直線與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課

江蘇高郵第一中學(xué)　潘梅耘

[教學(xué)目標(biāo)]

知識(shí)目標(biāo):了解代數(shù)法和幾何法解決直線與圓位置關(guān)系的差異，明確幾何法在直線與圓的位置關(guān)系的判定中的地位，并能應(yīng)用幾何法解決問(wèn)題。

能力目標(biāo):讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想，注重培養(yǎng)學(xué)生的分析、計(jì)算、總結(jié)歸納等能力。

情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生合作交流,善于思考的良好品質(zhì),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

[重點(diǎn)難點(diǎn)]

重點(diǎn): 幾何法在直線與圓的位置關(guān)系的判定中的應(yīng)用。

難點(diǎn): 通過(guò)對(duì)圓上的點(diǎn)到直線的距離變化的分析詮釋數(shù)形結(jié)合的魅力。

[教學(xué)方法] 啟發(fā)式、自主探究相結(jié)合。

[教具資料]三角板、圓規(guī)、多媒體課件

問(wèn)題情境:

在一個(gè)特定的時(shí)間內(nèi),以O為中心的5米范圍內(nèi)(不包括邊界)被設(shè)為危險(xiǎn)區(qū)域,某人在O點(diǎn)的南偏西(其中)的方向上,且距O點(diǎn)13米的A地,若他向東北方向直行,會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域嗎?（8分鐘）

一分鐘后,提問(wèn)學(xué)生:你談?wù)勊悸?/span>?(生說(shuō)時(shí)教師寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo),圓方程,直線方程)

追問(wèn)：你能用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言刻化一下,如何判定此人是否會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域?

問(wèn)題數(shù)學(xué)化：

直線與圓C: 的位置關(guān)系為________。

直線上是否存在點(diǎn)P在圓C: 內(nèi)?

（即OP〈5有解？也就是OP_min〈5?其本質(zhì)就是OP_min=d）

兩種思路都可以解釋為 d 與 r 的大小比較問(wèn)題

兩類(lèi)方法：幾何法（利用平幾直接求解或用d與r 的關(guān)系）、代數(shù)法（判別式法、定義法）

引出課題:直線與圓的位置關(guān)系(1)

提問(wèn)學(xué)生：回顧直線與圓的位置關(guān)系的定義、判定方法

你能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q下面問(wèn)題嗎？

問(wèn)題一:（8分鐘）

已知圓C:(x-1)²+(y+1)²=1,直線l 過(guò)點(diǎn)P(-2,-2)， 求l 與圓C有公共點(diǎn)時(shí)斜率k的范圍

提問(wèn)學(xué)生：如何求斜率k的范圍？

答：寫(xiě)出圓心和半徑、設(shè)出直線方程、利用點(diǎn)與直線的距離公式將d用k表示、利用d與r關(guān)系列出關(guān)于k的不等式、求斜率k的范圍

注意事項(xiàng)：“有公共點(diǎn)”的含義,“與斜率k有關(guān)的問(wèn)題求解”,不必考慮斜率不存在之情.

法一：平幾性質(zhì)加三角公式求解。（廣義幾何法）

法二：利用d與r關(guān)系列出關(guān)于k的不等式。（狹義幾何法）

法三：投影，比較各方法的優(yōu)劣。（代數(shù)法）

解題回顧:

處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，若能結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)，可使解答簡(jiǎn)捷明快，本題用“圓心到直線距離與半徑比較”來(lái)探討直線和圓的位置關(guān)系便是典型體現(xiàn).

方法總結(jié): (提問(wèn)學(xué)生)

一、解題步驟：

（1）設(shè)直線方程并化為一般式

（2）求圓心到直線距離

（3）比較弦心距與半徑的大小

二、解題體會(huì)：

1、  幾何法比代數(shù)法運(yùn)算量少，簡(jiǎn)便。

代數(shù)法比幾何法通用，主要用于直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，具有運(yùn)用的廣泛性。

2、在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí),一般不用代數(shù)法而用幾何法

（8分鐘）

變式1：過(guò)點(diǎn)P(-2,-2)作圓C:(x-1)²+(y+1)²=1的切線,則切線的方程為_____________

分析：本題是問(wèn)題一的臨界狀態(tài)，斜率已求，切線易得。和

(提問(wèn)學(xué)生)

變式2：已知x,y滿(mǎn)足條件 (x-1)²+(y+1)²=1，則代數(shù)式的取值范圍___________

分析：本題是問(wèn)題一的不同形式的表示，既可以理解為斜率，直接數(shù)形結(jié)合又可以轉(zhuǎn)化為直線方程的一般式（少一點(diǎn)），從而化歸為問(wèn)題一，當(dāng)然也可以化為三角函數(shù)求解。

