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特殊的剩余定理： 核心基礎(chǔ)公式：被除數(shù)=除數(shù)*商+余數(shù) 同余問題核心口訣：“余同取余。和同加和，差同減差，公倍數(shù)作周期” ① 余同：例：“一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因為余數(shù)都是1，則取1，公倍數(shù)作周期，則表示為：60N+1 ② 和同：例：“一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因為4+3=5+2=6+1=7，則取7，公倍數(shù)做周期：則表示為60N+7 ③ 差同：例：“一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3”， 因為4-1=5-2=6-3=3，則取3，公倍數(shù)做周期：則表示為60N-3 例題1： 有一個數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個數(shù)除以12余數(shù)是幾？ A、4 B、5 C、6 D、7 （當(dāng)然可以用特殊值法） 因為3+2=4+1=5 所以取12+5=17 17/12=1 余5 剩余定理的一般情況： 一個數(shù)，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求滿足這些條件的所有三位數(shù)。 卡卡西解析： -------------------------------- 一個數(shù)除以7余3，可以把這個數(shù)字表示為7a+3，同理有5b+2 8d+6 7a+3=5b+2 7a+1=5b a=2 b=3 最小公倍數(shù)35 35c+17=8d+6 32c+8+3c+3=8d（因為32C+8 肯定是8的倍數(shù)，所以不予再考慮） 3c+3=8d C=7 35*7+17=262 262+280N 一個整數(shù)除300、262、205，得到相同的余數(shù)，問這個整數(shù)是幾？ 分析：根據(jù)同余的性質(zhì)：此三數(shù)種任何兩數(shù)的差都應(yīng)是除數(shù)的倍數(shù)，即除數(shù)應(yīng)是此三數(shù)中任兩數(shù)的差的公約數(shù)。 ---------------------------------- 解：300-262=38 262-205=57 （28，57）=19 12 ＋22 ＋ 32 ＋……＋20012＋20022除以7的余數(shù)是_____。 ----------------------- 方法一： 根據(jù)公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 方法二： ÷7＝0…1， ÷7＝0…4， ÷7＝1…2， ÷7＝2…2， ÷7＝3…4， ÷7＝5…1， ÷7＝7（余數(shù)為0）， ， ÷7與 ÷7余數(shù)相同，同樣地， ÷7與 ÷7余數(shù)相同，…….所以，每7個連續(xù)自然數(shù)的平方之和除以7的余數(shù)為1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余數(shù)，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余數(shù)為0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余數(shù)為0 今天星期一，1998的1986次方天后星期幾？ ---------------------------------- 1998的1986次=（265*7+3）1986次 =3的1986次 3^0 整除7的余數(shù)是 1 3^1 整除7的余數(shù)是 3 3^2 整除7的余數(shù)是 2 3^3 整除7的余數(shù)是 6 3^4 整除7的余數(shù)是 4 3^5 整除7的余數(shù)是 5 3^6 整除7的余數(shù)是 1 由此可見，6次一循環(huán) 所以：3的1986（1986/6=331，余數(shù)為0）次除7的余數(shù)為 3^0/7=1 1+1=2 |
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