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第 7 章 - 隨機微分方程

官方定義： A stochastic differential equation (SDE) is essentially an ordinary differential equation (ODE) in which at least one of the terms is a stochastic process. 

定義的不錯。

隨機微分方程 (SDE) 就是常微分方程 (ODE) 加個隨機過程。

7.1 伊藤公式和隨機微分方程

回到小節(jié) 6.1，下表給出 ODE 和 SDE 的方程形式和解。兩者唯一區(qū)別就是紅色標(biāo)記的隨機項。

對于隨機微分方程，dt 前面的項叫做漂移項 (drift term)，dB(t) 前面的項叫做擴散項 (diffusion term)。嚴格來說，布朗運動 B(t) 處處不可導(dǎo)因此 dB(t) 實際上不存在，我們定義 dB(t) 是組成隨機過程的最基本元素。在應(yīng)用中我們可以忽略這些技術(shù)性細節(jié)，只記住伊藤公式可以幫我們解好多隨機微分方程。例子如下：

    dX(t) = X(t)dB(t)

令 f(x) = ln(x)，用伊藤公式

7.2 一般線性隨機微分方程

一般線性 (generic linear) 隨機微分方程的形式和解為：

證明有些冗長因此略去，這個一般線性隨機微分方程解的強大之處是，對于大部分金融模型，比如股票類 Black-Scholes 模型，利率類 Vasicek 模型和商品類 Schwartz 模型等等，它都給給出解析解。

這三種模型 (按 Black-Scholes, Vasicek 和 Schwartz 的順序) 的 SDE 為

前兩個 SDE 都符合般線性隨機微分方程形式，最后一個 SDE 不符合，因為里面出現(xiàn)了 lnC(t)，但是根據(jù)伊藤公式求 dlnC(t) 得

類比三個模型 SDE 和一般線性 SDE 的 α(t), β(t), γ(t) 和 δ(t)，再代入 U(t) 和 V(t) 的表達式可得下表：

7.3 鞅和隨機微分方程

根據(jù)鞅表示 (martingale representation) 定理，如果 M(t) 是一個鞅，那么存在一個伊藤過程 H(t) 使得

從 M(t) 的微分表達形式可看出，在某個概率測度下，如果一個隨機變量是鞅，那么它的隨機微分方程的漂移項為零！

這個結(jié)果有很多應(yīng)用，下面給出一個最常見的應(yīng)用：為什么一個不付紅利 (dividend) 的股票 S(t) 的 SDE 在風(fēng)險中性測度 Q 下的漂移項系數(shù)是 r？

假設(shè)在測度 Q 下 S(t) 的 SDE 可寫成

    dS(t) = aS(t)dt + bS(t)dB(t)           

根據(jù)上篇 4.2 小節(jié)最后的結(jié)論，測度 Q 下的等價物是活期存款 β(t)，其 SDE 為

    dβ(t) = rβ(t)dt 

=>

    β(t) = β(0)ert = ert

那么S(t)/β(t) 在測度 Q 是鞅，因此其 SDE 的漂移項為零。根據(jù) 6.3 小節(jié)的乘法原則結(jié)果可得

顯然漂移項為零可推出 a 等于 r，證畢。

最后給出 S(t) 在風(fēng)險中性測度 Q 和真實測度 P 下的 SDE：

    dS(t) = rS(t)dt + bS(t)dBQ(t)

    dS(t) = μS(t)dt + bS(t)dBP(t)

從上面兩個 SDE 可看出

• 測度不同，漂移項不同。測度 Q 下的是 r，測度 P 下的是 μ。

• 測度不同，擴散項相同 (都是 b)，但是對應(yīng)的布朗運動不同。測度 Q 下的是BQ(t)，稱為 Q 布朗運動，測度 P 下的是BP(t)，稱為 P 布朗運動。

• BQ(t) 在測度 P 下不是布朗運動，BP(t)在測度 Q 下也不是布朗運動。它們之間關(guān)系時BQ(t) = BP(t) + (μ – r)/b ? t (將上面兩個公式相減整理可得)。這個布朗運動在不同測度之間的關(guān)系就是吉爾薩諾夫定理 (Girsanov ‘s theorem) 的極簡形式。

第 8 章 - 有限差分方法

官方定義：Finite difference methods (FDM) are numerical methods for solving differential equations by approximating them with difference equations, in which finite differences approximate the derivatives.

