初中數(shù)學一題多解題

例題一、兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求出這兩個數(shù)

方法一、

設較小的奇數(shù)為x,另外一個就是x+2

x(x+2)=323

解方程得：x1=17,x2=-19

所以，這兩個奇數(shù)分別是：

17、19，或者-17，-19

方法二、

設較大的奇數(shù)x,則較小的奇數(shù)為323/x

則有：x-323/x=2

解方程得：x1=19,x2=-17

同樣可以得出這兩個奇數(shù)分別是：

17、19，或者-17，-19

方法三、

設x為任意整數(shù)，則這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為：

2x-1,2x+1

(2x-1)(2x+1)=323

即4x^2-1=323

x^2=81

x1=9,x2=-9

2x1-1=17,2x1+1=19

2x2-1=-19,2x2+1=-17

所以，這兩個奇數(shù)分別是：

17、19，或者-17，-19

方法四、

設兩個連續(xù)奇數(shù)為x-1,x+1

則有x^2-1=323

x^2=324=4*81

x1=18,x2=-18

x1-1=17,x1+1=19

x2-1=-19,x2+1=-17

所以，這兩個奇數(shù)分別是：

17、19，或者-17，-19

例題二、某人買13個雞蛋、5個鴨蛋、9個鵪鶉蛋，共用去9.25元；如果買2個雞蛋，4個鴨蛋，3個鵪鶉蛋，則共用去3.20元，試問只買雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各一個，共需多少錢？

    解：設雞、鴨、鵪鶉三種蛋的單價分別為x、y、z元，則根據(jù)題意，得

   

    分析：此方程組是三元一次方程組，由于只有兩個三元一次方程，因而要分別求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是的代數(shù)和，因此，我們可通過變形變換得到多種解法。

  1. 湊整法

    解1：，得

    ，得

   

    答：只買雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各一個，共需1.05元（下面解法后的答均省略）

    解2：原方程組可變形為

   

    解之得：

 

  2. 主元法

    解3：視x、y為主元，視z為常數(shù)，解<1>、<2>

    得，

   

    解4：視y、z為主元，視x為常數(shù)，解<1>、<2>

    得

   

    解5：視z、x為主元，視y為常數(shù)，解<1>、<2>

    得

   

 

  3. “消元”法

    解6：令，則原方程組可化為

   

   

    解7：令，則原方程組可化為

   

   

    解8：令，則原方程組可化為

   

   

 

  4. 參數(shù)法

    解9：設，則

   

    ，得

    ，得

    由<4>、<5>得

   

    即

 

  5. 待定系數(shù)法

    解10. 設

   

    則比較兩邊對應項系數(shù)，得

   

    將其代入<1>中，得

   

 

    附練習題

  1. 有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.5噸；5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸。求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？（答案：24.5噸）

  2. 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。問若購甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）

 

平面幾何

在完成一個數(shù)學題的解答時，有必要對該題的內容、形式、條件、結論，做進一步的探討，以真正掌握該題所反映的問題的實質。如果能對一個普通的數(shù)學題進行一題多變，從變中總結解題方法；從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，必將使人受益匪淺。
“一題多變”的常用方法有：1、變換命題的條件與結論；2、保留條件，深化結論；
3、減弱條件，加強結論；4、探討命題的推廣；5、考查命題的特例；
6、生根伸枝，圖形變換；7、接力賽，一變再變；8、解法的多變等。

19、（增加題1的條件）AE平分∠BAC交BC于E，
求證：CE：EB=CD：CB

20、（增加題1的條件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F

求證：（1）BF·CE= BE·DF

       （2）AE⊥CF

       （3）設AE與CD交于Q，則FQ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，以CD為直徑的圓交AC、BC于E、F，
求證： CE：BC=CF：AC（注意本題和16題有無聯(lián)系）

22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，以AD為直徑的圓交AC于E，以BD為直徑的圓交BC于F，

求證： EF是⊙O1和⊙O2的一條外公切線

23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以CD為弦的圓O2，
求證：點A到圓O2的切線長和AC相等（AT=AC）

24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
E為ACD的中點，連ED并延長交CB的延長線于F，

求證：DF：CF=BC：AC

25、如圖，⊙O1與⊙O2外切與點D，  內公切線DO交外公切線EF于點O，
求證：OD是兩圓半徑的比例中項。

 

