山東平原一中      魏德田    253100

二、“切導(dǎo)回路”垂直于磁場的另一種平動問題。

若勻強(qiáng)磁場與“切導(dǎo)回路”平面“平行”，當(dāng)其沿垂直于磁場方向平動時，類似地，亦隨之帶來一系列動生電動勢、動生電流等等相應(yīng)問題。

下面，我們先來討論由筆者編制的一道“08高考預(yù)測題”。

[例題8]（’08自編預(yù)測）如圖—10所示，一環(huán)形磁鐵的外管、內(nèi)柱分別為N極、S極，之間的區(qū)域可視為輻向分布的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B?，F(xiàn)垂直于磁場方向放入一個匝數(shù)為n、半徑為r、導(dǎo)線單位長度的電阻為的圓形線圈。試求：⑴當(dāng)線圈以速度v垂直于紙面向內(nèi)運(yùn)動時，動生電動勢的大小和方向？⑵設(shè)通過線圈的恒定電流為I，線圈的機(jī)械功率多大？⑶若線圈垂直于紙面振動，其瞬時速度表達(dá)式為，動生電流的功率。

[解析] ⑴首先，顯見回路的“有效切割長度”等于回路的周長，即。

由依據(jù)㈡、㈢（即動生電動勢公式和右手定則）可得

顯見，線圈的動生電動勢（或動生電流）方向為逆時針的。

⑵其次，設(shè)線圈的機(jī)械功率為P，則由功率關(guān)系、電阻計算式得

聯(lián)立①②③式，即可求出

⑶然后，欲求電流的功率，須求電動勢、電流的有效值。從而，由依據(jù)㈡可得電動勢的最大值

進(jìn)而，設(shè)I^/、E^/為電流、電動勢的有效值,p^/為動生電流的功率。由交變電流知識可得

最后，聯(lián)立③④⑤式，即可求出以下結(jié)果

[點(diǎn)撥]假如在該磁場中，放入垂直于紙面的長為L金屬棒，當(dāng)其繞O點(diǎn)勻或變速轉(zhuǎn)動時，由依據(jù)㈡可得，再結(jié)合左手定則，我們?nèi)圆浑y求出其動生電動勢的大小和方向。

[例題9]（’07北京）用密度為d．電阻率為、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框。如圖—11所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行。設(shè)勻強(qiáng)磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計?？烧J(rèn)為方框的邊和邊都處在磁極之間，極間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計空氣阻力）。

⑴求方框下落的最大速度v_m（設(shè)磁場區(qū)域在豎直方向足夠長）；

⑵當(dāng)方框下落的加速度為時，求方框的發(fā)熱功率P；

⑶已知方框下落時間為t時，下落高度為h，其速度為v_t（v_t<v_m）。若在同一時間t內(nèi)，方框內(nèi)產(chǎn)生的熱與一恒定電流I₀在該框內(nèi)產(chǎn)生的熱相同，求恒定電流I₀的表達(dá)式。

[解析]⑴首先，分析可知“切導(dǎo)”方框受向下的重力和向上的安培力（“依據(jù)”㈢）作用，沿豎直向下做變加速運(yùn)動。從而，設(shè)框的下落速度為v,考慮到已知條件，應(yīng)用安培力公式、依據(jù)㈡（動生電動勢公式）、電磁感應(yīng)定律、歐姆定律可得

再由質(zhì)量計算式、電阻定律等，可知

    其次，由①②③式、牛二定律可得

當(dāng)加速度等于零時，即當(dāng)時，方框達(dá)到最大速度v_m 。亦即

由此可得，方框下落的最大速度

⑵然后，當(dāng)方框下落加速度為時，再由牛二定律、電功率公式得

聯(lián)立②③⑥⑦式，即可求出方框的發(fā)熱功率

⑶最后，根據(jù)能量守恒定律，可得

再聯(lián)立②③⑧式，即可求出恒定電流的表達(dá)式

    [點(diǎn)撥]應(yīng)該指出，欲求方框的最大速度，必須先應(yīng)用牛二定律寫出加速度的瞬時表達(dá)式，再由物體的速度變化的規(guī)律可知，“加速度為零”是速度達(dá)到最大的必要條件。與力學(xué)問題不同的是，求合力必須考慮“通導(dǎo)”所受的安培力。而能量守恒則為重力勢能的減少等于動能、內(nèi)能的增加（轉(zhuǎn)為熱量放出）。

三、“切導(dǎo)回路”在勻強(qiáng)磁場中的轉(zhuǎn)動（或振動）問題

以下幾例為由于“切導(dǎo)回路”在有界磁場中轉(zhuǎn)動，從而產(chǎn)生動生電動勢的問題。

[例題10]（經(jīng)典試題）半徑為r、質(zhì)量為m、電阻為R的金屬圓環(huán)，用一根長為L的絕緣細(xì)繩懸掛于O點(diǎn)，寬度為L/4的垂直向里的勻強(qiáng)磁場的上邊界到O點(diǎn)的距離為L/2，如圖—12所示?，F(xiàn)使圓環(huán)由與懸點(diǎn)等高的A點(diǎn)由靜止釋放，若運(yùn)動過程中圓環(huán)所在平面始終垂直于磁場，則圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱是（    ）

A．mgL     B.mg(L/2+r)     C.mg(3L/4+r)     D.mg(L+2r)

