阿波羅尼斯（Apollonius）圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓。
[編輯本段]定義
　　在平面上給定相異兩點(diǎn)A、B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足PA/PB= λ， 當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓我們稱(chēng)作阿波羅尼斯圓。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)作阿波羅尼斯軌跡定理。設(shè)M、N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。
[編輯本段]證明
　　我們可以通過(guò)公式推導(dǎo)出AN的長(zhǎng)度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP為直徑的圓就是我們所求的軌跡圓。
[編輯本段]性質(zhì)
　　由阿波羅尼斯圓可得阿波羅尼斯定理，即：
　　設(shè)三角形的三邊和三中線分別為a、b、c、ma(a為下標(biāo)，下同）、mb、mc，則有以下關(guān)系： 
　　b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； 
　　c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； 
　　a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

阿波羅尼斯圓：一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m：n，則點(diǎn)P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓。
這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)阿氏圓。
這個(gè)定理的證明方法很多。下面是筆者的分析與證明，希望讀者喜歡。
如圖，P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，A、B是兩定點(diǎn)，PA∶PB＝ m∶n ，M是AB的內(nèi)分點(diǎn)（M在線段AB上），N是AB的外分點(diǎn)（N在AB的延長(zhǎng)線上）且
AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，則P點(diǎn)的軌跡是以MN為直徑的圓。
下面先證明兩個(gè)定理：
一、如圖一，已知M是BC上一點(diǎn)，且AB∶AC＝BM∶MC，
求證：AM平分∠BAC（三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理）
證明：過(guò)C點(diǎn)作CD∥AM交BA的延長(zhǎng)線于D，則AB∶AD＝BM∶MC
∵AB∶AC＝BM∶MC，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD，
∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如圖二，N是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BN∶CN＝AB∶AC，求證：AN平分∠BAC的鄰補(bǔ)角∠EAC
證明：∵CD∥AN交AB于D，則BN∶CN＝AB∶AD，∵BN∶CN＝AB∶AC，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的鄰補(bǔ)角∠EAC
有了上面的證明，阿波羅尼斯圓定理的證明就不難了，證明如下：


連結(jié)PM、PN，∵M(jìn)為AB的內(nèi)分點(diǎn)， PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB
∵N為AB的外分點(diǎn)，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n，∴PN平分∠BPE，
∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，
∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2
即∠MPN＝90o，∴動(dòng)點(diǎn)P到MN的中點(diǎn)O的距離等于MN（定值）的一半（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），點(diǎn)P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓

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