定義的不錯。

有限差分法是一種微分方程 (常微分或者偏微分) 數(shù)值方法，是通過有限差分來近似導(dǎo)數(shù)，從而尋求微分方程的近似解。在量化金融中，由于一個金融產(chǎn)品的價值是至少和其原生資產(chǎn) (變量1) 和時間 (變量2) 有關(guān)，因此該金融產(chǎn)品對應(yīng)的微分方程 (先別管它具體形式) 一定含有偏導(dǎo)數(shù) (因為至少有 2 個變量) 從而是偏微分方程 (partial differential equation, PDE)?；谝陨显颍菊碌挠邢薏罘址椒ㄊ沁m用在偏微分方程上。關(guān)于私募工場（ID：simugongchang）首先如何得到它？用費曼卡茲定理！由于篇幅問題，本章只討論一維 PDE 的有限差分方法。

8.1 費曼卡茲定理

費曼卡茲定理 (Feynman-Kac theorem) 是隨機微分方程 (SDE) 和偏微分方程(PDE) 的紐帶。通常對于一個金融衍生品 V，已知

• 其原生資產(chǎn) x 的隨機微分方程

• 該衍生品在到期日時的支付函數(shù) h

我們用費曼卡茲定理可以推出 V 的偏微分方程。

我知道很多大學(xué)學(xué)過量化金融的同學(xué)每次推導(dǎo) V 的偏微分方程的做法，步驟總結(jié)如下：

1. 構(gòu)建投資組合 Π = 1單位衍生物V + Δ單位原生資產(chǎn) x

2. 利用伊藤公式寫出 dΠ 的表達式

3. 選取適當(dāng)?shù)?Δ 值將 dΠ 里的隨機項去掉，通常 Δ 是 V 對 x 的一階導(dǎo)

4. 由于組合沒有隨機項無風(fēng)險，它的回報也是無風(fēng)險的，因此 dΠ = rΠdt，其中 r 是無風(fēng)險利率

5. 整理上式得到 V 的偏微分方程

對于上面牛逼烘烘的步驟，我只想說每次這樣推累不累啊，有個一步到位的方法 (費曼卡茲定理) 想不想知道?。?/span>

因為該定理太美秒，我認為還是有必要寫寫其證明過程的。證明所需的三個引理和一個假設(shè)：

1. 無套利原則 “現(xiàn)值 = 折現(xiàn)因子 × 支付函數(shù)的期望”

2. 伊藤公式

3. 鞅隨機變量的漂移項為零

4. 假設(shè)無風(fēng)險利率不是隨機變量

根據(jù)引理 a 可得

構(gòu)建變量 Y(t) = e-rt  ?V(t) 是個鞅，證明如下，當(dāng) s < t="">

上式用到的重復(fù)預(yù)期法則也就是塔性質(zhì) (tower property)，直觀的理解就是當(dāng)你求 50 個數(shù)的均值，你可以 i)先分成 10 堆求每堆 5 個數(shù)的均值，再求這 10 個平均數(shù)的均值，或 ii)直接求這 50 個數(shù)的均值。

再根據(jù)引理 b，對 Y(t) 使用伊藤公式

最后根據(jù)引理 c，dY(t) 的漂移項為零，將 dt 項前面系數(shù)設(shè)為零可得

衍生品 V(t, x) 是關(guān)于時間變量 t 和空間變量 x 的函數(shù)，之后幾節(jié)的內(nèi)容為：

1. 確定方程解域 (solution domain) 和建立網(wǎng)格 (grid construction)

2. 終值條件和邊界條件 (terminal and boundary condition)

3. 離散化空間和時間變量 (spatial and time discretization)

4. 有限差分格式 (finite difference cheme)

5. 歐式期權(quán)例子 (vanilla option)

8.2 方程解域和網(wǎng)格

給定偏微分方程，第一件事就是定下它的解域，因為你不可能求出它在無限域的解。金融產(chǎn)品一般都會有個有限的到期日 T，而原生資產(chǎn) x 值也應(yīng)該有個范圍。一般解域定義成 0 ≤ t ≤ T 和xmin ≤ x ≤ xmax。對 x 的上下界通常用兩種方法來確定。

• 合同界限 (contractually bounds)：對一個向上敲出障礙期權(quán) (up-and-out barrieroption)，一旦 x(t) 在到期日前碰到障礙 H，該合同失效。因此這是x的上界為 H，因為當(dāng) x 超過 H 時，該期權(quán)沒有價值。