題14解答：
因為CD^2=AD·DB
    AC^2=AD·AB
    BC^2=BD·AB
所以1/AC^2+1/BC^2
=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）
=（AD+DB）/（AD·BD·AB）
=AB/AD·BD·AB
=1/AD·BD
=1/CD^2

15題解答：
因為M為AB的中點，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM
AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
                  =(AD-DB)AB
                 =2DM*AB

 

26、（在19題基礎上增加一條平行線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于點G，
求證：CE=BG

27、（在19題基礎上增加一條平行線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于點G，連結EG，
求證：四邊形CEGF是菱形

28、（對19題增加一個結論）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，
求證：CE=CF

29、（在23題中去掉一個圓）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，
求證：過點D的圓O1的切線平分BC

30、（在19題中增加一個圓）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，
求證：⊙CED平分線段AF

31、（在題1中增加一個條件）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，∠A=30度，
求證：BD=AB/4
（滬科版八年級數(shù)學第117頁第3題）

32、（在18題基礎上增加一條直線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作∠BCE=∠BCD
P為AC上任意一點，直線PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N
求證：PQ/PN=QM/MN

 

32題證明：
作NS‖CD交直線AC與點S，
則PQ/PN=CQ/SN
又∠BCE=∠BCD
∴QM/MN=CQ/CN（三角形內角平分線性質定理）
∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACD
NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD
∴∠NSC=∠NCS
∴SN=CN
∴PQ/PN=QM/MN

題33
在“題一中”，延長CB到E，使EB=CB，連結AE、DE，
求證：DE·AB= AE·BE

 

題33證明
CB^2= BD·AB
因EB=CB
∴EB^2= BD·AB
∴EB：BD=AB：BE
又∠EBD=∠ABE
∴△EBD∽△ABE
∴EB：AB=DE：AE
∴DE·AB= AE·BE

 

題34
（在19題基礎上增加一條垂線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于點G，
求證：EG^2= BE·EC

證明：延長AC、GE，設交點為H，
∴△EBG∽△EHC
∴EB：EH=EG：EC
∴EH·EG= BE·EC
又HG‖CD，CF=FD
∴EH=EG
∴EG^2= BE·EC

題35（在題19中增加點F）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
AE平分∠BCA交BC于點E，交CD于F，
求證：2CF·FD = AF·EF

題36、（在題16中，減弱條件，刪除∠ACB=90度這個條件）
已知，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
求證：CE/BC=CF/AC

題37
（在題17中，刪除∠ACB=90度和CD⊥AB，D為垂足這兩個條件，增加D是AB上一點，滿足∠ACD=∠ABC）
已知，△ABC中，D是AB上一點，滿足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD
求證：AE^2= AD·AB

題38
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，PC為⊙ABC的切線
求證：PA/AD=PB/BD

題39
（在題19中點E“該為E為BC上任意一點”）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
E為BC上任意一點，連結AE，CF⊥AE，F為垂足，連結DF，
求證：△ADF∽△AEB

題40：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足
求證：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB

題41
已知，如圖，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，且AD/CD=CD/BD，
       求∠ACB的度數(shù)。

題42
   已知，CD是△ABC的AB邊上的高， D為垂足，且AD/CD=CD/BD，
       則∠ACB一定是90度嗎？為什么？

題43：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，△ADC的內切圓⊙O1，
△BDC的內切圓⊙O2，
求證：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB

題44：
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，△ADC的內切圓⊙O1的半徑R1，△BDC的內切圓⊙O2的半徑R2，△ABC的內切圓⊙O的半徑R，求證：R1+R2+R=CD

題45、
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以BD為直徑的圓O2，設O1和O2在△ABC內交于P
求證： △PAD的面積和△PBC的面積相等

 

題45解：
∠CAP=∠CDP=∠DBP（圓周角、弦切角）
∴Rt△APC∽Rt△BPD
∴AP·PD= BP·PC
又∠APD和∠CPB互補（∠APC+∠BPD=180度）
S △PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD
S △PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB
∴S △PAD= S △PBD

 

題46（在題38的基礎上變一下）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，PC為⊙ABC的切線，又CE平分∠ACB交⊙ABC與E，交AB與D ，      若PA=5，PC=10，
求   CD·CE的值

題47
在題46中，求sin∠PCA

題48（由題19而變）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于點G，
求證：（1）AC=AG
（2）、AG^2= AD·AB
（3）、G在∠DCB的平分線上
（4）、FG‖BC
（5）、四邊形CEFG是菱形