[解析]首先，分析環(huán)的運(yùn)動過程，可知每當(dāng)金屬圓環(huán)進(jìn)入、離開磁場時，由依據(jù)㈢（右手定則）、左手定則可知其均受阻力——安培力的作用。因此由功能關(guān)系可知，環(huán)的機(jī)械能將不斷減少，減少的機(jī)械能則轉(zhuǎn)化為焦耳熱。

然后，顯見當(dāng)環(huán)運(yùn)動到磁場下邊界之外，亦即如圖—13的位置時，環(huán)不再切割磁感應(yīng)線而安培力消失，故知此后機(jī)械能即不再減少，亦不會再有焦耳熱產(chǎn)生。從而，由功能關(guān)系可得

因此，本題答案為：C。

[點(diǎn)撥]我們又一次看到，當(dāng)“切導(dǎo)回路”進(jìn)、出磁場時，由于受“進(jìn)推出拉”的安培阻力故使系統(tǒng)的機(jī)械能減少，其實則轉(zhuǎn)化為焦耳熱。

[例題11]（’07棗莊調(diào)研）長為a、寬為b的矩形線框有n匝，每匝線圈電阻為R。如圖—14所示，對稱軸MN的左側(cè)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，第一次將線框從磁場中以速度v勻速拉出，第二次讓線框以ω=2v/b的角速度轉(zhuǎn)過90°角。那么

A．通過導(dǎo)線橫截面積的電量q₁：q₂=1：n  B．通過導(dǎo)線橫截面積的電量q₁：q₂=1：1

C．線框發(fā)熱功率P₁：P₂=2n：1           D．線框發(fā)熱功率P₁：P₂=2：1

[解析]首先，顯見在第一、二次運(yùn)動過程中，磁通量的減少為。當(dāng)回路為n匝，總電阻為R時，由依據(jù)㈣（另一重要推論）可得。故知A錯而B對。

然后，顯然兩種情況下線框電阻不變。從而，由電（熱）功率公式可得

；

又應(yīng)用依據(jù)㈡⑵和依據(jù)㈡⑶，可得

聯(lián)立①②③式，即可求出以下結(jié)果

    故知C錯而D對。因此，本題答案為：B、D。

[點(diǎn)撥]應(yīng)用另一“重要推論”解決問題時，必須注意到公式原形是對于單匝回路而言，其中R為單匝回路的電阻。求第二種情況下的動生電動勢，實則應(yīng)用了公式。

[例題12]（’05天津） 將硬導(dǎo)線中間一段折成不封閉的正方形，每邊長為l，它在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向如—15圖的勻強(qiáng)磁場中勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，導(dǎo)線在a、b兩處通過電刷與外電路連接，外電路有額定功率為P的小燈泡并正常發(fā)光，電路中除燈泡外，其余部分的電阻不計，燈泡的電阻應(yīng)為 （    ）

Ａ．(2πl²nB)²/P

Ｂ．2(πl²nB)²/P

Ｃ．(l²nB)²/2P

Ｄ．(l²nB)²/P

[解析]類似地，由依據(jù)㈡⑶、角速-轉(zhuǎn)速關(guān)系得

又，由電功率公式可得

聯(lián)立①②③式，我們即可求出燈泡的電阻

因此，本題答案為：B。

[點(diǎn)撥]在這里，由于討論方形“回路”轉(zhuǎn)動的原因，因此多采用圓周運(yùn)動的知識（注：角速-轉(zhuǎn)速關(guān)系， 其中n必須取單位r/min）。

[例題13]（’07高考模擬）如圖—16所示，一矩形線圈abcd的面積S為,它與勻強(qiáng)磁場方向之間的夾角θ為30°，穿過線圈的磁通量Φ為，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=_________T。若線圈在0.1s時間內(nèi)以ab邊為軸翻轉(zhuǎn)180°，則此過程中線圈的平均電動勢_________V.

[解析]首先，依題設(shè)，應(yīng)用磁通量計算公式可得

其次，若規(guī)定自左向右為磁通正方向，則轉(zhuǎn)過180°時穿過線圈的磁通必定為負(fù)。從而，由磁通變化的定義得其“減小”為

然后，再應(yīng)用感生電動勢公式，不難得到

最后，根據(jù)“增反減同”規(guī)律結(jié)合安培定則，可以斷定水平向右看，其方向為順時針的。

因此，本題答案為：0.2T，2×10^-2V。

[點(diǎn)撥]選擇本例的意義在于，一則強(qiáng)調(diào)磁通的方向性和非矢量性，二則強(qiáng)調(diào)如何計算磁通和磁通的變化量。應(yīng)該明確，在“磁學(xué)”部分內(nèi)容中，他如合磁通的“意義和計算”也是十分重要的。

   “切導(dǎo)回路”在磁場中的轉(zhuǎn)動產(chǎn)生動生電動勢的典型問題的分析和解決，詳見后文“交變電流”的有關(guān)內(nèi)容。并且，當(dāng)“切導(dǎo)回路”在磁場中振動時,也可產(chǎn)生動生電動勢和動生電流,詳見拙文《“通導(dǎo)”在磁場中的“曲線運(yùn)動”、“振動”》，此處討論從略。

                                      (2017-08-04  經(jīng)典重發(fā))