  
  

• 概率截斷界限 (probabilistic truncation bounds)：基于 x(T) 的置信區(qū)間，例如，x 是具有均值 m 和標(biāo)準(zhǔn)差 s 的正態(tài)分布變量，因此可以考慮用有限上下界 m ± a·s，其中 a 通常是 3 到 5。

確定解域之后，下步就該建立網(wǎng)格，分為等距網(wǎng)格 (equidistant grids) 和不等距網(wǎng)格 (non-equidistant grids)。

為了使得符號表達更簡潔，我們在后面一直用等距網(wǎng)格。但有的時候不等距網(wǎng)格能提高運算效率，比如在 Heston 模型中，我們知道波動率維度的變量集中在 0 附近，因此在 0 點附近點會打的密集些。

8.3 終值與邊界條件

在 tn= T 處施加終值條件 V(T, x) = g(x)，這很簡單因為一個金融產(chǎn)品到期日的支付函數(shù)都會清楚的寫在交易合約里面。

在 x0 和 xm+1 處施加邊界條件，類型有兩大類：

• 根據(jù)合同的支付函數(shù)推出在邊界是的漸進 (asymptotic) 值，稱為狄利克雷(Dirichlet) 條件。

• 有些產(chǎn)品支付函數(shù)太過復(fù)雜 (目標(biāo)贖回遠期) 或者無法實現(xiàn) (Hull-White 模型下的債券)，這是假設(shè) V 和 x 以某種函數(shù)形式相連。

具體三種形式見下表：

設(shè)定完解域，建立完網(wǎng)格，施加完終值與邊界條件后，你腦海應(yīng)該出現(xiàn)這樣的圖案！

紅點是終值和邊界條件上的點，藍點是內(nèi)點也是需要解的點，黑點是最終要解的點 (對應(yīng)時間 t = 0，而金融產(chǎn)品定價不就是求出 0 點時的價值嗎？)。下一小節(jié)我們來講講如何將產(chǎn)品函數(shù) V(t, x) 在這美麗的網(wǎng)格離散吧。

8.4 空間與時間離散

為了簡化說明，用粗體形式定義 Vj(t) = V(t, xj) 和 V 表示向量。我們有不同的方法來近似具有空間和時間維度的偏導(dǎo)數(shù)。

注意到上表所有的離散公式都用的是一個約等于號，是因為這些表達式都是用泰勒公式推出來的，而泰勒公式都包含誤差項。下面我們先介紹在空間維度 (xj 點) 上離散，再介紹再時間維度上 (tθi,i+1) 離散，最后介紹邊界點的離散情況。

將小節(jié) 8.1 推出的 PDE 整理一下 (并將 r 變成 r(t, x) 更加通用些)，左邊是時間，右邊是空間。a) 在空間維度 (xj 點) 對一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)用中央差分。b) 在 tθi,i+1= θti + (1 - θ)ti+1 點上用離散

上式中的 O(?) 是誤差項，可由泰勒公式推出。此外上面時間離散格式被稱為 θ 格式：

• 當(dāng) θ = 0 時對應(yīng)的是完全顯性 (fully explicit) 格式

• 當(dāng) θ = 1 時對應(yīng)的是完全隱性 (fully implicit) 格式

• 當(dāng) θ = 0.5 時對應(yīng)的是克蘭克尼克爾森 (Crank-Nicolson, CN) 格式

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) θ = 0.5時 (CN 格式)，那個指標(biāo)函數(shù)1{·} 等于 0，因此誤差是 Δt 的 2 次方；當(dāng) θ = 0 (隱性格式) 或 1(顯性格式) 時，誤差是 Δt 的 1 次方，比 2 次方要大 (因為 Δt 小于 1)。因此 CN 格式誤差最小收斂最快。

顯性、隱性和 CN 三種格式的圖如下：

根據(jù)收斂結(jié)果，你們可能會想知道為什么會有人用除了 CN 格式之外的。 CN 格式確實常常是選擇的方法，但是有少數(shù)情況 CN 格式的數(shù)值解不穩(wěn)定。然而隱性格式可以總是緩解這些問題。最后考慮到穩(wěn)定性問題，顯式格式應(yīng)該永遠不要被應(yīng)用。