題49

題49解答：

題目50（題33再變）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長CB到E，使EB=CB，連結AE交CD的延長線于F，如果此時AC=EC，
求證： AF= 2FE

題50解：
過點E作EM⊥CF，M為垂足，則AD：DB=AC^2：CB^2=4：1
又DB：EM=1：2
所以，AD：EM=2：1
△ADF∽△EMF
∴AF：EF=AD：EM=2：1
∴AF=2EF

題目51（題50中連一線）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長CB到E，使EB=CB，連結AE交CD的延長線于F，連結FB，如果此時AC=EC，
求證： ∠ABC=∠EBF

（題51的幾種解法）
解法1、
作∠ACB的平分線交AB于點G，易證△ACG≌△CEF
∴CG=EF
∴證△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF

題51解法2
作∠ACB的平分線交AB于點G，交AE于點P，
則點G 為△ACE的垂心，∴GF‖CE
又∠AEC=∠GCE，
∴四邊形CGFE為等腰梯形
∴CG=EF
∴再證△CBG≌△EBF
∴∠ABC=∠EBF

題51解法3
作∠ACB的平分線交AB于點G，交AE于點P，
則點G 為△ACE的垂心，
易證△APG≌△CPF（AAS）
∴PG=PF
又∠GPB=∠FPB，
PB=PB
∴△PBG≌△FBP（SAS）
∴∠PBG=∠FBP
∴∠ABC=∠EBF

題51解法4（原題圖）
由題50得，AF=2EF
∴AF：EF=AC：BE=2
又∠CAF=∠BEF=45度
∴△ACF∽△EBF
∴∠ACF=∠EBF
又∠ACF=∠CBA
∴∠ABC=∠EBF

 

題51解法5
作ME⊥CE交CD的延長線于M，
證△ABC≌△CME（ASA）
∴∠ABC=∠M
再證△MEF≌△BEF（SAS）
∴∠EBM=∠M
∴∠ABC=∠EBF

題51解法6
作點B關于點C的對稱點N，連結AN，
則NB=2BE，又由題50，AF=2EF，
∴BF‖AN
∴∠EBM=∠N
又∠ABC=∠N（對稱點）
∴∠ABC=∠EBF

題51解法7
過點C作CH‖BF交AB于M，
∵B為CE的中點，
∴ F為HE的中點
又由題50，AF=2EF，
∴H為AF的中點
又CH‖BF
∴M為AB的中點
∴∠MCB=∠MBC
又∠EBM=∠MCB
∴∠ABC=∠EBF

題目52（題50、51結論的引伸）
已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，
CD⊥AB交斜邊AB于F，D為垂足，
B為CE的中點，連結FB，
求證：
（1）、AF=2EF
（2）、∠ABC=∠EBF
（3）、∠EBF= ∠E+∠BAE
（4）、∠ABF=2∠DAC
（5）、AB：BF=AE：EF
（6）、CD：DF=AE：AF
（7）、AD：DB=2AF：EF
（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1

題目53 （題52的一部分）   
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF

（題53的14個逆命題中，是真命題的請給出證明）
題目54（題53的逆命題1）
已知如圖，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF
平面幾何一題多變

題目55（題53的逆命題2）
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF

題目56（題53的逆命題3）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
求證：
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF

題目57（題53的逆命題4）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求證：
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF

題目58（題53的逆命題5）
已知如圖，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB
求證：
⑤、AF=2EF
①、AC=CE

題目59（題53的逆命題6）
已知如圖，
①、AC=CE
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE

題目60（題53的逆命題7）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
④、CF⊥AB
求證：
⑤、AF=2EF
③、CB=BE

題目61（題53的逆命題8）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB

題目62（題53的逆命題9）
已知如圖，
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
①、AC=CE
②、AC⊥CE

題目63（題53的逆命題10）
已知如圖，
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
①、AC=CE
③、CB=BE

題目64（題53的逆命題11）
已知如圖，
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
求證：
①、AC=CE
④、CF⊥AB

題目65（題53的逆命題12）
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
④、CF⊥AB
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
②、AC⊥CE
③、CB=BE

題目66（題53的逆命題13）
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
②、AC⊥CE
④、CF⊥AB