(提問(wèn)學(xué)生)

解題回顧:直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題一般有下列幾種題型

（1）給定兩者方程判定位置關(guān)系（如問(wèn)題情境）

（2）給定兩者位置關(guān)系，求解參數(shù)范圍或切線方程（如問(wèn)題一及變式一）

（3）給定圓的方程，求圓上點(diǎn)表示的目標(biāo)函數(shù)范圍（如問(wèn)題一及變式二）

方法總結(jié):完整直線與圓位置關(guān)系方面的題目常用d與r關(guān)系求解

        直線與圓局部圖形位置關(guān)系方面的題目常用數(shù)形結(jié)合求解

問(wèn)題二:（5分鐘）

求證:直線與圓C: 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)。

(提問(wèn)學(xué)生)

分析：法一  過(guò)定點(diǎn)P(1,-1),且定點(diǎn)P在圓內(nèi)

法二 C(1,-2), r=2 , 與2比較大小

解題回顧:如果直線過(guò)定點(diǎn),只要先確定定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,就能得知直線與圓相應(yīng)的位置關(guān)系.就不必用利用d與r關(guān)系來(lái)判定了.

方法總結(jié):觀察直線是否過(guò)定點(diǎn),優(yōu)先考慮直線與圓的可能關(guān)系,優(yōu)化解題過(guò)程.

(提問(wèn)學(xué)生)（5分鐘）

變式1：已知,,

則中的元素個(gè)數(shù)是________1

學(xué)生思考時(shí),教師畫(huà)圖,并對(duì)學(xué)生的回答加以說(shuō)明

(提問(wèn)學(xué)生)

變式2：已知,,

則中的元素個(gè)數(shù)是________2

師:你能注意到它們之間的差異嗎?

課堂練習(xí)：（8分鐘）

1.過(guò)點(diǎn)作圓的切線,求圓的切線方程.

板演(學(xué)生) 3x－4y＋4＝0或x＝4

對(duì)策:首先考慮斜率不存在之情或先定解的個(gè)數(shù),解不足時(shí)補(bǔ)上斜率不存在之情

變式:圓在點(diǎn)處的切線方程是______________

(提問(wèn)學(xué)生)

解題回顧：求過(guò)定點(diǎn)的圓的切線方程，一定要判定點(diǎn)的位置，若在圓上，可簡(jiǎn)化過(guò)程。若在圓外，一般有兩條切線，容易遺漏斜率不存在的那一條.

2.(教材P106 e2)如果直線ax＋by＝4與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 則P(a,b)與圓的位置關(guān)系是 ____________(填上以下正確結(jié)論的序號(hào))

(1)P在圓外 (2)P在圓上 (3)P在圓內(nèi) (4)不確定

(提問(wèn)學(xué)生)師同時(shí)板演過(guò)程

改變2中兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件,同學(xué)們能提出類(lèi)似的結(jié)論嗎？(提問(wèn)學(xué)生)

下面這個(gè)問(wèn)題結(jié)論是什么?

若點(diǎn)P(a,b) 在圓 x²+y²=1外，則直線ax＋by＝1 與 x²+y²=1的位置關(guān)系是_______(相交)

本節(jié)課回顧總結(jié): （3分鐘）

（1）本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些內(nèi)容你能用流程圖表示出來(lái)嗎? (提問(wèn)學(xué)生)

（2）直線與圓的位置關(guān)系的判定方法有哪些？它們各自有什么優(yōu)點(diǎn)？(提問(wèn)學(xué)生)

答：兩類(lèi)方法：幾何法（廣義——利用平幾直接求解或狹義——用d與r 的關(guān)系）、代數(shù)法直接——判別式法或間接的定義法

幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)潔，代數(shù)法比幾何法通用

（3）今天我們所遇到的情形各自用哪種方法更簡(jiǎn)便？為什么？各自又有什么注意事項(xiàng)？

(提問(wèn)學(xué)生)

（4）本節(jié)課主要用到了哪些數(shù)學(xué)思想？用得最多的是哪個(gè)？最少的是哪個(gè)？

（5）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系與過(guò)此點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系有何聯(lián)系？

思考:已知圓M:,直線,下面四個(gè)命題

(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)與,直線和圓M相切

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)與,直線和圓M有公共點(diǎn)

(3)對(duì)任意實(shí)數(shù),必存在實(shí)數(shù),使得直線和圓M相切

(4) 對(duì)任意實(shí)數(shù),必存在實(shí)數(shù),使得直線和圓M相切

所有真命題的序號(hào)是_____________

板書(shū)設(shè)計(jì)

課題

注：從右向左書(shū)寫(xiě)

注：先中間再右邊最后左邊