需要注意的是，上述空間離散都是發(fā)生在內(nèi)點 (interior points) 上的。最后根據(jù)小節(jié) 8.3 中邊界條件來完成邊界點的離散形式。

運用一些數(shù)學(xué)變換，我們發(fā)現(xiàn)這三類邊界條件的離散形式可以寫成以下通式。

其中

8.5 有限差分格式

將上一節(jié)左邊和右邊表達式聯(lián)系起來并舍去誤差項得到，在 (tθi,i+1, xj) 點上離散的方程為

8.6 歐式期權(quán)例子

在 Black-Scholes 模型下，股票 S(t) 的 SDE 為

將小節(jié) 8.1 的 SDE 一般形式和 Black-Scholes 模型的 SDE 類比，發(fā)現(xiàn)

以歐式看跌期權(quán) (put option) 為例，它在到期日 T 的支付函數(shù)是

    V(T,S(T)) = [K – S(T)]+

下表給出看跌期權(quán)的終值和邊界條件：

下面只需從 T 點向 0 點一步一步解小節(jié) 8.5 的差分方程即可：

最后根據(jù) PDE 計算看跌期權(quán)就是一個矩陣計算問題，這里要強調(diào)的是通常我們的網(wǎng)格打的很密，因此矩陣 M 很大，直接解逆矩陣會畫很多時間 O(m3)。由于 M 是三對角矩陣 (只有 3 個對角線上有非零值)，對于折中稀疏矩陣 (sparse matrix)，我們可用“LU-分解 (matlab 里面有函數(shù) lu() 直接可以用)”的方法來解，只需 O(m) 的時間，做法如下：

    M = L · U

    V(ti) = U-1 · (L-1 · zi+1)

定價歐式期權(quán)的算法總結(jié)如下:

原創(chuàng)一個用有限差分計算看跌期權(quán)價值的動態(tài)圖

第 9 章 - 蒙特卡洛模擬

官方定義：Monte Carlo (MC) simulations are used in finance and mathematical finance to value and analyse (complex) instruments, portfolios and investments by simulating various sources of uncertainty affecting their value, and then determining the distribution of their value over the range of resultant outcomes.

定義的還可以。在金融產(chǎn)品定價上，蒙特卡洛主要根據(jù)大數(shù)定理以及中央極限定理，將期望表達式轉(zhuǎn)換成算數(shù)平均表達式，然后模擬在每條路徑上產(chǎn)品支付函數(shù)，將其累加再求平均值。

蒙特卡洛模擬非常簡單，因為：

• 通常資產(chǎn)在到期日會遵循某個概率分布 (而這些概率分布函數(shù)在幾乎所有語言中都可以直接運用)

• 通常支付函數(shù)而資產(chǎn)的關(guān)系簡單直接，在到期日模擬出資產(chǎn)價格直接帶入支付函數(shù)得到產(chǎn)品在到期日的價值

蒙特卡洛模擬非常麻煩，因為：

• 每次得到的結(jié)果不一樣，除非固定模擬的隨機種子。但是在固定之前要做一些收斂性測試。

• 對于復(fù)雜產(chǎn)品比如障礙期權(quán)或復(fù)雜模型 Heston 模型，直接模擬需要大量的路徑才能收斂，這樣效率就很低了。這時必需要使用一些減小方差的技術(shù)。

• 對于美式期權(quán)或者有提前執(zhí)行權(quán)利的產(chǎn)品，直接模擬幾乎不可能能得到穩(wěn)定結(jié)果。這時需要用最小二乘法 (least square) 的蒙特卡洛模擬了。

除了上面所講，蒙特卡洛里面的小伎倆實在是太多了，限于篇幅，作者不可能一一講全，本章主要用蒙特卡洛定價歐式期權(quán)的例子來說明一些概念。

9.1 期望轉(zhuǎn)成算數(shù)平均

通常對于一個金融衍生品 V，已知

• 其原生資產(chǎn) x 的隨機微分方程

• 該衍生品在到期日時的支付函數(shù) h

從無套利原則加上大數(shù)定理可得

9.2 股票價格模擬

在 Black-Scholes 模型下，股票 S(t) 的 SDE 為

根據(jù)伊藤公式求出 dlnS

最后公式里面有幾個需要解釋的要點：

• rT：在利率曲線 T 點插出的常數(shù)值

• qT：T 點紅利常數(shù)值

• σT：在波動率曲線 T 點插出的常數(shù)值

• z：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量 z ~ N(0, 1)