題目67（題53的逆命題14）
已知如圖，
①、AC=CE
②、AC⊥CE
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF

求證：
③、CB=BE
④、CF⊥AB

題目68
已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，
求S△BCD=？

（題68解答）
解：
設S△BCD=x,則S△ACM/ S△CMB=30/（6+ x）=AM/MB
S△ACD/ S△CDB=36/ x=AD/DB
又AC^2= AD·AB
BC^2= BD·AB
∴AC^2/ BC^2=AD/BD
∵CM平分∠ACB
∴（AM/ BM）^2=AD/BD
∴[30/(6+x)]^2=36/x
解方程得x=4或x=9
∴S△BCD=4或S△BCD=9

題目69
已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，D 為斜邊AB上一點，滿足AC^2= AD·AB
求證：CD⊥AB

題目70
已知如圖，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，
CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，
求證：1/AC-1/BC=√2

題70證明：
過點M作MD⊥BC，D為垂足，作MD⊥AC，E為垂足，
設ME=x,AC=b,BC=a,則CM=√2 x，AE=b-x,
由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,
∴x=ab/(a+b)
又CM+CB=AC
∴√2 x+a=b,
∴ab/(a+b)=(b-a)/ √2
整理得：b^2-a^2=√2ab
兩邊都除以ab,
∴1/AC-1/BC=√2

題目71(依題68變)
已知如圖，△ABC中（AC>BC），∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的兩個根，
求AD、MD的長。

題目71解：
顯然，方程x^2-14x+48=0的兩根為6和8，
又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC^2= AD·AB
∴AD=6.4
∵CM平分∠ACB
∴AM/MB=AC/CB
解得，AM=40/7
∴MD=AD-AM=24/35

題目72
已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，現(xiàn)在將它折成如右圖的形狀，這時頂點A正好落在BC上，而且△A'MN是正三角形，
求△A'MN與△ABC的面積之比。

題72解：
∵∠ACB=90度，AB=2AC
∴∠B=30度
由題意，四邊形AMA'N是菱形，
∴△A'BM∽△ABC
∴A'M/AC=BM/AB
設AM=x, AB=2AC=2a
∴x/a=(2a-x)/2a
∴x=2a/3
由三角形面積公式，得
S△A'MN：S△ABC=2：9

 

題目73
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足
求證：AB+CD>AC+BC

 

題73的證明：
由三角形面積公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC
又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2
∴AB^2+2AB·CD =AC^2+BC^2+2AC·BC(等式性質)
∴AB^2+2AB·CD =（AC+BC）^2
∴AB^2+2AB·CD+CD^2 >（AC+BC）^2
∴(AB+CD)^2 >（AC+BC）^2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC

 

題目74
已知，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D為垂足
求證：AB+CD>AC+BC

題74證明：如圖，作CB’⊥AC交AB于B’,
于是有
AB’·CD=AC·B’C
2AB’·CD=2AC·B’C
又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2
∴AB’^2+2AB’·CD =AC^2+B’C^2+2AC·B’C(等式性質)
∴AB’^2+2AB’·CD =（AC+B’C）^2
∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2 >（AC+B’C）^2
∴(AB’+CD)^2 >（AC+B’C）^2
又AB’、CD、AC、B’C均大于零
∴AB’+CD>AC+B’C……①
在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②
①+②得AB’ BB’+CD>AC+B’C CB-CB’
∴AB+CD>AC+BC

題目75
已知如圖，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，
CT平分∠ACB，CM為AB邊上的中線，
且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB
求證：∠ACB=90度

題目75的證明：
延長CT交三角形ABC的外接圓于N，連結MN，
則N為弧AB的中點，所以MN⊥AB，
又CD⊥AB，
∴MN‖CD
∴∠DCT=∠TNM
又∠DCT=∠TCM
∴∠TCM=∠TNM
∴CM=NM
∴CN的垂直平分線必過點M，
又CM為AB邊上的中線，MN⊥AB
∴AB的垂直平分線必過點M，
即M為兩條弦的垂直平分線的交點，
∴M為三角形ABC的外接圓的圓心，
因此AB為△ABC的外接圓的直徑。
∴∠ACB=90度

題目76
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，
∠ACB 的平分線CG交AB邊上的中垂線于點G ，
求證：MC=MG

題目77
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CM為AB邊上的中線，CD是∠ACB 的平分線，AC=75cm, BD=80cm,
求CD、CM、CE的長

