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關(guān)于約瑟夫環(huán)問題，無論是用鏈表實(shí)現(xiàn)還是用數(shù)組實(shí)現(xiàn)都有一個(gè)共同點(diǎn)：要模擬整個(gè)游戲過程，不僅程序?qū)懫饋肀容^煩，而且時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(nm)，當(dāng)n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時(shí)候，幾乎是沒有辦法在短時(shí)間內(nèi)出結(jié)果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號(hào)，而不是要讀者模擬整個(gè)過程。因此如果要追求效率，就要打破常規(guī)，實(shí)施一點(diǎn)數(shù)學(xué)策略。 為了討論方便，先把問題稍微改變一下，并不影響原意： 問題描述：n個(gè)人（編號(hào)0~(n-1))，從0開始報(bào)數(shù)，報(bào)到(m-1)的退出，剩下的人繼續(xù)從0開始報(bào)數(shù)。求勝利者的編號(hào)。 我們知道第一個(gè)人(編號(hào)一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個(gè)人組成了一個(gè)新的約瑟夫環(huán)（以編號(hào)為k=m%n的人開始）: k k 1 k 2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且從k開始報(bào)0。 現(xiàn)在我們把他們的編號(hào)做一下轉(zhuǎn)換： k --> 0 k 1 --> 1 k 2 --> 2 ... ... k-2 --> n-2 k-1 --> n-1 解x' ----> 解為x 注意<x’就是最終的解> 變換后就完完全全成為了(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的子問題，假如我們知道這個(gè)子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據(jù)上面這個(gè)表把這個(gè)x變回去不剛好就是n個(gè)人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡(jiǎn)單，相信大家都可以推出來：x'=(x k)%n 如何知道(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的問題的解？對(duì)，只要知道(n-2)個(gè)人的解就行了。(n-2)個(gè)人的解呢？當(dāng)然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個(gè)倒推問題！下面舉例說明： 假設(shè)現(xiàn)在是6個(gè)人（編號(hào)從0到5）報(bào)數(shù)，報(bào)到（2-1）的退出，即<m=2>。那么第一次編號(hào)為1的人退出圈子，從他之后的人開始算起，序列變?yōu)?,3,4,5,0，即問題變成了這5個(gè)人報(bào)數(shù)的問題，將序號(hào)做一下轉(zhuǎn)換： 2 -->0 3 -->1 4 -->2 5 -->3 0 -->4 現(xiàn)在假設(shè)x為0,1,2,3,4的解，x'設(shè)為那么原問題的解（這里注意，2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解，因?yàn)?出去了，結(jié)果還是一個(gè)），根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)，x與x'關(guān)系為x'=(x m)%n，因此只要求出x，就可以求x'。x怎么求出呢？繼續(xù)推導(dǎo)吧。0,1,2,3,4,，同樣是第二個(gè)1出列，變?yōu)椋?,3,4,0），轉(zhuǎn)換下為 2 -->0 3 -->1 4 -->2 0 -->3 很簡(jiǎn)單，同樣的道理，公式又出來了，x=(x'' m)%5，這里變成5了。即求n-1個(gè)人的問題就是找出n-2的人的解，n-2就是要找出n-3，等等 因此，就可以回去看上面的推導(dǎo)過程了。 好了，思路出來了，下面寫遞推公式： 在問題的基礎(chǔ)上再演變一下，如果是n 個(gè)人(編號(hào) 1...n),先去掉第 m 個(gè)數(shù),然后從 m 1 個(gè)開始報(bào) 1,報(bào)到 k 的退出,剩下的人繼續(xù)從 1 開始報(bào)數(shù).求勝利者的編號(hào). 令f[i]表示i個(gè)人玩游戲報(bào)m退出最后勝利者的編號(hào)，最后的結(jié)果自然是f[n] 遞推公式 f[1]=0; f[i]=(f[i-1] m)%i; (i>1) 有了這個(gè)公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數(shù)值，最后結(jié)果是f[n]。因?yàn)閷?shí)際生活中編號(hào)總是從1開始，我們輸出f[n] 1 由于是逐級(jí)遞推，不需要保存每個(gè)f[i]，程序也是異常簡(jiǎn)單：  2 int main() 3 { 4 int n, m, i, s = 0; 5 printf ('N M = '); 6 scanf('%d%d', &n, &m); 7 for (i = 2; i <= n; i ) 8 { 9 s = (s m) % i; 10 } 11 printf ('\nThe winner is %d\n', s 1); 12 } 相比之下，解法二的優(yōu)越性不言而喻，同時(shí)說明數(shù)學(xué)確實(shí)很重要。 這樣的話，其實(shí)和原題基本解法是一樣的，把去掉第m個(gè)數(shù)之后第m 1個(gè)數(shù)看成第一個(gè)就可以了，所以需要轉(zhuǎn)換一下，于是程序?yàn)椋?/b> int main(void){ int n, k, m; while( scanf('%d%d%d', &n, &k, &m), n || k || m ){ int i, d, s=0; for( i=2; i <= n; i ) s = (s k)%i; k = k%n; if( k == 0 ) k=n; d = (s 1) (m-k); if( d >= 1 && d <= n ) printf('%d\n', d); else if( d < 1 ) printf('%d\n', n d); else if( d > n ) printf('%d\n', d%n); } return 0; } 以上摘自吉林大學(xué)ACM代碼庫 |
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