此外根據(jù)布朗運動增量均值為零和等距性質(zhì) (Isometry property)，計算出帶有布朗運動的積分項 (設(shè)為 Y) 的均值和方差

9.3 歐式期權(quán)例子

以歐式看跌期權(quán)為例

計算期權(quán)價格的關(guān)鍵就是模擬出 zk，而在 matlab 中就是幾行代碼的問題，如下：

我知道這代碼有很多可以改進的地方，比如可以用對偶變量 (antithetic variates) 減低 S(T) 的方差，可以用偽隨機數(shù)比如 sobel sequence 來生成隨機變量 zk。

我也知道還有太多蒙特卡洛的內(nèi)容沒有介紹，比如如何模擬相關(guān)多變量 (cholesky decomposition)，比如如何模擬 Heston 模型里面的波動率項并保證其值為正 (quadratic exponential Monte Carlo)，比如如何用蒙特卡洛定價美式期權(quán)(least square Monte Carlo)。耐心點，等到專門有一貼來專研這些問題。

第 10 章 - 模型校正

官方定義：Model calibration is to calibrate a model to market data by determining its endogenous parameters in such a way it describes observable market data as good as possible.

定義的不錯。但是我想把范圍縮小到金融產(chǎn)品定價模型的校正。

在這種情況下，模型校正是選擇模型中的參數(shù)使得市場流動性強的交易價格 (市場價格) 和模型輸出 (模型價格) 完全匹配或盡可能接近。

任何量化金融模型都會有參數(shù)，這些參數(shù)可由歷史數(shù)據(jù) (historical data) 或隱含數(shù)據(jù) (implied data) 計算出來。關(guān)于私募工場（ID：simugongchang）最經(jīng)典的例子就是 Black-Scholes 里面的波動率參數(shù)，到底是用歷史波動率 (historical volatility) 還是隱含波動率 (implied volatility) 校正呢？

• 歷史波動率：它的主要問題是使用過去的數(shù)據(jù)向后看而未來無關(guān)。另一個問題是，它可能給出一個和市場價格不一致的價格。例如你有興趣購買一個期權(quán)。你根據(jù)歷史波動率算出的價格是 10 美元，然而該期權(quán)的市場價格是 19 美元。你還有興趣購買嗎？這時候，要不期權(quán)市價錯了，要不你對波動率的估計不正確。

  
  

• 隱含波動率：它是隱含在市場交易產(chǎn)品的價格里面。在上面的例子中，我們要問什么波動率放入 Black-Scholes 以獲得 19 美元的“正確”價格。然后使用該波動率來定價其他復(fù)雜產(chǎn)品。這時我們是向前看的，而不是用來自過去的信息。

一般統(tǒng)計模型或方法校正參數(shù)用的是歷史數(shù)據(jù)，比如 GARCH 模型和 Karman filter 方法；而一般金融定價模型或方法校正參數(shù)用的隱含數(shù)據(jù)，比如 Black-Scholes 和 Heston 模型。

舉一個具體例子，市場上股指期權(quán)在不同的行權(quán)價格和到期日交易，因此有一個 2 維價格平面。假設(shè)我們要用 Heston 模型對一個障礙期權(quán)估值，但沒有解析解，只能用數(shù)值解如有限差分或者蒙特卡洛模擬。但是第一步需要知道 Heston 里面模型參數(shù)怎么給，總不能閉著眼拍桌子給一個吧 (雖然大學(xué)里做項目都是這樣的)。這時候就需要校正參數(shù)了。

即便是復(fù)雜模型，絕大部分情況對市場交易產(chǎn)品都有解析解或者近似解析解，我們稱之為模型價格。而這些產(chǎn)品的市場價格 (由市場供求決定的) 可以直接從市場上拿到 (如果報價是價格) 或者帶入 Black-Scholes 公式里面算出(如果報價是波動率)。根據(jù)作者經(jīng)驗，市場報價是波動率，因為價格在不同的行權(quán)價格或時間上數(shù)值差很遠，一個 10 美元另一個 0.5 美元，但是波動率都是在 1% 到 100% 之間(除了壓力情景下的) 變動的，數(shù)值規(guī)模比較一致。