題目78
  已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，
且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，
求證：AM=CM

題目79（題78再變）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，連結BE
求證：BG^2= AB·BE- AG·GE

題目80
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且直線DC于直線BE交于P，
求證：CD^2= DM·DP

題目81
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，且直線DC于直線BE交于P，如果CD平分AE，
求證： 2DM·DP= BE·EP

題目82
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為⊙ABC上一點，
且弧AC=弧CE，又直線AC與直線BE交于H，
求證： AB=BH

題目83(由題44變)

求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內切圓直徑的和。

 

題目84
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，MN切⊙ABC與C點
求證： BC平分∠DCN

題目85
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，MN切⊙ABC與C點，
AF⊥MN，F為垂足，AE⊥MN，E為垂足，
求證：CD=CE=CF

題目86
已知，△ABC中，∠ACB=90度， 以BC為直徑的圓交AB于點D，以AC為半徑的圓交AB于點E，
求證：∠BCE=∠DCE

題目87（由題38圖而變）
求證：和兩定點距離之比等于定比（不為1）的點的軌跡是一個圓周。
（提示：從（1）完備性、（2）純粹性 兩方面來證明。）

題目88
作圖題：
已知兩線段之和及積，求作這兩條線段。
已知：兩線段m和n
求作：兩線段x及y,使x+y=m，xy=n^2

補個圖（題88作法參考）
AD、BD即為求作線段x、y

題目89（由題88變）
已知梯形ABCD如圖，求作一直線平行于梯形的底邊，且平分面積。

題目90
利用下圖，證明：兩個正數(shù)之和為定值，則這兩個數(shù)相等時乘積最大。

題目89作法：
如圖，作兩腰的延長線交于點O，作PB⊥AB使PB=OA，連結OP，
以OP為直徑作半圓M，由圓心M作MN⊥OP，交半圓于點N，再以O為圓心ON為半徑畫弧交AB于點E，作EF‖BC交CD于F，則EF即為所求線段。

題91(題73變)
設a、b、c、d都是正數(shù)，滿足a/b=c/d,且a最大，
求證：a+d>b+c

 

題92（人教版數(shù)學八年級下114頁）
  在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，∠ACD=3∠BCD，E是斜邊AB的中點，
∠ECB是多少度？

題93（題49變）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是銳角，
求∠A/2+∠B的值。

 

題目93解：（構造法）
分別以17、13為邊作△ABC，使AC=17，BC=13，CD為AB邊上的高，
在Rt△ADC中，AD=17 cosA，在Rt△BDC中，BD=13 cosB，
CD=17sinA=13sinB
而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，
∴AC=AB, ∠B=∠ACB,
∴∠A+2∠B=180度
∴∠A/2+∠B=90度。

題94
已知如圖，△ABC的∠C的平分線交AB于D，交△ABC的外接圓于E，
若CD·CE等于△ABC面積的2倍
求證：∠ACB=90度

題目95
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CM平分∠ACB 交AB于M，若AC>BC
求證：∠DCM=1/2·（∠B-∠A）

題目96
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CE為AB邊上的中線，且DE=DC，
求△ABC中較小的銳角的度數(shù)。

題目97
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CE平分∠ACB 交AB于E，且EC+BC=AC，
求AC/BC

題97解：
設BC=a,AC=b,過點E作EH‖BC交AC于點H，作EF‖BC交BC于點F，
則四邊形CHEF為正方形，設EH=x.則CE=√2x,
由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b)
由題意得，a+√2x=b
∴x=(b-a)/ √2a,
∴(ab)/(a+b)= (b-a)/ √2a,
得b^2-√2ab-a^2=0
b/a=(√2+√6)/2
即AC/BC=(√2+√6)/2

題目98
已知，△ABC中，∠ACB=90度，兩直角邊的差為2√2，
CD⊥AB，D為垂足，BD-AD=2√3，
求△ABC中的三邊長。

 

題目99
圓內接三角形ABC中，直徑AB=4，AB邊上的高CD=2√3，
求∠A的度數(shù)。

題目100
已知，△ABC中， CD⊥AB，D為垂足，∠B=2∠A
求證：CB=AD-BD

題目101
已知，AB是⊙的直徑，AB=4， D是OB的中點，過點D的弦CE⊥AB，
求弦CE的長。

（題54的解答）
已知如圖，
⑤、AF=2EF
②、AC⊥CE
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
①、AC=CE
⑥、∠ABC=∠EBF

