數(shù)學(xué)有時(shí)候會(huì)變得特別復(fù)雜，然而幸好不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都晦澀難懂。這篇文章將會(huì)向大家介紹數(shù)學(xué)領(lǐng)域中五個(gè)有趣的問(wèn)題，問(wèn)題本身簡(jiǎn)單易懂，但迄今仍未被數(shù)學(xué)家們解決。

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1. Collatz猜想

圖片來(lái)源：Jon McLoone

Collatz猜想是一個(gè)簡(jiǎn)單有趣而又沒(méi)有解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題?？死潌?wèn)題（Collatz problem）也被叫做hailstone問(wèn)題、3n+1問(wèn)題、Hasse算法問(wèn)題、Kakutani算法問(wèn)題、Thwaites猜想或者Ulam問(wèn)題。是指：隨意選一個(gè)整數(shù)，如果它是偶數(shù)，那么將它除以2；如果它是奇數(shù)，那么將它乘以3再加1。對(duì)于得到的新的數(shù)，重復(fù)操作上面的運(yùn)算過(guò)程。如果你一直操作下去，你每次都終將得到1。

德國(guó)數(shù)學(xué)家Collatz于1937年首次提出這個(gè)問(wèn)題，題意清晰、明了、簡(jiǎn)單，連小學(xué)生都能看懂，得到許多大數(shù)學(xué)家的關(guān)注。日本角谷靜夫談到該猜想的歷史時(shí)講：“一個(gè)月里，耶魯大學(xué)的所有人都著力于解決這個(gè)問(wèn)題，毫無(wú)結(jié)果。同樣的事情好象也在芝加哥大學(xué)發(fā)生了。有人猜想，這個(gè)問(wèn)題是蘇聯(lián)克格勃的陰謀，目的是要阻礙美國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展?！敝麑W(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一問(wèn)題的時(shí)，竟然冠以'不要試圖去解決這些問(wèn)題'為標(biāo)題。匈牙利著名的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）曾評(píng)論說(shuō)，“數(shù)學(xué)還沒(méi)有為這類問(wèn)題做好準(zhǔn)備”，認(rèn)為這個(gè)猜想在現(xiàn)階段難以解決。

 鄔家邦先生的《3N+1猜想》（湖南大學(xué)出版社，2001年）是國(guó)內(nèi)較全面介紹、論述該問(wèn)題的著作。該書(shū)說(shuō)，“3N+1猜想之所以難以攻克，原因就在于對(duì)一般的n∈N,n的迭代軌跡序列這的元素排列雜亂無(wú)章，無(wú)規(guī)律可循”。

 也有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這種形式如此簡(jiǎn)單，解決起來(lái)卻又如此困難的問(wèn)題，實(shí)在是可遇而不可求。該猜想任何程度的解決都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，將開(kāi)辟全新的領(lǐng)域。目前也有部分?jǐn)?shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者，在進(jìn)行關(guān)于“負(fù)數(shù)的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。

 許多學(xué)者對(duì)大量的自然數(shù)做了檢驗(yàn)，均未發(fā)現(xiàn)反例。荷蘭學(xué)者Eric Roosendaal在他的網(wǎng)站 (《 On the 3x + 1 problem》http://www./wondrous/index.html) 上，介紹了世界上研究該問(wèn)題的主要成果，并組織了世界范圍的分布式計(jì)算，不斷公布計(jì)算結(jié)果，2^60以內(nèi)的數(shù)字均通過(guò)了驗(yàn)證。

 關(guān)于 3x+1 問(wèn)題以及相關(guān)問(wèn)題的會(huì)議 1999 年 8 月在德國(guó)的 Eichst?tt 大學(xué)舉行。會(huì)議參與者有:K. M. Monks(美國(guó)), Ken G. Monks (美國(guó)), Paul Andaloro (美國(guó)), Günther Wirsching (德國(guó)), Manfred Kudlek (德國(guó)) Ranan Banerji (美國(guó)), Jeffrey Lagarias (美國(guó)), Dierk Schleicher (德國(guó)),Marc Chamberland (美國(guó)), Jean-Louis Rouet (法國(guó)), Eric Roosendaal (荷蘭), U. Fitze(瑞士),Marc Feix (法國(guó)),Edward Belaga (法國(guó))等。

