數(shù)學(xué)運算中的盈虧問題

把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完。如果物體還有剩余，就叫盈；如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應(yīng)用題就叫盈虧問題。

盈虧問題是雞兔同籠問題的一種變式，解決的關(guān)鍵在于弄清兩次分配時的盈虧情況，常用公式有：

一次盈，一次虧：（盈＋虧）÷（兩次每份分配數(shù)之差）＝份數(shù)；

兩次盈：（大盈－小盈）÷（兩次每份分配數(shù)之差）＝份數(shù)；

兩次虧：（大虧－小虧）÷（兩次每份分配數(shù)之差）＝份數(shù)。

例1：（2013·下半年聯(lián)考）某公司組織員工到外地旅游時租了幾輛同樣的大巴車，若每輛車坐30人則有4個人上不了車，若每輛車坐35人則最后一輛車還有21個空座。問該公司共有員工多少人？

A．154

B．162

C．178

D．186

【答案】A

【解析】根據(jù)盈虧問題公式可知，共有大巴車（4+21）÷（35-30）=5輛，共有員工30×5+4=154人。故選A。

例2：（2012·上半年聯(lián)考）小王周末組織朋友自助游，費用均攤，結(jié)賬時，如果每人付450元，則多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才剛好，這次活動人均費用是：

A．437.5元

B．438.0元

C．432.5元

D．435.0元

【答案】A

【解析】由盈虧公式可知，活動參加人數(shù)為（100＋60）÷（450－430）=8人，故這次活動的人均費用為（450×8-100）÷8=450-100÷8=437.5元。故選A。

例3：（2011·內(nèi)蒙古）若干學(xué)生住若干房間，如果每間房住4人，則有20人沒地方住，如果每間房住8人，則有一間房只有4人住，問共有多少學(xué)生？

A．30

B．34

C．40

D．44

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，由盈虧問題公式可知：共有房間[20＋（8－4）]÷（8－4）＝6間，故共有學(xué)生4×6＋20＝44人。故選D。

例4：（2009·四川下半年）學(xué)校給一批新入校的同學(xué)分宿舍，若每個房間住7人，則6人沒有床位，若每個房間住8人，則空出3個房間，新同學(xué)人數(shù)是（ ）

A．188

B．194

C．206

D．216

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，每間房住7人則多出6人，每間房住8人則少8×3=24人，由盈虧問題公式可知：共有房間（24＋6）÷（8－7）＝30間，則新同學(xué)人數(shù)為7×30＋6＝216人。故選D。

例5：（2011·上半年聯(lián)考）某單位招待所有若干間房間，現(xiàn)要安排一支考察隊的隊員住宿，若每間住3人，則有2人無房可住；若每間住4人，則有一間房間不空也不滿，則該招待所的房間最多有：

A．7間

B．6間

C．5間

D．4間

【答案】C

【解析一】設(shè)有x間房，則依題意有：

4x－3≤3x＋2≤4x－1

解得3≤x≤5，即最多有5間房。故選C。

【解析二】設(shè)每間住4人時不滿的房間有x人，則由盈虧問題公式可知：房間數(shù)＝（4-x＋2）÷（4－3）＝6-x，而x∈{1，2，3}，則房間數(shù)最多為6-1＝5間。故選C。

例6：（2012·廣東）某公司舉辦年終晚宴，每桌安排7名普通員工與3名管理人員，到最后2桌時，由于管理人員已經(jīng)安排完，便全部安排了普通員工，結(jié)果還差2人才能剛好坐滿。已知該公司普通員工人數(shù)是管理人員的3倍，則該公司有管理人員（ ）名。

A．24

B．27

C．33

D．36

【答案】B

【解析一】根據(jù)題意，每名管理人員配3名普通員工剛好配完，每名管理人員配7/3名普通員工，多出2×（7+3）-2=18名普通員工，則由盈虧問題公式可知：管理人員有（18+0）÷（3－7/3）＝27名。故選B。

【解析二】普通員工總?cè)?/span>數(shù)是管理人員總?cè)?/span>數(shù)的3倍，管理人員安排完時，安排的普通員工人數(shù)是管理人員總?cè)藬?shù)的7/3倍，所以剩下的普通員工人數(shù)（18名）是管理人員總?cè)藬?shù)的3-7/3=2/3倍，則管理人員總?cè)藬?shù)為18÷2/3=27。故選B。

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