在擼起袖子努力干前，你要問自己兩個問題：

1. 模型參數(shù)的結(jié)構(gòu)是什么樣？常數(shù)還是分段常數(shù)？通常我是用后者，因為自由度更高，擬合數(shù)據(jù)質(zhì)量也更好。但是不排除每段常數(shù)變動很大。作者的親身例子，擬合 Heston 模型里面的相關(guān)性系數(shù)，其值在不同段中正負跳動，即便擬合的好，我還是果斷的選擇用常數(shù)的相關(guān)性系數(shù)。

    

2. 最小化模型和市場的什么指標(biāo)？是絕對價格 (absolute price), 相對價格 (relative price) 還是波動率 (volatility)？需要對重要的點加權(quán)重嗎？

假設(shè)市場由 m 個行權(quán)價格 K 和 n 個到期日 T 對應(yīng)的期權(quán) V (總共 mn 個)，定義模型參數(shù)集為 θ，模型校正可轉(zhuǎn)換成以下數(shù)學(xué)問題

每個都有自己的長短處，比如用：

• 絕對價格 – 目標(biāo)函數(shù)簡單在最優(yōu)化時高效，但是對于深價內(nèi) (deep in-the-money, ITM) 期權(quán)和深價外 (deep out-of-the-money, OTM) 期權(quán)，它們絕對價格數(shù)值規(guī)?？赡芟嗖詈苓h，比如 10 美元和 0.1 美元。即使深價外期權(quán)模型和市場價格差的很遠也不過 0.1 美元左右，因此整個優(yōu)化過程重心都放在擬合深價內(nèi)期權(quán) (因為它們數(shù)值較大)。

  
  

• 相對價格 – 目標(biāo)函數(shù)簡單在最優(yōu)化時高效，而且對于深價內(nèi)或深價外期權(quán)都寫成一個回報率的形式，數(shù)值規(guī)模一致。

  
  

• 絕對波動率 – 波動率數(shù)值規(guī)模一致，但是在解模型波動率時涉及到一個反解 Black-Scholes 的動作，而且此動作發(fā)生在最優(yōu)化過程中，會降低整個優(yōu)化效率。

此外，大多時候我們都想價中 (at-the-money, ATM) 期權(quán) (因為其高流動性) 的誤差最小化，所以我們會放較大的權(quán)重，對于 ITM 或 OTM 期權(quán)，會放較低權(quán)重。關(guān)于私募工場（ID：simugongchang）但是這個不是絕對的，要看實際問題中你最想擬合好哪類期權(quán)。

下面是作者用真實的市場數(shù)據(jù)

• 模型參數(shù)類型：分段常函數(shù)

• 最小化指標(biāo)：帶權(quán)重的相對價格

來校正在外匯市場的 Heston 模型。

從上圖上看結(jié)果還不錯，基本上模型價格 (波動率) 和市場價格 (波動率) 相差不遠。有了這組模型參數(shù)，我們可以用 Heston 模型來定價更為復(fù)雜的產(chǎn)品比如窗口式障礙/觸碰期權(quán) (partial window barrier/touch option) 了。 

總結(jié)：

• 伊藤公式：泰勒公式加上布朗運動的二次變差。用途在解隨機微分方程和推導(dǎo)偏微分方程。

• 隨機微分方程：常微分方程加布朗運動。用途在描述所有金融市場里資產(chǎn)走勢過程。

• 有限差分方法：一種通過解偏微分方程來對金融產(chǎn)品定價的數(shù)值方法。穩(wěn)定高效但是實施困難，而且不適用高維度問題 (業(yè)界認為 4 到 5 維就是極限，作者只經(jīng)歷過 2 維)。

• 蒙特卡洛模擬：一種通過模擬資產(chǎn)隨時間的走勢來對金融產(chǎn)品定價的數(shù)值方法。實施簡單而且適用于高維度問題，但是只有在用很多減小方差的小伎倆時結(jié)果才比較穩(wěn)定。最棘手的是用蒙特卡洛模擬來計算敏感度。

• 模型校正：產(chǎn)品定價之前必需要做的事情，否者你做的都是校園里的小游戲。和機器學(xué)習(xí)里的訓(xùn)練學(xué)習(xí)器一樣，模型就是你的學(xué)習(xí)器，用市場交易數(shù)據(jù)來訓(xùn)練而擬合模型參數(shù)，使得訓(xùn)練誤差最小。

量化金融十大話題就揭秘完畢。

【完】