 2011年5月，德國(guó)Gerhard Opfer在《Mathematics of Computation》上發(fā)表了一篇論文(預(yù)印本PDF)，宣稱證明了考拉茲猜想。一個(gè)月后，該作者承認(rèn)證明是不完整的， “Collatz猜想是正確的” 的聲明被撤回。（Thus,the statement “that the Collatz conjecture is true” has to be withdrawn, at least temporarily.）

來(lái)源：平常心

數(shù)學(xué)家們?cè)囼?yàn)了數(shù)百萬(wàn)個(gè)數(shù)，至今還沒(méi)發(fā)現(xiàn)哪怕一個(gè)不收斂到1的例子。然而問(wèn)題在于，數(shù)學(xué)家們也沒(méi)辦法證明一定不存在一個(gè)特殊的數(shù)，在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個(gè)特別巨大的數(shù)，在這一套操作下趨向于無(wú)窮，或者趨向于一個(gè)除了1以外的循環(huán)的數(shù)。但沒(méi)有人能證明這些特例的存在。

2. 移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題

圖片來(lái)源：Claudio Rocchini

你要搬新家了，想把你的沙發(fā)搬過(guò)去。問(wèn)題是，走廊有個(gè)轉(zhuǎn)角，你不得不在角落位置上給沙發(fā)轉(zhuǎn)方向。如果這個(gè)沙發(fā)很小，那沒(méi)什么問(wèn)題。如果是個(gè)挺大的沙發(fā)，估計(jì)得卡在角落上。如果你是個(gè)數(shù)學(xué)家，你會(huì)問(wèn)自己：能夠在角落上轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的最大的沙發(fā)有多大呢？這個(gè)沙發(fā)不一定得是矩形，可以說(shuō)任何形狀。

這便是“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的核心，具體來(lái)說(shuō)就是：二維空間，走廊寬為1，轉(zhuǎn)角90°，求能轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角的最大二維面積是多少？

能轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角的最大二維面積被稱為“沙發(fā)常數(shù)”（the sofa constant）——這是真的，我不是騙你讀書(shū)少。沒(méi)人知道它到底有多大，但我們知道有一些相當(dāng)大的沙發(fā)可以轉(zhuǎn)得過(guò)去，所以我們知道沙發(fā)常數(shù)一定比它們大；也有一些沙發(fā)無(wú)論如何都轉(zhuǎn)不過(guò)去，因此沙發(fā)常數(shù)一定比這些轉(zhuǎn)不過(guò)去的面積小。迄今位置，我們知道沙發(fā)常數(shù)落在2.2195到2.8284之間。

3. 完美立方體問(wèn)題

圖片來(lái)源：Gfis

還記得勾股定理，A2 + B2 = C2 嗎？A、B、C三個(gè)字母表示直角三角形的三邊長(zhǎng)。畢達(dá)哥拉斯三角形指的是三邊長(zhǎng)都是整數(shù)的直角三角形，即滿足A2 + B2 = C2且A、B、C都是整數(shù)。現(xiàn)在我們將這個(gè)概念擴(kuò)展到三維，在三維空間，我們需要四個(gè)數(shù)A、B、C和G。前三個(gè)數(shù)是立方體的三維邊長(zhǎng)，G是立方體的空間對(duì)角線長(zhǎng)度。

正如有些三角形的三邊都是整數(shù)一樣，存在一些立方體的三邊和體對(duì)角線（A、B、C和G）都是整數(shù)，但對(duì)于立方體來(lái)說(shuō)還有三個(gè)面對(duì)角線（D、E和F），這就帶來(lái)一個(gè)有趣的問(wèn)題：有沒(méi)有立方體滿足這個(gè)7個(gè)邊長(zhǎng)都是整數(shù)的條件呢？