證明：
過點E作EM⊥CF如圖，由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2
又BD為△CEM的中位線，則BD：EM=1：2
∴AD：DB=4：1=AC^2:CB^2
∴AC：CB=2：1
又CB=BE
∴AC=CE  (再由51的解答即有∠ABC=∠EBF成立)

題55的解答
已知如圖，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CF⊥AB
求證：
②、AC⊥CE
⑥、∠ABC=∠EBF
證明：過點E作EM⊥CF，如圖
由△ADF∽△EMF得AD：EM=AF：FM=2
又BD為△CEM的中位線，則BD：EM=1：2
∴AD：DB=4：1
不妨設DB=x，CD=y,則AD=4x，
由勾股定理得AC=√[（4x）^2+y^2],BC=√（x^2+y^2）
又AC=2BC，得y^2=4x^2
即CD^2=AD·DB
CD：AD=DB：CD，∠ADC=∠CDB=90度
∴ Rt△ADC∽Rt△CDB
∴∠ACD=∠CBD
又∴∠BCD+∠CBD=90度
∴∠BCD+∠ACD=90度，
即∠ACB=90度(再證∠ABC=∠EBF成立)

題目102
初中三年級中考復習平面幾何證明題一題多解

如圖：已知青AB=AC，E是AC延長線上一點，且有BF=CE，連接FE交BC于D。求證：FD=DE。

分析：本題有好多種證明方法，由于新課標主要用對稱、旋轉方法證明，但平行四邊形的性質、平行線性質等都是證題的好方法，我在這里向初中三年級同學面對中考需對平面幾何證明題的證明方法有一個系統(tǒng)的復習和提高。下邊我將自己證明這道題的方法給各位愛好者作以介紹，希望各位有所收獲，仔細體會每中方法的異同和要點，從中能得到提高。我是一位數(shù)學業(yè)余愛好者，不是學生，也不是老師，如有錯誤，請批評指證。信箱：

 

證法一        ∧≌∠⊥∥△□°

 

證明：過E點作EM ∥AB交DC延長線于M點，則∠M=∠B，又因為∠ACB=∠B

∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，  又EC=BF   從而EM=BF，∠BFD=∠DEM

則△DBF≌△DME，故  FD=DE；

證法二  

證明：過F點作FM∥AE，交BD于點M，

則∠1=∠2 = ∠B   所以BF=FM，

又  ∠4=∠3  ∠5=∠E

所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。

 

 

 

 

 

 

證法三

 

以BC為對稱軸作△BDF的對稱△BDN，連接NE，則△DBF≌△DBN，DF=DN，BN=BF，NF⊥BD，∠FBD=∠NBD，又因為∠C=∠FBD

所以∠NBD=∠C。  BN∥CE，CE=BF=BN，所以四邊形BNCE為平行四邊形。故NF∥BC，

所以NF⊥NE，因FN衩BD垂直平分，故D是FE的中點，所以FD=DE。（也可證明D是直角△NEF斜邊的中點）。

證法四：

證明：在CA上取CG=CE，則CG=BF，

AF=AG，所以FG∥DC，又因為∠1=∠2，所以FBCG為等腰梯形，所以

FG∥DC，故DC是△EGF的中位線。所以

FD=DE。

 

證法五

證明：把△EDC繞C點旋轉180°，

得△GMC，則△EDC≌△GMC

CE=GC=BF

連接FG，由于GC=BF，從而AF=AG，∠1=∠AFG

FG∥BC，所以FBMG為等腰梯形，所以

FG∥DC，故DC是△EGF的中位線。所以

FD=DE。

證法六

證明：以BC為對稱軸作△DCE的對稱△DCN，則和△DCE≌△DCN；CN=CE=BF

∠2=∠3；又∠1=∠3，∠B=∠1所以

∠2=∠B，BF∥CN，所以四邊形BCNF為平行四邊形，DC ∥FG，∠1=∠4，所以

∠2=∠4=∠CNG，所以 CG=CN=CE；

故DC是DC是△EGF的中位線。所以

FD=DE。

證法七

證明：延長AB至G，使BG=CE，又因AB=AC， BF=CE則AG=AE

  所以BC∥GE，則BD是△FGE的中位線。所以FD=DE。