lián)結(jié)上的，是以指稱和對(duì)象的聯(lián)結(jié)為有限之態(tài)的。如“牛”這個(gè)概念抽象是建立在牛這個(gè)語詞符號(hào)指稱和被稱之為牛的對(duì)象的有限之態(tài)聯(lián)結(jié)上的，“汽車”這個(gè)概念抽象是建立在汽車這個(gè)語詞符號(hào)指稱和被稱之為汽車的對(duì)象的有限之態(tài)聯(lián)結(jié)上的，等等。

2、任何一個(gè)概念抽象，都在各自的有限之態(tài)的界限規(guī)定中統(tǒng)攝一切可以被它所統(tǒng)攝的對(duì)象，這種統(tǒng)攝是潛無限的。如“宇宙”這個(gè)概念抽象是可以潛無限地統(tǒng)攝一切現(xiàn)有的和未來的星空發(fā)現(xiàn)的，“基本粒子”這個(gè)概念抽象是可以潛無限地統(tǒng)攝一切現(xiàn)有的和未來的微觀世界發(fā)現(xiàn)的。這樣，在人類的概念意識(shí)方式中，一切概念的抽象和運(yùn)作都內(nèi)含著有限之態(tài)的無限構(gòu)造原理，內(nèi)含著潛無限和實(shí)無限對(duì)立統(tǒng)一的構(gòu)造原理。潛無限和實(shí)無限的長(zhǎng)期爭(zhēng)論和無以定論，在本質(zhì)上是由于不了解人類頭腦中的概念原理造成的，它因人們對(duì)概念原理的不明而產(chǎn)生亦將為人們對(duì)概念原理的明了而消解。

3、人類頭腦中的概念抽象運(yùn)作，有一種集合進(jìn)階的邏輯原理。如，從牛、馬、羊等等的集合進(jìn)階，上升到“動(dòng)物”這個(gè)更高的階乘；從動(dòng)物、植物、微生物的集合進(jìn)階，上升到更高的“生物”階乘；從生物和非生物的集合進(jìn)階，上升到“物質(zhì)”這個(gè)更高的階乘，從物質(zhì)、精神、非物質(zhì)和非精神的集合進(jìn)階，上升到“實(shí)在”或“存在”的更高階乘。這樣的概念集合進(jìn)階的抽象運(yùn)作，一方面，表明了集合是概念抽象運(yùn)作的內(nèi)在能動(dòng)的邏輯必然；另一方面，揭示了每一集合的全體所在是以它的邏輯進(jìn)階為標(biāo)識(shí)的，例如，“動(dòng)物”是一切被稱之為動(dòng)物的對(duì)象，以及它的所有子集（牛、馬、羊等子集）的全體所在的標(biāo)識(shí)。這個(gè)全體所在是用“動(dòng)物”這個(gè)語詞符號(hào)來標(biāo)識(shí)的，它和康托爾用符號(hào)ω 來標(biāo)識(shí)無限集的意義是一樣的。在概念方式原理上，“動(dòng)物”是一切被稱之為動(dòng)物的對(duì)象的全體所在的標(biāo)識(shí)，這樣的標(biāo)識(shí)的基礎(chǔ)就是任何一個(gè)概念抽象都是有限之態(tài)的無限，內(nèi)含著潛無限和實(shí)無限的統(tǒng)一。牛、馬、羊、動(dòng)物、生物、物質(zhì)、實(shí)在、存在等等的概念指稱，是它們各自對(duì)象集合的全體所在標(biāo)志，它們各自集合全體的標(biāo)志而不是各自集合中的一員。其根本原理是，任何一個(gè)集合進(jìn)階的全體所在的標(biāo)志，在概念方式上是與這個(gè)集合中對(duì)象處在不同的概念階乘上的。只有這樣，我們才能地從概念邏輯的原理上，破解和揚(yáng)棄羅素的集合邏輯悖論。此外，集合進(jìn)階的概念邏輯更告訴了我們，各種各樣的有限集和無限集不僅有范圍的大小之分，更有階乘的高低之分。集合進(jìn)階不僅綻現(xiàn)集合之集合和集合之子集的細(xì)分，更綻現(xiàn)了個(gè)別集合和特殊集合、一般集合，根本集合的不同區(qū)分和互為關(guān)系。

有了無限是有限之態(tài)之無限的概念原理。我們就可以透徹地明了任何一個(gè)無限集都是可以從它的自身立足的有限之態(tài)的界限規(guī)定中獲得它們各自的實(shí)無限的全體所在的映現(xiàn)的。這樣，我們就可以進(jìn)一步討論無限集與有限集對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系。

第三，無限集與有限集對(duì)應(yīng)的邏輯。

中國(guó)古代的《易經(jīng)》以陰陽二爻的六十四卦為有限集，以此對(duì)應(yīng)萬千世界的無限事態(tài)的發(fā)生和涌現(xiàn)，就是一種有限集與無限集對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)作。盡管這種邏輯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即世事的無限集和卦象的有限集的一一對(duì)應(yīng)在易經(jīng)中是可以遂意編造解釋，見風(fēng)使舵的，但亦反映了一種對(duì)應(yīng)的集合邏輯方式。

現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)，通過1和0的二進(jìn)制數(shù)碼轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)軟件和應(yīng)用軟件程序的各種有限集的運(yùn)作架構(gòu)和運(yùn)作規(guī)范，用來處理無限多樣的對(duì)象和創(chuàng)作。一切計(jì)算機(jī)程序在本質(zhì)意義上，就是各種各樣的有限集，如書寫的、圖形的、視頻的、聲音的、計(jì)算的、記憶的、智能的，以及層出不窮的各類作業(yè)模型的程序，在自身有限之態(tài)范圍內(nèi)所展開的無限對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)作，并由此集成之集成更為龐大的計(jì)算機(jī)技術(shù)的強(qiáng)大功能。

集合邏輯中的集合對(duì)應(yīng)，是邏輯學(xué)的一門非常有學(xué)問的功課，正在越來越成為人類概念抽象運(yùn)作和概念創(chuàng)造的重要邏輯工具。